정답: (1) $2$, (2) $5$

해설:
(1) 함수 $f(x) = \log_{5}(ax+b)$의 그래프가 $x$축과 만나는 점 $\text{A}$의 $y$좌표는 $0$이므로 $\log_{5}(ax_A+b) = 0 \implies ax_A+b = 1 \implies x_A = \frac{1-b}{a}$에서 점 $\text{A}$의 좌표는 $\left(\frac{1-b}{a}, 0\right)$이다. 또한 $y$축과 만나는 점 $\text{B}$의 $x$좌표는 $0$이므로 $y_B = f(0) = \log_{5}(b)$에서 점 $\text{B}$의 좌표는 $\left(0, \log_{5}(b)\right)$이다. 함수 $y = \log_{5}(ax+b)$의 진수 조건에 의해 점근선의 방정식은 $ax+b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$이므로 점 $\text{A}\left(\frac{1-b}{a}, 0\right)$에서 점근선에 내린 수선의 발 $\text{H}$의 좌표는 $\left(-\frac{b}{a}, 0\right)$이다. 점 $\text{A}$가 선분 $\text{OH}$의 중점이므로 $\frac{1-b}{a} = \frac{1}{2} \left(0 + \left(-\frac{b}{a}\right)\right) = -\frac{b}{2a}$에서 양변에 $a$ ($a>1$)를 곱하면 $1-b = -\frac{b}{2} \implies 2 - 2b = -b \implies b = 2$이다.
(2) $b = 2$이므로 점 $\text{A}\left(-\frac{1}{a}, 0\right)$, 점 $\text{B}\left(0, \log_{5}(2)\right)$이다. 조건 $\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}}$에서 $a > 1$이므로 선분 $\text{OA}$의 길이는 $\frac{1}{a}$, 선분 $\text{OB}$의 길이는 $\log_{5}(2)$이다. 따라서 $\frac{1}{a} = \log_{5}(2) \implies a = \frac{1}{\log_{5}(2)} = \log_{2}(5)$이고, 구하고자 하는 값 $b^a$는 $b^a = 2^{\log_{2}(5)} = 5$이다.

정답: (1) $\frac{3}{5}$, (2) $-\frac{4}{3}$

해설:
(1) 이차방정식 $3x^2 - 10x + 3 = 0$을 인수분해하면 $(3x-1)(x-3) = 0$이므로 두 근은 $x = \frac{1}{3}$ 또는 $x = 3$이다. 주어진 조건에서 $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ (제4사분면)이므로 $\cos\theta > 0, \sin\theta < 0$이다. 이에 따라 $1-\sin\theta > 1$이고 $\cos\theta > 0$이므로 $0 < \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} < 1$이다. 따라서 주어진 한 근은 $0$과 $1$ 사이의 값이어야 하므로 $\frac{1}{3}$이다. 즉 $\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = \frac{1}{3} \implies 3\cos\theta = 1-\sin\theta \implies \sin\theta = 1 - 3\cos\theta$가 성립한다. 이를 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에 대입하면 $(1-3\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1 \implies 10\cos^2\theta - 6\cos\theta = 0 \implies 2\cos\theta(5\cos\theta - 3) = 0$이 되고, $\cos\theta > 0$이므로 $\cos\theta = \frac{3}{5}$이다.
(2) $\cos\theta = \frac{3}{5}$을 $\sin\theta = 1 - 3\cos\theta$에 대입하면 $\sin\theta = 1 - 3\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}$이다. 따라서 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$이다.

정답: (1) $a_n = 3n-10$, (2) $114$

해설:
(1) 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$라 하면 $a_n = a_1 + (n-1)d$이다. 수열 $\{a_n + a_{n+2}\}$의 일반항을 $b_n$이라 하면 $b_n = a_n + a_{n+2} = 2a_1 + 2nd = 2(a_1+d) + (n-1)(2d)$이므로, 수열 $\{b_n\}$은 첫째항이 $2(a_1+d)$, 공차가 $2d$인 등차수열이다. 조건에 의해 공차는 $2d = 6 \implies d = 3$이고, 첫째항은 $2(a_1+d) = -8 \implies a_1+3 = -4 \implies a_1 = -7$이다. 따라서 일반항 $a_n$은 $a_n = -7 + (n-1) \times 3 = 3n - 10$이다.
(2) 등차수열의 합 공식에 의해 $S_n = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2} = \frac{n(3n-17)}{2}$이므로, 제 $12$항까지의 합 $S_{12}$는 $S_{12} = \frac{12 \times (3 \times 12 - 17)}{2} = 6 \times 19 = 114$이다.

정답: (1) $a = \frac{1}{5}, b = \frac{9}{5}$, (2) $\frac{18}{5}$

해설:
(1) 함수 $f(x)$가 $x=3$에서 연속이므로 $\lim_{x \to 3-} f(x) = \lim_{x \to 3+} f(x) \implies -3+5 = a(3-2)^2 + b \implies a+b=2 \quad \cdots (\text{ㄱ})$이다. 또한 주기성에 의해 $f(0) = \lim_{x \to 6-} f(x) \implies -0+5 = a(6-2)^2 + b \implies 16a+b=5 \quad \cdots (\text{ㄴ})$이다. (ㄴ)에서 (ㄱ)을 빼면 $15a=3 \implies a=\frac{1}{5}$이고, 이를 (ㄱ)에 대입하면 $b=\frac{9}{5}$이다.
(2) $f(x)$의 주기가 $6$이므로 $f(23) = f(6 \times 3 + 5) = f(5)$이다. $3 < 5 \le 6$이므로 $f(5) = a(5-2)^2+b = 9a+b$이고, 구한 $a, b$를 대입하면 $f(23) = 9\left(\frac{1}{5}\right) + \frac{9}{5} = \frac{18}{5}$이다.

정답: (1) $f(x) = 3x^2+5x-6$, (2) $6$

해설:
(1) 조건 (가)에서 $t = 1/x$로 치환하면 $\lim_{t \to \infty} f(t)/t^2 = 3$이므로 $f(x) = 3x^2+px+q$이다. $f(1)=2, f(2)=16$을 대입하면 $p+q=-1$과 $2p+q=4$를 얻고, 이를 연립하면 $p=5, q=-6$이므로 $f(x) = 3x^2+5x-6$이다.
(2) 조건 (나)에 $f(x)$를 대입하면 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+5x-6-3g(x)}{x} = 5$이다. 극한값이 존재하므로 분자의 최고차항이 소거되어야 하여 $g(x) = x^2+mx+n$이다. 분자를 정리하면 $(5-3m)x - (6+3n)$이므로 극한값은 $5-3m=5 \implies m=0$이다. $g(0)=-3 \implies n=-3$이므로 $g(x)=x^2-3$이다. 따라서 $g(3) = 3^2-3=6$이다.

정답: (1) $y = x+5$, (2) $3\sqrt{2}$

해설:
(1) $f'(x) = 3x^2 + k$이므로 접선의 기울기는 $f'(-1) = 3+k$이다. 점 $\text{A}(-1, 4)$에서의 접선(직선 $\text{AB}$)의 방정식은 $y - 4 = (3+k)(x+1) \implies y = (3+k)x + k + 7 \quad \cdots (\text{ㄱ})$이다. 곡선과 접선을 연립하면 $x^3 + kx + k + 5 = (3+k)x + k + 7 \implies x^3 - 3x - 2 = 0$이고, $x = -1$이 접점이므로 $(x+1)^2(x-2)=0$에서 교점 $\text{B}$의 $x$좌표는 $2$이다. 이를 (ㄱ)에 대입하면 점 $\text{B}$의 좌표는 $(2, 3k+13)$이다. 점 $\text{B}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선 $y - (3k+13) = -(x-2)$의 $y$절편인 점 $\text{C}$의 좌표는 $(0, 3k+15)$이다. 점 $\text{B}$가 선분 $\text{AC}$를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 $\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{BC}} = 0$이다. $\vec{\text{AB}} = (3, 3k+9)$, $\vec{\text{BC}} = (-2, 2)$이므로 내적은 $3 \times (-2) + 2(3k+9) = 6k + 12 = 0 \implies k = -2$이다. 따라서 직선 $\text{AB}$의 방정식은 $y = x+5$이다.
(2) $k = -2$이므로 점 $\text{B}$의 좌표는 $(2, 7)$이다. 두 점 $\text{A}(-1, 4)$와 $\text{B}(2, 7)$ 사이의 거리인 선분 $\text{AB}$의 길이는 $\overline{\text{AB}} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (7 - 4)^2} = 3\sqrt{2}$이다.

정답: (1) $g'(x) = x+1$, (2) $\frac{1}{2}$

해설:
(1) 조건 (나)의 양변을 미분하면 $f(x) = g(x) + xg'(x) - g(x) \implies f(x) = xg'(x) \quad \cdots (\text{ㄱ})$이다. 조건 (가)의 부정적분 식에서 $f(x) = g'(x) + x^2 + C$이고, 여기에 (ㄱ)을 대입하면 $xg'(x) = g'(x) + x^2 + C \implies (x-1)g'(x) = x^2 + C$이다. $g'(x)$가 다항함수이므로 $x^2+C$는 $(x-1)$로 나누어떨어져야 하므로 $x=1$을 대입하면 $1+C=0 \implies C=-1$이다. 따라서 $(x-1)g'(x) = x^2-1 = (x-1)(x+1)$에서 $g'(x) = x+1$이다.
(2) $g'(x) = x+1$의 부정적분은 $g(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + K$이다. (ㄱ)에서 $f(x) = x(x+1) = x^2+x$이므로 $f(1)=2$이다. 조건 (다)에서 $f(1)=g(1)$이므로 $2 = \frac{1}{2} + 1 + K \implies K = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $g(0) = K = \frac{1}{2}$이다.