[제시문 가] 이항정리에 의해 \((1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k\)이다.
[제시문 나] 연속확률변수 \(X\)가 정규분포 \(N(m, \sigma^2)\)을 따를 때, 표준화 변수 \(Z = \frac{X - m}{\sigma}\)는 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따른다.

[1-1] \((1+x)^n\)의 양변을 미분하여 \(\sum_{k=1}^n k \binom{n}{k} = n 2^{n-1}\)임을 증명하시오. (12점)
[1-2] 확률변수 \(X\)가 정규분포 \(N(50, 10^2)\)을 따를 때, \(P(40 \le X \le 70)\)의 값을 표준정규분포표 \(P(0 \le Z \le 1) = 0.3413, P(0 \le Z \le 2) = 0.4772\)를 이용하여 구하시오. (18점)

[제시문 가] 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)인 \(c \in (a, b)\)가 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리)
[제시문 나] 함수 \(f(x) = \ln(1+x)\)의 원점 근방에서의 2차 테일러 다항식은 \(P_2(x) = x - \frac{x^2}{2}\)이다.

[2-1] 평균값 정리를 이용하여 \(x > 0\)일 때 \(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x\)가 성립함을 증명하시오. (15점)
[2-2] \(x > 0\)일 때 \(\ln(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right) < \frac{x^3}{3}\)임을 증명하시오. (20점)

[제시문 가] 쌍곡선 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)의 점근선의 방정식은 \(y = \pm \frac{b}{a}x\)이다.
[제시문 나] 좌표공간에서 두 직선 \(l_1, l_2\)가 꼬인 위치에 있을 때, 두 직선 사이의 최단거리는 공통수선의 길이이다.

[3-1] 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = 4\) 위의 임의의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서 두 점근선까지의 거리의 곱이 항상 일정함을 증명하시오. (15점)
[3-2] 좌표공간의 두 직선 \(l_1: x = y = z\), \(l_2: x-1 = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{2}\) 사이의 최단거리를 구하시오. (20점)

[제시문 가] 보어의 수소 원자 모형에서 양자수 \(n\)인 궤도의 에너지 준위는 \(E_n = -\frac{13.6}{n^2}\text{ eV}\)이다. 전자가 전이할 때 방출되는 광자의 에너지는 \(h\nu = |E_{n_1} - E_{n_2}|\)이다.
[제시문 나] 아인슈타인의 광전효과에 따르면 금속에 진동수 \(\nu\)인 빛을 비출 때 튀어나오는 광전자의 최대 운동에너지는 \(E_{k,\max} = h\nu - W\)이다. (\(W\)는 일함수)

[4-1] 수소 원자에서 전자가 \(n=3\)에서 \(n=2\)로 전이할 때 방출되는 빛(발머계열 \(\text{H}_\alpha\))의 에너지를 \(\text{eV}\) 단위로 구하시오. (20점)
[4-2] 일함수가 \(W = 2.0\text{ eV}\)인 금속판에 진동수 \(\nu\)의 빛을 쪼였을 때 저지전압이 \(V_0 = 1.5\text{ V}\)로 측정되었다. 입사한 광자의 에너지를 구하고, 빛의 세기를 2배로 증가시켰을 때 저지전압과 광전류의 변화를 논술하시오. (25점)

[제시문 가] 약산 \(\text{HA}\)와 그 짝염기 \(\text{A}^-\)의 혼합 수용액은 핸더슨-하셀바흐 식 \(\text{pH} = \text{p}K_a + \log\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}\)에 따라 소량의 산이나 염기를 가해도 \(\text{pH}\)가 거의 변하지 않는 완충용액이다.
[제시문 나] 열대 태평양의 무역풍은 표층 해수를 서쪽으로 이동시켜 동태평양에 용승을 일으킨다. 무역풍이 약화되면 동태평양 표층 수온이 평년보다 높아지는 엘니뇨 현상이 발생한다.

[5-1] \(0.1\text{ M}\) 아세트산(\(\text{CH}_3\text{COOH}\))과 \(0.1\text{ M}\) 아세트산 나트륨(\(\text{CH}_3\text{COONa}\)) 완충용액에 소량의 \(\text{HCl}\) 또는 \(\text{NaOH}\)를 가했을 때 일어나는 화학 반응과 \(\text{pH}\) 유지 원리를 논술하시오. (\(\text{p}K_a = 4.76\)) (25점)
[5-2] 평상시와 엘니뇨 시기의 무역풍 세기, 동·서태평양 표층 수온, 기압 배치 및 강수 구역의 변화를 대기-해양 상호작용의 관점에서 비교 논술하시오. (30점)