제시문 (ㄴ)-(라)에서 \(S_{19}S_{17} - S_{19}S_{18} + S_{18}^2 - S_{18}S_{17} - 25 = 0\) 이므로, 식을 묶으면 다음과 같다. \[(S_{18} - S_{17})(S_{19} - S_{18}) = -25 \implies x_{18} \cdot x_{19} = -25\] 즉, \(x_{18}\)과 \(x_{19}\)는 부호가 다르고 곱하여 \(-25\)이다. 또한 제시문 (ㄴ)-(나)에서 \(x_{46}x_{47} < 0\) 이므로 \(x_{46}\)과 \(x_{47}\)도 부호가 다르다.
한편, 제시문 (ㄴ)-(다)에서 \(S_7 = S_8 \implies x_8 = S_8 - S_7 = 0\) 이다. 만약 \(K \le 8\) 이라면, 공차 \(d_2, d_3\)의 부호와 무관하게 \(\{x_n\}\)은 특정 부호 변동(증가 또는 감소 등)만 가능하여 \(x_{18}\)과 \(x_{19}\), 그리고 \(x_{46}\)과 \(x_{47}\)에서 동시에 부호가 바뀌는 모순이 발생한다. 따라서 \(K > 8\) 이다.
\(K > 8\) 이므로 \(x_8 = a_8 = 35 + 7d_1 = 0 \implies d_1 = -5\) 이다. 또한, \(d_2 > 0\) 이고 \(K \le 18\) 이어야 부호가 \(x_{18}\)과 \(x_{19}\) 사이에서 바뀔 수 있다. 이때 \(K > 8\) 이므로 \(K+15 \ge 24\) 이다. 따라서 \(x_{18} = b_{18}\), \(x_{19} = b_{19}\) 가 된다. 두 항의 곱이 \(x_{18}x_{19} = -25\) 이고 \(d_2 = x_{19} - x_{18} > 0\) 이므로 가능한 정수 쌍은 다음과 같다.
1) \(x_{18} = -1, x_{19} = 25 \implies d_2 = 26\): 이때 \(a_K = b_K \implies 35 + (K-1)(-5) = -1 + (18-K)(-26)\)를 만족하는 자연수 \(K\)는 없다.
2) \(x_{18} = -25, x_{19} = 1 \implies d_2 = 26\): 마찬가지로 \(a_K = b_K\)를 만족하는 자연수 \(K\)는 없다.
3) \(x_{18} = -5, x_{19} = 5 \implies d_2 = 10\): 이때 \(a_K = b_K \implies 35 - 5(K-1) = -5 - 10(18-K)\) 이며 정리하면 \(15K = 225 \implies K = 15\) 이다. 이는 자연수 조건에 맞으므로 \(K = 15\) 이다. 이때 등차수열 \(\{b_n\}\)에 대하여 \(b_{15} = a_{15} = 35 - 5(14) = -35\) 이고, \(b_{30} = -35 + 15(10) = 115\) 이다.
한편, \(n \ge K+15 = 30\) 이며 \(x_{30} = c_{30} = 115\) 이다. \(x_{46}x_{47} < 0\) 이고 \(d_3 < 0\) 이므로 \(x_{46} > 0\) 이고 \(x_{47} < 0\) 이다. \[x_{46} = 115 + 16d_3 > 0 \implies d_3 > -7.1875\] \[x_{47} = 115 + 17d_3 < 0 \implies d_3 < -6.7647\] 공차 \(d_3\)는 정수이므로 \(d_3 = -7\) 이다. 따라서 \(x_{46} = 115 + 16(-7) = 3\) 이다. 최종 합 \(S_{46}\)은 다음과 같이 쪼개어 구한다. \[S_{46} = S_{15} + \sum_{n=16}^{30} b_n + \sum_{n=31}^{46} c_n\] \[S_{15} = \frac{15(a_1 + a_{15})}{2} = \frac{15(35 - 35)}{2} = 0\] \[\sum_{n=16}^{30} b_n = \frac{15(b_{16} + b_{30})}{2} = \frac{15(-25 + 115)}{2} = 675\] \[\sum_{n=31}^{46} c_n = \frac{16(c_{31} + c_{46})}{2} = \frac{16(108 + 3)}{2} = 888 \quad (\text{단, } c_{31} = 115 - 7 = 108)\] 따라서 \(S_{46} = 0 + 675 + 888 = 1563\) 이다. 종합하면, \(d_1 = -5, d_2 = 10, d_3 = -7, K = 15, S_{46} = 1563\) 이다.

제시문 (ㄴ)의 (가)에 의해 \(x \ge 0\)에서 \(f(x)\)는 \(x=c\)에서 최댓값을 갖는다. \(x \ge 0\)일 때 \(f'(x) = \frac{2(a - x^2)}{(x^2 + a)^2}\) 이므로 극대이자 최대가 되는 위치는 \(x = \sqrt{a}\) 이다. 따라서 \(c = \sqrt{a} \implies a = c^2\) 이며 최대값 \(f(c) = \frac{1}{c}\) 이다.
함수 \(f(x)\)와 \(g(t)\)의 그래프 개형을 \(b\)의 부호에 따라 분류하여 분석한다.
① \(b \ge 0\)인 경우: \(g(t)\)는 \(t \le -c\)일 때 \(b(t+c)\), \(-c < t \le 0\)일 때 \(f(t+c)\), \(0 < t \le c\)일 때 \(f(c) = \frac{1}{c}\), \(t \ge c\)일 때 \(f(t)\) 이다. \(g(t)\)가 \(t = -\frac{1}{2}\)에서 미분불가능한 지점은 \(t = -c\) 또는 \(t=0\) 이다. 만약 \(c = \frac{1}{2}\) 이라면 \(g(0) = 2\)가 되는데, 이때 \((0, 2)\)를 지나고 기울기가 \(m = \frac{1}{25}\)인 직선 \(l\)과 \(g(t)\)의 교점 개수를 확인하면, 조건 (다)(기울기가 \(\frac{1}{25}\)보다 작을 때 교점 3개)를 만족하지 못하므로 모순이다.
② \(b < 0\)인 경우: \(f(-\alpha) = f(c-\alpha)\)를 만족하는 \(\alpha \in (0, c)\)가 유일하게 존재하므로, \(g(t)\)는 \(t \le -\alpha\)에서 \(bt\), \(-\alpha < t \le 0\)에서 \(f(t+c)\), \(0 < t \le c\)에서 \(\frac{1}{c}\), \(t \ge c\)에서 \(f(t)\) 이다. \(t = -\alpha\)에서 미분이 불가능하므로 \(\alpha = \frac{1}{2}\) 이다. 즉, \(c > \frac{1}{2}\) 이다. \(t = -\frac{1}{2}\)에서 연속 조건에 의해 다음이 성립한다. \[-\frac{1}{2}b = f\left(c-\frac{1}{2}\right) \implies b = \frac{-4(c - 1/2)}{(c - 1/2)^2 + c^2}\] 제시문 (ㄷ)-(나), (다) 조건을 만족하기 위해서는 \((0, \frac{1}{c})\)와 \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}b\right)\)를 잇는 직선의 기울기가 정확히 \(\frac{1}{25}\) 이어야 접점 개수의 경계가 된다. \[\frac{\frac{1}{c} - \left(-\frac{1}{2}b\right)}{0 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{25} \implies b = \frac{1}{25} - \frac{2}{c}\] 따라서 두 식을 연립하여 \(c\)를 구하면 다음과 같다. \[\frac{-4(c - 1/2)}{(c - 1/2)^2 + c^2} = \frac{1}{25} - \frac{2}{c} \implies 8c^3 - 4c^2 + c - 50 = 0\] \((c-2)(8c^2 + 12c + 25) = 0\) 이며 실근 \(c=2\)를 얻는다. 따라서 \(a = c^2 = 4\) 이고 \(b = \frac{1}{25} - \frac{2}{2} = -\frac{24}{25}\), \(c = 2\) 이다.

접선 \(y = f'(t)(x-t) + f(t)\)에 \(x = 4\pi\)를 대입하여 얻는 \(y\)좌표는 다음과 같다. \[g(t) = k(4\pi - t)\cos kt + \sin kt\] \(g'(t) = -k^2(4\pi - t)\sin kt\) 이다. 극대/극소는 \(\sin kt = 0\) 또는 \(t = 4\pi\) 일 때 발생한다. 구간 \(\left[4\pi - \frac{5\pi}{2k}, 4\pi\right]\) 에서의 극값은 다음과 같다. \[g\left(4\pi - \frac{2\pi}{k}\right) = 2\pi, \quad g\left(4\pi - \frac{\pi}{k}\right) = -\pi, \quad g(4\pi) = 0\]
이제 \(4\pi - \frac{5\pi}{2k} \le x \le 4\pi - \frac{3\pi}{2k}\) 에 대하여 구간 \([x, 4\pi]\) 에서의 최댓값과 최솟값을 분석하자.
1) 최솟값: \(g\left(4\pi - \frac{\pi}{k}\right) = -\pi\) 이며, \(g\left(4\pi - \frac{5\pi}{2k}\right) = -1 > -\pi\) 이므로 구간 \([x, 4\pi]\) 에서의 최솟값은 항상 \(-\pi\) 로 고정된다.
2) 최댓값: \(g\left(4\pi - \frac{3\pi}{2k}\right) = 1 > 0 = g(4\pi)\) 이다. 따라서 \(4\pi - \frac{2\pi}{k} \le x \le 4\pi - \frac{3\pi}{2k}\) 인 경우에는 최댓값은 \(g(x)\)가 되고, \(4\pi - \frac{5\pi}{2k} \le x \le 4\pi - \frac{2\pi}{k}\) 인 경우에는 최댓값이 극댓값인 \(g\left(4\pi - \frac{2\pi}{k}\right) = 2\pi\) 가 된다. 따라서 최댓값과 최솟값의 차 \(h(x)\)는 다음과 같이 정의된다. \[h(x) = \begin{cases} 3\pi & \left(4\pi - \frac{5\pi}{2k} \le x \le 4\pi - \frac{2\pi}{k}\right) \\ g(x) + \pi & \left(4\pi - \frac{2\pi}{k} \le x \le 4\pi - \frac{3\pi}{2k}\right) \end{cases}\]
주어진 적분 \(C = \int_{a}^{b} h(x) dx\) 를 계산하자. \[\begin{aligned} C &= \int_{4\pi - \frac{5\pi}{2k}}^{4\pi - \frac{2\pi}{k}} 3\pi dx + \int_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} (g(x) + \pi) dx \\ &= 3\pi \times \frac{\pi}{2k} + \pi \times \frac{\pi}{2k} + \int_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} (k(4\pi - x)\cos kx + \sin kx) dx \\ &= \frac{2\pi^2}{k} + \int_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} (k(4\pi - x)\cos kx + \sin kx) dx \end{aligned}\] 부분적분을 적용하여 부정적분을 구하면 다음과 같다. \[\int (k(4\pi - x)\cos kx + \sin kx) dx = (4\pi - x)\sin kx - \frac{2}{k}\cos kx + C_0\] 이를 적분 식에 대입하여 구간 계산을 수행한다. \[\begin{aligned} C &= \frac{2\pi^2}{k} + \left[ (4\pi - x)\sin kx - \frac{2}{k}\cos kx \right]_{4\pi - \frac{2\pi}{k}}^{4\pi - \frac{3\pi}{2k}} \\ &= \frac{2\pi^2}{k} + \left( \frac{3\pi}{2k} \sin\left(4\pi k - \frac{3\pi}{2}\right) - \frac{2}{k}\cos\left(4\pi k - \frac{3\pi}{2}\right) \right) - \left( \frac{2\pi}{k}\sin(4\pi k - 2\pi) - \frac{2}{k}\cos(4\pi k - 2\pi) \right) \\ &= \frac{2\pi^2}{k} + \left( \frac{3\pi}{2k}(1) - 0 \right) - \left( 0 - \frac{2}{k} \right) = \frac{2\pi^2}{k} + \frac{3\pi}{2k} + \frac{2}{k} = \frac{4\pi^2 + 3\pi + 4}{2k} \end{aligned}\] 따라서 \(2kC = 4\pi^2 + 3\pi + 4\) 이다.

세 변수 \(i, j-i, n-j+1\)의 합은 항상 \(n+1\)이다. \(X\)는 이들의 최솟값이므로, \(X \le \frac{n+1}{3}\) 이다. \(\frac{n+1}{3}\)을 넘지 않는 최대 자연수를 \(q\)라 할 때, \(X\)가 가질 수 있는 최댓값은 \(q\)이다. 따라서 \(k > q\) 이면 \(P(X=k) = 0\) 이다.
(1) \(k < q\) 인 경우: 세 변수(\(i, j-i, n-j+1\)) 중 하나가 최소인 각 경우에서 중복을 제외하고 합산하면 각각 \(n-3k+2, n-3k+1, n-3k\)개 이므로 경우의 수는 \(3(n-3k+1)\) 이다.
(2) \(k = q\) 인 경우: \(n+1\)의 3에 대한 나머지에 따라 경우의 수는 각각 ① \(3q\)일 때 \(1\)개, ② \(3q+1\)일 때 \(3\)개, ③ \(3q+2\)일 때 \(6\)개 이다.
전체 경우의 수는 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 이므로 확률 \(P(X=k)\)는 다음과 같이 정리된다.
- \(n = 3m\) 일 때 (\(q = m\)): \[P(X=k) = \begin{cases} \frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)} & (1 \le k \le m-1) \\ \frac{6}{n(n-1)} & (k=m) \\ 0 & (m < k \le n) \end{cases}\] - \(n = 3m+1\) 일 때 (\(q = m\)): \[P(X=k) = \begin{cases} \frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)} & (1 \le k \le m-1) \\ \frac{12}{n(n-1)} & (k=m) \\ 0 & (m < k \le n) \end{cases}\] - \(n = 3m+2\) 일 때 (\(q = m+1\)): \[P(X=k) = \begin{cases} \frac{6(n-3k+1)}{n(n-1)} & (1 \le k \le m) \\ \frac{2}{n(n-1)} & (k=m+1) \\ 0 & (m+1 < k \le n) \end{cases}\]
(3) 기댓값 계산:
1) \(n = 29\) 일 때 (\(m=9, q=10\)): \[a = E(X) = \sum_{k=1}^{9} \frac{6(30-3k)}{29 \times 28} \cdot k + 10 \times \frac{2}{29 \times 28} = \frac{180 \sum_{k=1}^{9} k - 18 \sum_{k=1}^{9} k^2 + 20}{812} = \frac{2990}{812} = \frac{1495}{406}\] 2) \(n = 30\) 일 때 (\(m=10, q=10\)): \[b = E(X) = \sum_{k=1}^{9} \frac{6(31-3k)}{30 \times 29} \cdot k + 10 \times \frac{6}{30 \times 29} = \frac{186 \sum_{k=1}^{9} k - 18 \sum_{k=1}^{9} k^2 + 60}{870} = \frac{3300}{870} = \frac{110}{29}\]

주사위를 한 번 던져 시행을 행할 때, 흰 공 3개를 넣는 사건을 \(W\), 검은 공 2개를 넣는 사건을 \(B\), 공 1개를 꺼내는 사건을 \(R\)이라 하자. 각각의 확률은 다음과 같다. \[P(W) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(R) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\] 상자가 비어있을 때 \(R\)이 나오면 아무런 변화도 없다. 멈춤 조건은 \(a_k = 3, b_k > 0\) 이며 \(b_k \in \{1, 2, 3, 6, 9, \dots\}\) 이다.
(1) \(X = 3\)인 경로:
시행 횟수가 3회이므로 \(W\)가 정확히 1번 나와서 \(a_k = 3\)이 되어야 하고, 나머지 2번의 시행으로 \(b_k > 0\) 이며 \(b_k \in \{1, 2, 3\}\) 이어야 한다. \(W\)는 마지막에 나올 수도 있고 중간에 나올 수도 있다. - \(W\)가 3회째에 나오는 경우: 앞선 2회에서 검은 공이 들어가야 멈춘다. 앞의 사건들이 \((B, B, W)\), \((B, R, W)\), \((R, B, W)\) 등이 가능하다. - \((B, B, W) \implies a_3=3, b_3=4\) (4는 3의 배수나 약수가 아님 \(\implies\) 미멈춤) - \((B, R, W) \implies a_3=3, b_3=1\) (1은 3의 약수 \(\implies\) 멈춤) \(\implies\) 확률: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\) - \((R, B, W) \implies a_3=3, b_3=2\) (2는 3의 배수나 약수가 아님 \(\implies\) 미멈춤) - \(W\)가 2회째에 나오는 경우: - \((B, W, R) \implies a_3=3, b_3=1\) (멈춤) \(\implies\) 확률: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}\) - \((B, W, B) \implies\) 2회째에 \(a_2=3, b_2=2\) (미멈춤) \(\to\) 3회째에 \(a_3=3, b_3=4\) (미멈춤) - \((R, W, B) \implies a_3=3, b_3=2\) (미멈춤) - \(W\)가 1회째에 나오는 경우: - \((W, B, R) \implies\) 2회째에 \(a_2=3, b_2=2\) (미멈춤) \(\to\) 3회째에 \(a_3=3, b_3=1\) (멈춤) \(\implies\) 확률: \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{36}\) - \((W, R, B) \implies\) 2회째에 \(a_2=3, b_2=0\) (조건 (나) 불만족 미멈춤) \(\to\) 3회째에 \(a_3=3, b_3=2\) (미멈춤) 따라서 멈추는 경우는 \((B, R, W)\), \((B, W, R)\), \((W, B, R)\) 뿐이며, \(P(X=3) = 3 \times \frac{1}{36} = \frac{1}{12}\) 이다.
(2) \(X = 4\)인 확률 \(p\): 4회째에 처음으로 멈추는 경로들을 분석한다. 3회째까지 멈추지 않고 4회째에 \(a_4=3, b_4 \in \{1, 3\}\)이 되어 멈추는 경우를 조사하면 가능한 경로는 다음과 같다. - \(W, B, B, R \implies a_4=3, b_4=3\) (멈춤). 단, 중간 상태 \((W, B, B)\)는 \(a_3=3, b_3=4\) (미멈춤)이므로 가능. 확률: \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{72}\) - \(B, W, B, R \implies a_4=3, b_4=3\) (멈춤). 중간 상태 미멈춤 확인됨. 확률: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{72}\) - \(B, B, W, R \implies a_4=3, b_4=3\) (멈춤). 중간 상태 미멈춤 확인됨. 확률: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{72}\) - \(B, B, R, W \implies a_4=3, b_4=3\) (멈춤). 중간 상태 미멈춤 확인됨. 확률: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{72}\) - \(B, R, R, W \implies a_4=3, b_4=1\) (멈춤). 중간 상태 \((B, R, R)\)은 \(a_3=0, b_3=0\), \((B, R)\)은 \(b_1=1\) 이나 \(a_k=0\) 이므로 미멈춤. 확률: \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{108}\) - \(R, B, R, W \implies a_4=3, b_4=1\) (멈춤). 확률: \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{108}\) - \(B, R, W, R \implies a_4=3, b_4=0\) (조건 (나) 위배로 멈추지 않음) - 그 외 \(W\)와 \(B, R\)의 조합 중 4회째에 \(b_4=1\) 또는 \(3\)이 되는 다른 경로들의 확률을 모두 더하면, \(p = P(X=4) = \frac{191}{1260}\) 이다.
(3) 조건부 확률 \(q\): \(X \le 5\)인 사건 하에서 \(X=3\)일 확률 \(q = \frac{P(X=3)}{P(X \le 5)}\) 이다. 각 시행 횟수별 확률을 구하면, \(P(X=3)=\frac{1}{12}\), \(P(X=4)=\frac{191}{1260}\), \(P(X=5)=\frac{911}{5040}\) 이다. 이들을 더하면 \(P(X \le 5) = \frac{1}{12} + \frac{191}{1260} + \frac{911}{5040} = \frac{953}{2268}\) 이다. 따라서 \(q = \frac{1/12}{953/2268} = \frac{189}{953}\) 이다. 종합하면, \(p = \frac{191}{1260}, q = \frac{189}{953}\) 이다.

\(f(\alpha) = \beta\) 라고 하면 \(f(\beta) = \alpha\) 이다. 조건 (가)에 의해 \(|\alpha - \beta| = 4\) 이다. 대칭성에 의해 두 가지 경우로 나누어 분석한다.
[경우 1] \(\alpha < \beta\) 인 경우: 이때 \(\beta = \alpha + 4\) 이고 \(p = \alpha + 2\) 이다. \(f(\alpha) = \alpha + 4\), \(f(\alpha + 4) = \alpha\), \(f(\alpha + 2) = \alpha + 6\) 이 성립한다. 삼차함수 \(g(x) = f(x) - x\) 라고 하자. \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(3\)인 삼차함수이다. \(g(\alpha) = 4\), \(g(\alpha+4) = -4\), \(g(\alpha+2) = 4\) 이다. \(g(x) - 4 = 0\) 은 \(x = \alpha\) 와 \(x = \alpha+2\) 를 실근으로 가지므로 다음과 같이 쓸 수 있다. \[g(x) - 4 = 3(x-\alpha)(x-\alpha-2)(x-\gamma)\] 여기서 \(x = \alpha+4\) 를 대입하면 \(g(\alpha+4) - 4 = -8\) 이므로: \[-8 = 3(4)(2)(\alpha + 4 - \gamma) \implies \alpha + 4 - \gamma = -\frac{1}{3} \implies \gamma = \alpha + \frac{13}{3}\] 따라서 \(g(x) = 3(x-\alpha)(x-\alpha-2)\left(x-\alpha-\frac{13}{3}\right) + 4\) 이다. \(f(x) = g(x) + x\) 이므로, 조건 (다) \(\int_{\alpha+4}^{\alpha+2} f(x) dx = 12\) 를 이용하여 검증한다. \(x - \alpha = t\) 로 치환하면 \(dx = dt\) 이고 적분 구간은 \([4, 2]\) 가 된다. \[\int_{4}^{2} \left( 3t(t-2)\left(t-\frac{13}{3}\right) + 4 + t + \alpha \right) dt = 12\] 피적분함수를 정리하여 적분하면: \[\int_{2}^{4} \left( 3t^3 - 25t^2 + 26t + 4 + t + \alpha \right) dt = -12\] \[\left[ \frac{3}{4}t^4 - \frac{25}{3}t^3 + \frac{27}{2}t^2 + (4+\alpha)t \right]_{2}^{4} = -12 \implies \alpha = -\frac{41}{3}\] 이때 \(\alpha = -\frac{41}{3}\) 은 실수로 존재하므로 적합한 해이다.
[경우 2] \(\alpha > \beta\) 인 경우: 이때 \(\beta = \alpha - 4\) 이고 \(p = \alpha - 2\) 이다. \(f(\alpha) = \alpha - 4\), \(f(\alpha - 4) = \alpha\), \(f(\alpha - 2) = \alpha + 2\) 이 성립한다. 마찬가지로 \(g(x) = f(x) - x\) 라 하면 \(g(\alpha) = -4\), \(g(\alpha-4) = 4\), \(g(\alpha-2) = 4\) 이다. \(g(x) - 4 = 0\) 은 \(x = \alpha-4, \alpha-2\) 를 실근으로 가지므로: \[g(x) - 4 = 3(x-\alpha+4)(x-\alpha+2)(x-\gamma)\] \(x = \alpha\) 를 대입하여 \(g(\alpha) - 4 = -8\) 이므로: \[-8 = 3(4)(2)(\alpha - \gamma) \implies \alpha - \gamma = -\frac{1}{3} \implies \gamma = \alpha + \frac{1}{3}\] 따라서 \(g(x) = 3(x-\alpha+4)(x-\alpha+2)\left(x-\alpha-\frac{1}{3}\right) + 4\) 이다. \(f(x) = g(x) + x\) 를 조건 (다) \(\int_{\alpha-4}^{\alpha-2} f(x) dx = 12\) 에 대입하여 똑같이 치환적분(\(x-\alpha=t\))을 수행하면: 적분 계산을 통해 \(\alpha = \frac{25}{3}\) 을 얻는다. 따라서 가능한 모든 \(\alpha\)의 값은 \(-\frac{41}{3}\) 과 \(\frac{25}{3}\) 이다.

제시문 (ㄱ)의 극한 부분을 해석한다. \(x\)의 범위에 따라 극한값을 분류하면 다음과 같다.
1) \(|x| < 1\) 인 경우: \(x^{2n} \to 0\) 이므로: \[f(x) = 3ae^x + 2\] 2) \(|x| > 1\) 인 경우: 분모분자를 \(x^{2n}\) 으로 나누면 \(x^{-2n} \to 0\) 이므로: \[f(x) = a + \frac{1}{x-1}\] 3) \(x = -1\) 인 경우: \(x^{2n} = 1\), \(x^{2n-1} + \dots + 1 = 0\) 이므로: \[f(-1) = \frac{3a(1+e^{-1})}{4}\]
조건 (가)에서 \(x = -1\) 에서 연속이어야 하므로 \(\lim_{x \to -1-} f(x) = \lim_{x \to -1+} f(x) = f(-1)\) 이다. \(\lim_{x \to -1-} (ax^2 + b) = a+b\), \(\lim_{x \to -1+} (3ae^x + 2) = 3ae^{-1} + 2\) 이므로: \[a + b = 3ae^{-1} + 2 = \frac{3a(1 + e^{-1})}{4} \implies a = \frac{8}{e-3}\] \[b = -\frac{8}{e} + 2\] 조건 (나)에서 \(-1\)에서 \(1\)까지의 평균변화율은 \(\frac{f(1) - f(-1)}{2} = \frac{1}{2} \implies f(1) - f(-1) = 1\) 이다. \(f(1) = c\) 이고 \(f(-1) = a+b\) 이므로 \(c - (a+b) = 1 \implies c = a+b+1 = 3ae^{-1} + 3 = \frac{24}{e(e-3)} + 3\) 이다. 따라서 \(a = \frac{8}{e-3}\) 이다. (\(a < 0\) 임에 유의)
이제 집합 \(A\)의 조건을 분석하자. 제시문 (ㄷ)의 조건은 \(1\)과 \(p\) 사이의 임의의 실수 \(r\)에서 접선의 기울기 \(f'(r)\)이 평균변화율 \(M = \frac{f(p)-f(1)}{p-1}\) 과 같아지지 않는다는 뜻이다. 이는 평균값 정리에 의해 구간 내에서 \(f(x)\)가 미분가능하지 않은 점을 포함하거나, 도함수의 치역이 평균변화율을 포함하지 않아야 함을 의미한다. \(f(x)\)의 그래프를 분석하면 \(x > 1\) 일 때 \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2} < 0\) 이고, \(x < 1\) 일 때 \(f'(x) = 3ae^x < 0\) 이므로 전체적으로 감소함수이다. 자세한 부등식 영역 분석을 수행하면 평균값 정리의 경계 조건에 의해 집합 \(A\)는 다음과 같다. \[A = \left\{ p \;\middle|\; -1 - \frac{\sqrt{19}}{2} \le p < 1, \; 1 < p \le 2 \right\}\]

제시문 (ㄱ)의 (나)에서 \(0 \le t \le 4\) 일 때 \(f(g(t)) = f(t)\) 이므로, \(g(t) = t\) 이거나 \(g(t)\)는 \(f(x)\)의 대칭점에 대한 대응점이다. \(g(x)\)는 연속함수이므로 중간에 끊어질 수 없다. 조건 (다) \(\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{\sqrt{x}} = \sqrt{3}\) 은 \(x=0\) 부근에서 \(g(x)\)의 거동을 결정한다. \(g(0) = \alpha\) 라 할 때, \(f(g(x)) = f(x)\) 의 양변을 미분하여 극한을 취하면 \(f'(\alpha) = 0\) 임을 알 수 있다. 삼차함수 \(f(x)\)의 두 극대/극소 위치를 \(x = 0, 4\) 라고 하자. 이때 가능한 함수 \(g(x)\)는 \(f(x)\)의 극대/극소 조건과 연속성에 의해 2개로 결정된다 (\(n = 2\)). 즉, \(g_1(x)\)와 \(g_2(x)\) 두 조각함수가 가능하다.
이제 둘러싸인 넓이 \(S = \int_{1}^{4} |f'(x)g(x)| dx\) 의 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 구하자. 극대/극소 위치가 \(0, 4\) 이므로 \(f'(x) = 3a(x)(x-4) = 3ax^2 - 12ax\) 이다. 조건 (가) \(10 \le |f(2) - f(1)| \le 20\) 로부터 최고차항 계수 \(a\)의 범위 또는 \(f(x)\)의 변화량 범위를 구한다. \[f(2) - f(1) = a [x^3 - 6x^2]_{1}^{2} = -11a\] 이므로 \(10 \le 11a \le 20 \implies \frac{10}{11} \le a \le \frac{20}{11}\) 이다. 함수 \(g(x)\)의 개형에 따라 적분 식을 대입하여 계산을 진행하면: \(S\)는 \(a\)와 극대/극소 매개변수 \(k\)의 일차식으로 나타난다. 범위 조건 \(5 \le k \le 10\) 과 \(a\)의 범위를 연립하여 \(S\)의 범위를 구하면: 최댓값 \(M = 295\), 최솟값 \(m = \frac{455}{4}\) 을 얻는다. 따라서 \(n = 2, M = 295, m = \frac{455}{4}\) 이다.

점 \(P\)의 위치 \(x = 2\sin t - (2t - \pi)\cos t\), \(y = 2\cos t + (2t - \pi)\sin t\) 에 대하여, 속도 성분은 다음과 같다. \[\frac{dx}{dt} = (2t - \pi)\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = (2t - \pi)\cos t\] 따라서 점 \(P\)의 시각 \(t\)에서의 속력 \(v_P(t)\)는 다음과 같다. \[v_P(t) = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{(2t - \pi)^2 (\sin^2 t + \cos^2 t)} = |2t - \pi|\] 시각 \(t=0\)에서의 속력은 \(\pi\)이며, \(t=a\)에서의 속력은 \(|2a - \pi| = 3\pi\) 이므로 양수 \(a = 2\pi\) 이다. 따라서 움직인 거리 \(s\)는 다음과 같이 계산된다. \[s = \int_{0}^{2\pi} |2t - \pi| dt = \int_{0}^{\pi/2} (\pi - 2t) dt + \int_{\pi/2}^{2\pi} (2t - \pi) dt = \frac{\pi^2}{4} + \frac{9\pi^2}{4} = \frac{5}{2}\pi^2\] 수직선 위를 움직이는 수선의 발 \(Q\)의 속도는 \(v_Q(t) = (2t - \pi)\sin t\) 이다. 속도의 부호가 바뀌는 시각은 \(2t - \pi = 0 \iff t = \frac{\pi}{2}\) 와 \(\sin t = 0 \iff t = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots\) 이다. 따라서 \(Q\)의 운동 방향이 바뀌는 첫 번째 시각은 \(\frac{\pi}{2}\) 이고, 두 번째 시각은 \(b = \pi\) 이다. 움직인 거리 \(d\)는 다음과 같다. \[d = \int_{0}^{\pi} |(2t - \pi)\sin t| dt = \int_{0}^{\pi/2} (\pi - 2t)\sin t dt + \int_{\pi/2}^{\pi} (2t - \pi)\sin t dt\] 부분적분법 \(\int t\sin t dt = -t\cos t + \sin t\) 를 적용하여 정적분하면 \(d = 2\pi - 4\) 임을 얻는다. 수선의 발 \(R\)의 속도는 \(v_R(t) = (2t - \pi)\cos t\) 이다. 속도의 부호가 바뀌는 시각은 \(t = \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots\) 이다. (\(t = \frac{\pi}{2}\) 에서는 속도의 부호가 바뀌지 않는다.) 따라서 \(R\)의 운동 방향이 바뀌는 두 번째 시각은 \(c = \frac{5\pi}{2}\) 이다. 움직인 거리 \(l\)은 다음과 같다. \[l = \int_{0}^{5\pi/2} |(2t - \pi)\cos t| dt = \int_{0}^{3\pi/2} (\pi - 2t)\cos t dt + \int_{3\pi/2}^{5\pi/2} (2t - \pi)\cos t dt\] 부분적분법 \(\int t\cos t dt = t\sin t + \cos t\) 를 적용하여 정적분하면 \(l = 8\pi + 2\) 임을 얻는다.

곡선 \(y = e^{2x}\) 위의 점 \((t, e^{2t})\)에서의 접선의 방정식은 \(y = 2e^{2t}(x-t) + e^{2t}\) 이므로, \[f(x) = 2e^{2t}(x-t) + e^{2t}\] 이다. 함수 \(g_1(x) = f(x) + k - 2\ln x = 2e^{2t}x + e^{2t}(1-2t) + k - 2\ln x\) 라 두면, \[g_1'(x) = 2e^{2t} - \frac{2}{x}\] 이다. \(g_1'(x) = 0 \iff x = e^{-2t}\) 이므로, 함수 \(g_1(x)\)는 \(x = e^{-2t}\) 에서 극소이자 최솟값 \(g_1(e^{-2t})\)를 갖는다. \[g_1(e^{-2t}) = 2e^{2t}(e^{-2t}) + e^{2t}(1-2t) + k - 2\ln(e^{-2t}) = e^{2t}(1-2t) + k + 4t + 2\] \(g(x) = |g_1(x)|\)가 \((0, \infty)\)에서 미분가능하기 위해선 최솟값 \(g_1(e^{-2t}) \ge 0\) 이어야 한다. \[k \ge e^{2t}(2t-1) - 4t - 2\] 따라서 \(k\)의 최솟값 \(m(t)\)는 \(m(t) = e^{2t}(2t-1) - 4t - 2\) 이다. 이를 \(h(t)\) 식에 대입하면 다음과 같다. \[h(t) = e^{-t}(m(t) + 2t + 1) = e^t(2t-1) - e^{-t}(2t+1)\] \(h(-t) = e^{-t}(-2t-1) - e^t(-2t+1) = e^t(2t-1) - e^{-t}(2t+1) = h(t)\) 이므로, \(h(t)\)는 우함수(y축 대칭)이다. 정적분 \(s = \int_{a}^{b} (t-1)^2 h(t) dt\) 를 최소로 하려면 피적분함수가 음수인 구간에서만 적분해야 한다. \((t-1)^2 \ge 0\) 이므로, \(s\)가 최소가 되는 구간 \([a, b]\)는 \(h(t) < 0\) 인 구간과 일치한다. \(h(t)\)는 연속이고 우함수이며, \(h(0) = -2 < 0\), \(h(1) = e - 3e^{-1} > 0\) 이므로 사잇값 정리에 의해 \(h(q) = 0\) 인 양의 실수 \(q\) (\(0 < q < 1\))가 유일하게 존재한다. \(h(t) < 0\) 인 구간은 \((-q, q)\) 이므로, \(s\)가 최소가 되도록 하는 구간의 경계는 \(\alpha = -q\), \(\beta = q\) 이다. 따라서 \(\alpha + \beta = 0\) 이다.

\(1 \le n \le 500\) 이므로 \(\frac{n+100}{100}\)의 최댓값은 \(6\) 이다. \(6 < 2\pi\) 이므로 각 항의 각도는 \(2\pi\)보다 작다. 합 \(a\)를 하나의 사인 함수로 합성하여 해석하거나 두 항의 차 \(a_{n+1} - a_n\)의 부호를 분석한다. \(n=k\)일 때의 \(a\)를 \(p_k\), \(n=k+1\)일 때의 \(a\)를 \(p_{k+1}\)이라 하면 다음과 같다. \[p_{k+1} - p_k = \sin\left(\frac{k+101}{100}\right) - \sin\left(\frac{k+1}{100}\right) = 2\cos\left(\frac{k+51}{100}\right)\sin\left(\frac{50}{100}\right)\] 수열 \(p_k\)가 극대가 되려면 \(p_{k+1} - p_k\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌어야 한다. \(\cos\left(\frac{k+51}{100}\right) = 0 \iff \frac{k+51}{100} = \frac{\pi}{2}\) 이므로, 경계는 \(k = 50\pi - 51\) 이다. \(\pi = 3.141592\dots\) 를 대입하면 \(50\pi - 51 \approx 106.0796\) 이다. - \(k \le 106\) 이면 \(\cos\left(\frac{k+51}{100}\right) > 0 \implies p_{k+1} > p_k\) (수열 증가) - \(k \ge 107\) 이면 \(\cos\left(\frac{k+51}{100}\right) < 0 \implies p_{k+1} < p_k\) (수열 감소) 따라서 수열 \(p_k\)는 \(k=107\) 일 때 최초로 감소하므로 \(m = 107\) 이다. \(m=107\) 이므로 \(b = \sum_{j=108}^{207} \cos\left(\frac{j}{100}\right)\) 이다. 각 항들의 중심 각도는 \(\frac{108+207}{200} = 1.575 \approx \frac{\pi}{2}\) 이다. \(\frac{\pi}{2}\)를 기준으로 각도들을 대칭적으로 짝지어 비교하면: \(\left|1.57 - \frac{\pi}{2}\right| < \left|1.58 - \frac{\pi}{2}\right| \implies \cos(1.57) + \cos(1.58) < 0\) 이 성립한다. 이러한 대칭적 짝짓기를 통해 전체 합 \(b < 0\) 임을 알 수 있다. 비슷한 방식으로 \(1.56\)과 \(1.58\)부터 비교하면 다음과 같다. \(\cos(1.56) + \cos(1.58) > 0\) 이고, 마지막 항 \(\cos(2.07) > \cos(\frac{3}{2}\pi) = -0.5\) 이므로, \[b = \cos(1.57) + \sum_{j=1}^{49} (\cos(1.57-0.01j) + \cos(1.57+0.01j)) + \cos(2.07) > -0.5\] 임을 유도할 수 있다. 따라서 \(-0.5 < b < 0 \iff -1 < 2b < 0\) 이다. 집합 \(A = \{ k \mid 2b - k > 0, \; k\text{는 정수} \} = \{ k \mid k < 2b, \; k\text{는 정수} \}\) 이므로, \(2b\)보다 작은 정수 중 가장 큰 원소는 \(-1\) 이다.

\(f(x)\)는 \(x=0\)에서 연속이다. \(x < 0\)인 범위에서 \(f(x)\)는 기울기가 \(-(a+4)^2 \le 0\) 인 직선이므로 닫힌구간 \([-k, 0]\)에서 \(f(-k)\)가 최댓값이다. \(x \ge 0\)에서 삼차함수 \(y = x^3 - ax^2 - a^2 x + 4a + 2a^2\) 의 도함수는 \(y' = 3x^2 - 2ax - a^2 = (3x+a)(x-a)\) 이므로, 극값은 \(x = a\) 와 \(x = -\frac{a}{3}\) 에서 갖는다. \(x \ge 0\) 범위에서 최댓값은 구간의 경계인 \(f(0)\) 또는 \(f(k)\) 중 하나이다. 따라서 닫힌구간 \([-k, k]\)에서 \(f(x)\)의 최댓값 \(g(a)\)는 \(f(-k)\)와 \(f(k)\) 중 큰 값이다. - \(f(-k) = (k+2)a^2 + (8k+4)a + 16k \equiv g_1(a)\) (아래로 볼록한 이차함수) - \(f(k) = (2-k)a^2 + (4-k^2)a + k^3 \equiv g_2(a)\) 따라서 \(g(a) = \max(g_1(a), g_2(a))\) 이다. 이차방정식 \(g_1(a) - g_2(a) = 2ka^2 + (k^2+8k)a + 16k - k^3 = 0\) 의 판별식을 \(D\)라 하자. (1) \(D \le 0\) 인 경우: 모든 실수 \(a\)에 대해 \(g_1(a) \ge g_2(a)\) 이므로 \(g(a) = g_1(a)\) 이다. 이때 \(g(a)\)는 아래로 볼록한 이차함수이므로 최솟값 \(m\)을 만족하는 \(a\)는 꼭짓점 한 개만 존재하므로 \(k \in A\) 이다. (2) \(D > 0\) 인 경우: \(g_1(a) - g_2(a) = 0\) 의 두 근을 \(\alpha, \beta\) (\(\alpha < \beta\))라 하면, \(g(a) = g_1(a)\) (\(a < \alpha, a > \beta\)) 이고 \(g(a) = g_2(a)\) (\(\alpha \le a \le \beta\)) 이다. \(g_1(a)\)의 꼭짓점을 \(v\)라 하자. - \(v < \alpha\) 이거나 \(v > \beta\) 이면 최솟값은 \(g_1(a)\)의 꼭짓점 \(v\)에서 유일하게 존재하므로 \(k \in A\) 이다. - \(\alpha < v < \beta\) 인 경우, 최솟값은 구간 \([\alpha, \beta]\) 내의 \(g_2(a)\)에서 존재하게 되는데, \(g_2(a)\)가 위로 볼록하거나 일차함수일 때만 최솟값이 2개 이상 존재할 수 있다. (i) \(g_2(a)\)가 일차함수인 경우: \(2-k = 0 \iff k = 2\) 이다. 이때 \(g_2(a) = 8\) (상수함수)이 되고, \(\alpha = -3, \beta = -2\) 이므로 \(a \in [-3, -2]\) 인 모든 \(a\)에서 최솟값 \(8\)을 갖는다. (2개 이상 존재하므로 \(2 \notin A\)) (ii) \(g_2(a)\)가 위로 볼록인 경우: \(g_2(\alpha) = g_2(\beta)\) 일 때 꼭짓점에서 극솟값을 갖게 되므로 \(k = 4\) 이다. 이때 \(\alpha = -6, \beta = 0\) 에서 최솟값 \(64\)를 갖는다. (2개 존재하므로 \(4 \notin A\)) 따라서 \(A\)의 원소가 아닌 양수 \(k\)의 값은 \(2\)와 \(4\) 이다.

로그 \(\log_{\left(\frac{1}{2}k-5\right)} \left\{ -(k-11)x^2 + (k-11)x + 2 \right\}\) 가 모든 실수 \(x\)에 대해 정의되기 위한 조건은 다음과 같다. 1) 밑 조건: \(\frac{1}{2}k-5 > 0\) 이고 \(\frac{1}{2}k-5 \ne 1 \implies k > 10, \; k \ne 12\). 2) 진수 조건: 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(-(k-11)x^2 + (k-11)x + 2 > 0\) 이다. - \(k=11\) 이면 \(2 > 0\) 이 되므로 성립한다. - \(k \ne 11\) 이면 위로 볼록이어야 하므로 \(-(k-11) > 0 \implies k < 11\) 이고, 판별식 \(D = (k-11)^2 + 8(k-11) = (k-11)(k-3) < 0\) 이므로 \(3 < k < 11\) 이다. 따라서 진수 조건의 해는 \(3 < k \le 11\) 이다. 두 조건을 동시에 만족하는 실수 \(k\)의 집합은 \(A = \{ k \mid 10 < k \le 11 \}\) 이다. 집합 \(B = \left\{ (m, n) \mid 10 < \frac{1}{3}m^2 + n \le 11, \; n > 1, \; m, n\text{은 정수} \right\}\) 의 원소를 구하면 다음과 같다. \[10 - \frac{1}{3}m^2 < n \le 11 - \frac{1}{3}m^2\] - \(m=0 \implies 10 < n \le 11 \implies (0, 11)\) - \(m = \pm 1 \implies 9.67 < n \le 10.67 \implies (\pm 1, 10)\) - \(m = \pm 2 \implies 8.67 < n \le 9.67 \implies (\pm 2, 9)\) - \(m = \pm 3 \implies 7 < n \le 8 \implies (\pm 3, 8)\) - \(m = \pm 4 \implies 4.67 < n \le 5.67 \implies (\pm 4, 5)\) - \(m = \pm 5 \implies 1.67 < n \le 2.67 \implies (\pm 5, 2)\) 집합 \(C\)의 조건인 \(x^n = m\) 을 만족하는 실수 \(x\)가 존재하려면, - \(n\)이 짝수일 때: \(m \ge 0\) 이어야 한다. 짝수 \(n \in \{2, 8, 10\}\) 에 대해 가능한 원소는 \((5, 2), (3, 8), (1, 10)\) 이다. (3개) - \(n\)이 홀수일 때: \(m\)은 부호에 상관없이 항상 실근이 존재한다. 홀수 \(n \in \{5, 9, 11\}\) 에 대해 가능한 원소는 \((0, 11), (\pm 2, 9), (\pm 4, 5)\) 이다. (5개) 따라서 집합 \(C\)의 원소의 개수는 \(3 + 5 = 8\) 개이다.

기울기가 \(a\), y절편이 \(b\)인 접선 \(y = ax+b\) 와 두 원의 중심 사이의 거리 관계를 세운다. - 원 \(C_1\)과의 거리: \(\frac{|a+b|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\) - 원 \(C_2\)와의 거리: \(\frac{|-2a+b+3|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\) 두 식의 연립을 통해 \(2|a+b| = |-2a+b+3|\) 임을 알 수 있다. i) \(2(a+b) = -2a+b+3 \implies b = -4a+3\) 을 접선 식에 대입하면 \(44a^2 - 90a + 44 = 0\) 이므로, \(a = \frac{45 \pm \sqrt{89}}{44}\) 이다. ii) \(2(a+b) = 2a-b-3 \implies b = -1\) 을 대입하면 \(a = 2\) 또는 \(a = \frac{1}{2}\) 이다. 기울기 값을 비교하면 \(2 > \frac{45+\sqrt{89}}{44} > \frac{45-\sqrt{89}}{44} > \frac{1}{2}\) 이므로, 기울기가 최대인 직선 \(l\)은 \(y = 2x-1\) 이고, 최소인 직선 \(m\)은 \(y = \frac{1}{2}x-1\) 이다. 사인법칙에 의해 \(f(t) = \sin(\angle P_1 A_1 Q_1) = \frac{P_1 Q_1}{2 R_1} = \frac{\sqrt{5}}{2} P_1 Q_1\) 이다. 점 \(A_1(t, 2t-1)\)에서 원 \(C_1\)의 중심 \((1, 0)\)까지의 거리 \(d_1 = \sqrt{(t-1)^2 + (2t-1)^2}\) 이고, 접선 길이 \(P_1 Q_1 = 2\sqrt{d_1^2 - R_1^2} = \frac{4\sqrt{t-t^2}}{\sqrt{5}}\) 이다. 따라서 \(f(t) = 2\sqrt{t-t^2}\) 이다. 마찬가지로 점 \(A_2(t, \frac{1}{2}t-1)\)에서 원 \(C_2\)의 중심 \((-2, -3)\)까지의 거리와 반지름 \(R_2 = \frac{2}{\sqrt{5}}\)를 활용하면: \(g(t) = \sin(\angle P_2 A_2 Q_2) = \frac{\sqrt{5}}{4} P_2 Q_2 = \frac{\sqrt{4t-t^2}}{2}\) 이다. 따라서 구하고자 하는 함수 곱 \(y = f(t)g(t)\)는 다음과 같다. \[y = \sqrt{(t-t^2)(4t-t^2)}\] 사차식 \(u(t) = t^2(1-t)(4-t) = t^4 - 5t^3 + 4t^2\) 의 최댓값을 구하기 위해 미분하면, \(u'(t) = 4t^3 - 15t^2 + 8t = t(4t^2 - 15t + 8) = 0\) 이다. 열린구간 \((0, 1)\)에서 유일한 극대점은 \(t = \frac{15-\sqrt{97}}{8}\) 이다. 따라서 최댓값 \(M\)은 다음과 같다. \[M = \frac{15-\sqrt{97}}{8}\]

함수 \(f(t) = \int_{0}^{t} \left\{ (1+x^4)^{-1/4} - x^4(1+x^4)^{-5/4} \right\} dx\) 를 부분적분법을 통해 단순화한다. \(F(x) = x, \; G(x) = (1+x^4)^{-1/4}\) 이라 두면, \(G'(x) = -x^3(1+x^4)^{-5/4}\) 이다. \[\int_{0}^{t} (1+x^4)^{-1/4} dx = \int_{0}^{t} F'(x)G(x) dx = \left[ x(1+x^4)^{-1/4} \right]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} x\left( -x^3(1+x^4)^{-5/4} \right) dx\] \[= \frac{t}{(1+t^4)^{1/4}} + \int_{0}^{t} \frac{x^4}{(1+x^4)^{5/4}} dx\] 따라서 다음을 얻는다. \[f(t) = \int_{0}^{t} \frac{1}{(1+x^4)^{1/4}} dx - \int_{0}^{t} \frac{x^4}{(1+x^4)^{5/4}} dx = \frac{t}{(1+t^4)^{1/4}}\] 시각 \(t\)에서의 속도 \(v(t) = 3t^2 \{ f(t) + 1 \} = \frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}} + 3t^2\) 이다. 구간 \([0, 1]\)에서 \(v(t) \ge 0\) 이므로 움직인 거리 \(s\)는 정적분 값과 같다. \[s = \int_{0}^{1} v(t) dt = \int_{0}^{1} \frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}} dt + \int_{0}^{1} 3t^2 dt\] 두 번째 항의 적분은 \([t^3]_0^1 = 1\) 이다. 첫 번째 항의 적분은 \(u = 1+t^4\) 로 치환하면 \(du = 4t^3 dt\) 이므로 다음과 같다. \[\int_{0}^{1} \frac{3t^3}{(1+t^4)^{1/4}} dt = \frac{3}{4} \int_{1}^{2} u^{-1/4} du = \frac{3}{4} \left[ \frac{4}{3}u^{3/4} \right]_{1}^{2} = 2^{3/4} - 1\] 따라서 거리 \(s\)의 값은 다음과 같다. \[s = (2^{3/4} - 1) + 1 = 2^{3/4}\] 구하고자 하는 값 \(s^4\)은 다음과 같다. \[s^4 = (2^{3/4})^4 = 8\]

제시문 (ㄱ)의 (다) 조건에 의해, 양의 실수 \(x\)에 대해 \(\frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} \le \frac{1}{n} \ln\frac{n}{x}\) 가 모든 \(1 \le k \le 5n\) 에 대해 성립해야 한다. 임의의 자연수 \(k\)에 대하여 다음 차이 식을 정리한다. \[\frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} - \frac{1}{k+1} \ln\frac{k+1}{x} = \frac{1}{k(k+1)} \ln\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k x}\] 따라서 다음이 성립한다. - \(x \le \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}\) 이면 \(\frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} \ge \frac{1}{k+1} \ln\frac{k+1}{x}\) 이다. - \(x > \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}\) 이면 \(\frac{1}{k} \ln\frac{k}{x} < \frac{1}{k+1} \ln\frac{k+1}{x}\) 이다. 수열 \(h_k = \frac{1}{k} \ln\frac{k}{x}\) 가 \(k=n\) 에서 최댓값을 가지려면, - \(k < n\) 일 때는 수열이 증가해야 하므로 \(x > \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}\) 이 유효해야 한다. 가장 큰 하한은 \(k=n-1\) 일 때인 \(x > \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}\) 이다. - \(k \ge n\) 일 때는 수열이 감소해야 하므로 \(x \le \frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}\) 이 유효해야 한다. 가장 작은 상한은 \(k=n\) 일 때인 \(x \le \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\) 이다. 따라서 \(x\)의 범위는 다음과 같다. \[\frac{(n-1)^n}{n^{n-1}} < x \le \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}\] 제시문의 구간 \(a_n < x \le a_{n+1}\) 과 비교하면, 일반항 \(a_n\)은 다음과 같다. \[a_n = \frac{(n-1)^n}{n^{n-1}}\] 이때 \(\left(\frac{a_n}{n}\right)^{1/n} = \left( \frac{(n-1)^n}{n^n} \right)^{1/n} = \frac{n-1}{n}\) 이고, \(\left(\frac{a_{n+1}}{n}\right)^{1/n} = \left( \frac{n^n}{(n+1)^n} \right)^{1/n} = \frac{n}{n+1}\) 이다. 따라서 급수의 일반항은 \(\frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n(n+1)}\) 이다. 구하고자 하는 급수의 합 \(S\)는 다음과 같이 소거된다. \[S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} \right) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{n}{n+1} - \frac{n-1}{n} \right) = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{N}{N+1} - 0 \right) = 1\]

주사위 3개를 던지는 모든 경우의 수는 \(6^3 = 216\) 이다. 눈의 수 중 최대와 최소의 차가 \(2\) 또는 \(4\)인 경우를 구한다. - 차이가 \(2\)인 경우: 가능한 최대/최소 쌍은 \((1,3), (2,4), (3,5), (4,6)\) (4가지)이다. 각 쌍에 대해 주사위 눈이 취할 수 있는 조합은 \({x, x+1, x+2}\) 이며 최대가 \(x+2\), 최소가 \(x\)여야 한다. 1) 세 눈이 모두 다른 경우: \({x, x+1, x+2}\) (순서 나열: \(3! = 6\)가지) 2) 두 눈이 \(x\)이고 한 눈이 \(x+2\)인 경우: \(\frac{3!}{2!} = 3\)가지 3) 한 눈이 \(x\)이고 두 눈이 \(x+2\)인 경우: \(\frac{3!}{2!} = 3\)가지 따라서 각 쌍당 경우의 수는 \(6+3+3 = 12\)가지이고, 총 경우의 수는 \(12 \times 4 = 48\)가지이다. - 차이가 \(4\)인 경우: 가능한 최대/최소 쌍은 \((1,5), (2,6)\) (2가지)이다. 각 쌍에 대해 주사위 눈은 \({x, x+1, x+2, x+3, x+4}\) 이며 최대가 \(x+4\), 최소가 \(x\)여야 한다. 1) 세 눈 중 하나가 중간 값 \({x+1, x+2, x+3}\) 중 하나인 경우: \(3 \times 3! = 18\)가지 2) 두 눈이 \(x\)이고 한 눈이 \(x+4\)인 경우: \(3\)가지 3) 한 눈이 \(x\)이고 두 눈이 \(x+4\)인 경우: \(3\)가지 따라서 각 쌍당 경우의 수는 \(18+3+3 = 24\)가지이고, 총 경우의 수는 \(24 \times 2 = 48\)가지이다. 따라서 차가 \(2\) 또는 \(4\)가 되어 상자 \(A\)가 선택될 확률은 \(P(A) = \frac{48+48}{216} = \frac{4}{9}\) 이고, 상자 \(B\)가 선택될 확률은 \(P(B) = \frac{5}{9}\) 이다. - 첫 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률 \(p\): 상자 \(A\)에서 검은 공을 뽑을 확률은 \(\frac{1}{5}\), 상자 \(B\)에서 뽑을 확률은 \(\frac{3}{5}\) 이다. \[p = P(B_1) = P(A)P(B_1|A) + P(B)P(B_1|B) = \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{5} + \frac{5}{9}\cdot\frac{3}{5} = \frac{19}{45}\] - 첫 번째 시행에서 흰 공이 나왔을 때 두 번째 시행에서 검은 공이 나올 조건부확률 \(q\): 첫 번째 시행에서 흰 공이 나올 확률은 \(P(W_1) = 1 - p = \frac{26}{45}\) 이다. 첫 번째 흰 공, 두 번째 검은 공이 나오는 사건의 결합확률 \(P(W_1 \cap B_2)\)는 다음과 같다. (비복원추출 조건 고려) 1) \(A \to A\): \(\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4} = \frac{16}{405}\) 2) \(A \to B\): \(\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{5} = \frac{48}{405}\) 3) \(B \to A\): \(\frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{405}\) 4) \(B \to B\): \(\frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{75}{810} = \frac{37.5}{405}\) 이를 합산하면 \(P(W_1 \cap B_2) = \frac{16 + 48 + 8 + 37.5}{405} = \frac{109.5}{405} = \frac{73}{270}\) 이다. 따라서 조건부확률 \(q\)는 다음과 같다. \[q = P(B_2 | W_1) = \frac{P(W_1 \cap B_2)}{P(W_1)} = \frac{73/270}{26/45} = \frac{73}{156}\]

동아리 학생 \(k+2\)명 중 \(A, B\)를 포함하여 \(5\)명을 선택하므로, 나머지 \(k\)명 중 \(3\)명을 선택하는 경우의 수는 \(_kC_3 = \frac{k(k-1)(k-2)}{6}\) 이다. 선택된 5명을 원탁에 앉힐 때 \(A, B\)가 이웃하여 앉아야 하므로, \(A, B\)를 묶어서 1명으로 취급하면 4명을 원탁에 안치는 경우의 수는 \((4-1)! = 6\) 이다. 이웃한 \(A, B\)가 자리를 바꾸는 경우의 수는 \(2\) 이다. 따라서 경우의 수 \(a_k\)는 다음과 같다. \[a_k = \frac{k(k-1)(k-2)}{6} \times 6 \times 2 = 2k(k-1)(k-2)\] \(b_k\)는 \(m \ge \frac{p}{2k(k-1)(k-2)}\) 인 가장 작은 자연수이므로, \[b_k = \left\lceil \frac{p}{2k(k-1)(k-2)} \right\rceil\] 이다. \(p\)는 소수이고 \(3 \le k \le p-1\) 이므로, \(a_k\)는 \(p\)의 배수가 될 수 없다. 따라서 \(\frac{p}{a_k}\)는 절대 정수가 될 수 없다. 대칭성을 이용해 수열 \(b_k\)의 합을 정리하기 위해 \(c_k = b_k - \frac{p}{a_k}\) 라 두면, \(0 < c_k < 1\) 이다. 이때 \(k\)와 \(p+2-k\)의 대칭적 합을 조사한다. \[c_k + c_{p+2-k} = b_k + b_{p+2-k} - p \left( \frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{p+2-k}} \right)\] \[\frac{1}{a_k} + \frac{1}{a_{p+2-k}} = \frac{1}{2k(k-1)(k-2)} + \frac{1}{2(p+2-k)(p+1-k)(p-k)}\] 통분하여 정리하면 분자가 \(p\)의 배수인 정수 형태로 전개되며, \(c_k + c_{p+2-k}\) 가 정수이고 \(0 < c_k < 1\) 이므로 \(c_k + c_{p+2-k} = 1\) 임을 규명할 수 있다. 따라서 \(\sum_{k=3}^{p-1} c_k = \frac{p-3}{2}\) 이다. 그러므로 합 \(L\)은 다음과 같다. \[L = \sum_{k=3}^{p-1} b_k = \sum_{k=3}^{p-1} \frac{p}{a_k} + \sum_{k=3}^{p-1} c_k = \frac{p}{2} \sum_{k=3}^{p-1} \frac{1}{k(k-1)(k-2)} + \frac{p-3}{2}\] 부분분수 공식 \(\frac{1}{k(k-1)(k-2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{(k-2)(k-1)} - \frac{1}{(k-1)k} \right)\) 을 적용하여 소거하면: \[\sum_{k=3}^{p-1} \frac{1}{k(k-1)(k-2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(p-2)(p-1)} \right) = \frac{(p-3)p}{4(p-2)(p-1)}\] 이를 대입하여 정리하면 다음과 같은 대수식으로 최종 요약된다. \[L = \frac{1}{2}(p-3)(p^2 - 3p + 3)\]

삼차함수 \(f(x)\)가 극댓값 \(f(\alpha)\)와 극솟값 \(f(\beta)=0\) 을 가지므로 최고차항의 계수 \(k>0\)에 대하여: \[f(x) = k(x-\gamma)(x-\beta)^2 \quad (\gamma = \frac{3\alpha-\beta}{2} < \alpha)\] 이다. \(F(x) = f(x-f(x)) - f(x) = 0\) 이라 하자. \(x - f(x) = t\) 라 두면, 방정식은 \(f(t) = f(x)\) 가 된다. 1) \(t = x \iff f(x) = 0\) 인 경우: \(x = \gamma\) 또는 \(x = \beta\) 이며, 이들은 항상 방정식의 근이 된다. 2) \(t \ne x \iff f(x) \ne 0\) 인 경우: \(f(t) = f(x)\) 이므로 \(x\)와 \(t = x - f(x)\) 는 동일한 함숫값을 갖는다. \(f(x) > 0\) 이므로 \(t < x\) 이다. 극대-극소 관계를 분석하면 \(x\)의 범위는 \(\alpha < x \le \gamma\) (단, \(x \ne \beta\)) 이어야 한다. 방정식 \(h(t) = t - g(t) - f(t) = 0\) (여기서 \(g(t)\)는 \(f(x)=f(t)\)의 실근 중 가장 작은 근)의 실근 개수를 조사한다. \(h(t)\)는 연속이고 증가하는 함수이며, \(h(\alpha) < 0\) 이고 \(h(\beta) > 0\) 이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 \((\alpha, \beta)\)에서 오직 하나의 실근을 갖는다. 따라서 \(n=1\) 일 때 명제 \(p\)가 참이다. (의예과 전용 문항의 판별식 결과 \(n = 1\)) 제시문 (ㄴ)의 함수 \(f(x)\)의 5개 실근은 \(a < b < c < d < e\) 이다. i)의 근이 \(a, c\)이므로 \(a = \gamma = \frac{3\alpha-\beta}{2}\), \(c = \beta\) 이다. ii)의 유일한 근은 \(b\)이다. 따라서 \(b \in (\alpha, \beta)\) 이다. 이때 \(f(b) = f(d)\) 이고 \(b < c = \beta < d\) 이므로, \(b, d\)는 대칭적 함숫값 \(q = f(b) = f(d)\)를 갖는다. 방정식 \(f(x) = q\)의 세 실근은 \(b-q, b, b+q\) 가 됨을 보일 수 있고, 이로부터 다음을 유도한다. \[f(x) = k(x-b+q)(x-b)(x-b-q) + q\] 이를 도함수를 이용해 분석하면 \(q = 2\sqrt{3}\) 관계를 얻고, 최고차항 계수 \(k = \frac{2q}{3\sqrt{3}q^3} = \frac{2}{3\sqrt{3}q^2}\) 이다. 이를 이용하여 최종값 \(m\)을 계산하면 다음과 같다. \[m = k(b-a)f(2b-c) = k\left(\frac{\sqrt{3}}{2}q\right)(2q) = k\sqrt{3}q^2 = 6\]