[제시문 가] 이항정리에 의해 \((1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k\)이다.
[제시문 나] 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(S_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1}\binom{n}{k}\)을 생각한다.

[1-1] \((1+x)^n\)을 구간 \([0, 1]\)에서 정적분하여 \(S_n = \frac{2^{n+1}-1}{n+1}\)임을 증명하시오. (10점)
[1-2] 극한값 \(\lim_{n\to\infty} \frac{S_n}{2^n}\)을 구하시오. (10점)

[제시문 가] 매개변수 \(t\)로 나타낸 사이클로이드 곡선 \(x = t - \sin t, y = 1 - \cos t\) \((0 \le t \le 2\pi)\)가 있다.
[제시문 나] 삼각함수 반각공식: \(1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}\), \(\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}\).

[2-1] \(t = \frac{\pi}{2}\)일 때 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기를 구하시오. (10점)
[2-2] 구간 \([0, 2\pi]\)에서 사이클로이드 곡선의 전체 길이를 구하시오. (15점)

[제시문 가] 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = a^2\) (\(a > 0\))의 점근선은 \(y = \pm x\)이다.
[제시문 나] 쌍곡선의 두 초점은 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\)이다. (\(c = \sqrt{2}a\))

[3-1] 쌍곡선 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 두 점근선까지의 거리의 곱이 \(\frac{a^2}{2}\)로 일정함을 증명하시오. (12점)
[3-2] 쌍곡선 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에 대하여 벡터 내적 \(\vec{PF} \cdot \vec{PF'}\)의 최솟값과 그때의 점 \(P\)의 좌표를 구하시오. (13점)

[제시문 가] 음이 아닌 정수 \(n\)에 대하여 \(I_n = \int_0^1 \frac{x^n}{1+x}\,dx\)로 정의한다.
[제시문 나] \(0 \le x \le 1\)에서 \(0 \le \frac{x^n}{1+x} \le x^n\)이다.

[4-1] \(I_0\)의 값을 구하고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}\)임을 증명하시오. (10점)
[4-2] 조임정리를 이용하여 \(\lim_{n\to\infty} I_n = 0\)임을 증명하시오. (10점)
[4-3] 위 결과를 이용하여 교대급수 \(\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2\)임을 증명하시오. (10점)