양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x) = \frac{1}{x} - \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, 로그는 자연로그이다.) [총 25점]

(1) \(x > 0\)일 때 도함수 \(f'(x)\)의 부호를 조사하여, 함수 \(f(x)\)가 열린구간 \((0, \infty)\)에서 엄격히 감소함을 보이시오. [7점]

(2) 극한값 \(\lim_{x \to \infty} f(x)\)를 구하고, 이를 이용하여 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 다음 부등식이 성립함을 증명하시오. [9점] \[\frac{1}{x + 1} < \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x}\]
(3) (2)의 부등식을 이용하여 수열 \(a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\)이 단조감소 수열이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(0 < a_n \le 1\)이 성립함을 엄밀하게 증명하시오. [9점]

좌표평면 위의 두 정점 \(A(-1, 0)\), \(B(1, 0)\)과 원 \(C: x^2 + y^2 = 4\) 위의 동점 \(P(2\cos\theta, 2\sin\theta)\) \((0 < \theta < \pi)\)에 대하여 각 \(\angle APB = \alpha\)라 하자. 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 세 변의 길이 \(\overline{PA}\), \(\overline{PB}\), \(\overline{AB}\)를 \(\theta\)에 대한 식으로 나타내고, 코사인법칙을 이용하여 \(\cos\alpha\)를 \(\theta\)에 대한 삼각함수 식으로 나타내시오. [7점]

(2) \(\cos\alpha\)의 최솟값을 구하고, 각 \(\alpha\)가 최대가 되는 점 \(P\)의 좌표를 구하시오. [9점]

(3) 삼각형 \(PAB\)의 넓이 \(S(\theta)\)의 최댓값을 구하고, 넓이가 최대일 때 삼각형 \(PAB\)의 외접원의 반지름의 길이 \(R\)을 사인법칙을 이용하여 구하시오. [9점]

자연수 \(n\)에 대하여 정적분 \(I_n = \int_{0}^{1} x^n e^{-x} \, dx\)라 정의하자. 다음 물음에 답하시오. (단, \(e\)는 자연로그의 밑이다.) [총 25점]

(1) 부분적분법을 이용하여 \(I_0\)과 \(I_1\)의 값을 각각 구하시오. [7점]

(2) \(n \ge 1\)일 때, 부분적분법을 적용하여 \(I_n\)과 \(I_{n-1}\) 사이의 점화식을 유도하시오. [8점]

(3) 구간 \([0, 1]\)에서 성립하는 부등식 \(0 \le x^n e^{-x} \le x^n\)을 이용하여 \(\lim_{n \to \infty} I_n\)과 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n I_n\)을 각각 구하시오. [10점]

함수 \(f(x) = \frac{x}{1 + x^2}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 25점]

(1) 치환적분법을 이용하여 정적분 \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx\)의 값을 구하시오. [7점]

(2) 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이용하여 무한급수 \(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k^2}\)의 값을 구하시오. [8점]

(3) 닫힌구간 \([0, 1]\)을 \(n\)등분한 분할점 \(x_k = \frac{k}{n}\)에 대하여 \(R_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f(x_k)\)라 할 때, 극한값 \(\lim_{n \to \infty} n \left( R_n - \int_{0}^{1} f(x) \, dx \right)\)를 정밀하게 유도하시오. [10점]