[1-1] 전체 음이 아닌 정수해의 수:
서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 10개를 택하는 중복조합의 수:
\(N = {}_4\text{H}_{10} = \binom{4+10-1}{10} = \binom{13}{10} = \binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286\).

[1-2] 양의 홀수해의 개수 및 조건부확률:
\(x, y, z, w\)가 양의 홀수이므로 \(x = 2a+1, y = 2b+1, z = 2c+1, w = 2d+1\) (\(a, b, c, d \ge 0\) 정수)로 둔다.
\((2a+1) + (2b+1) + (2c+1) + (2d+1) = 10 \implies 2(a+b+c+d) + 4 = 10 \implies a+b+c+d = 3\).
음이 아닌 정수해 \((a, b, c, d)\)의 개수:
\(N_{\text{odd}} = {}_4\text{H}_3 = \binom{4+3-1}{3} = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\).
따라서 모든 미지수가 양의 홀수일 조건부확률은:
\(P = \frac{20}{286} = \frac{10}{143}\)이다.

[정답] [1-1] \(286\)개, [1-2] 홀수해 \(20\)개, 확률 \(\frac{10}{143}\)

[2-1] 테일러 부등식 증명:
\(g(x) = e^x - \left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right)\)라 하자.
\(g'(x) = e^x - (1 + x)\), \(g''(x) = e^x - 1\).
\(x > 0\)일 때 \(e^x > 1\)이므로 \(g''(x) > 0\). 따라서 \(g'(x)\)는 \(x > 0\)에서 증가한다.
\(g'(0) = e^0 - (1+0) = 0\)이므로, \(x > 0\)에서 \(g'(x) > g'(0) = 0\)이다.
\(g'(x) > 0\)이므로 \(g(x)\)도 \(x > 0\)에서 증가한다.
\(g(0) = e^0 - (1+0+0) = 0\)이므로, \(x > 0\)에서 \(g(x) > g(0) = 0\)이다.
따라서 \(x > 0\)일 때 \(e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}\)가 성립한다. (증명 완료)

[2-2] 조임정리를 이용한 극한 증명:
제시문 나에 의해 \(0 < x \le 1\)에서 \(1 + x + \frac{x^2}{2} < e^x < 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}e^x \le 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{e}{6}x^3\).
양변에서 \(1+x\)를 빼고 \(x^2 > 0\)으로 나누면:
\(\frac{1}{2} < \frac{e^x - 1 - x}{x^2} < \frac{1}{2} + \frac{e}{6}x\).
\(x \to 0^+\)일 때 우변의 극한은 \(\lim_{x\to 0^+} \left(\frac{1}{2} + \frac{e}{6}x\right) = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}\).
조임정리에 의해: \(\lim_{x\to 0^+} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}\)이다. (증명 완료)

[정답] 증명 완료 (\(\frac{1}{2}\))

[3-1] 정삼각형의 높이 계산:
\(\triangle ABC\)와 \(\triangle BCD\)는 모두 한 변의 길이가 \(a\)인 정삼각형이다.
\(M\)은 공통 모서리 \(BC\)의 중점이므로 \(AM \perp BC\), \(DM \perp BC\)이다.
정삼각형의 높이 공식에 의해:
\(AM = \frac{\sqrt{3}}{2}a\), \(DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a\).

[3-2] 코사인 법칙을 이용한 이면각 증명:
두 면 \(\triangle ABC\)와 \(\triangle BCD\)가 이루는 이면각은 \(\angle AMD = \theta\)이다.
\(\triangle AMD\)에서 세 변의 길이는 \(AM = \frac{\sqrt{3}}{2}a\), \(DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a\), \(AD = a\)이다.
코사인 법칙에 의해:
\(\cos\theta = \frac{AM^2 + DM^2 - AD^2}{2 \cdot AM \cdot DM} = \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 - a^2}{2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)}\)
\(= \frac{\frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{4}a^2 - a^2}{2 \cdot \frac{3}{4}a^2} = \frac{\frac{6}{4}a^2 - \frac{4}{4}a^2}{\frac{6}{4}a^2} = \frac{2/4}{6/4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).
따라서 \(\cos\theta = \frac{1}{3}\)이다. (증명 완료)

[정답] [3-1] \(AM = DM = \frac{\sqrt{3}}{2}a\), [3-2] 증명 완료 (\(\cos\theta = \frac{1}{3}\))

[4-1] 기함수 대칭성 증명:
\(F(-x) = \int_0^{-x} e^{-t^2}\,dt\). 치환적분: \(u = -t \implies dt = -du\).
\(t: 0 \to -x \implies u: 0 \to x\).
\(F(-x) = \int_0^x e^{-(-u)^2}(-du) = -\int_0^x e^{-u^2}\,du = -F(x)\).
따라서 \(F(-x) = -F(x)\)이므로 \(F(x)\)는 원점에 대하여 대칭인 기함수이다. (증명 완료)

[4-2] 도함수 및 볼록성 판별:
• 1계 도함수: \(F'(x) = e^{-x^2}\). (모든 실수 \(x\)에서 \(F'(x) > 0\)이므로 항상 순증가)
• 2계 도함수: \(F''(x) = -2x e^{-x^2}\).
\(x > 0\)일 때: \(-2x < 0\)이고 \(e^{-x^2} > 0\)이므로 \(F''(x) < 0\)이다.
따라서 \(x > 0\)에서 곡선 \(y = F(x)\)는 위로 볼록(Concave down)하다.

[4-3] 부등식 \(F(x) < x\) 증명:
제시문 나에 의해 \(t > 0\)일 때 \(e^{-t^2} < 1\)이다.
\(x > 0\)인 구간 \([0, x]\)에서 양변을 정적분하면:
\(F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt < \int_0^x 1\,dt = [t]_0^x = x\).
따라서 \(x > 0\)일 때 \(F(x) < x\)이다. (증명 완료)

[정답] [4-1] 기함수 증명 완료, [4-2] \(F'(x)=e^{-x^2}, F''(x)=-2xe^{-x^2}\), 위로 볼록, [4-3] 증명 완료