(1) 원 $C : x^2 + (y-r)^2 = r^2$에서 $y \le r$인 아랫부분을 함수로 표현하면 $g(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2}$ 이다.
새로운 함수 $h(x) = f(x) - g(x)$를 정의하자. $f(x)$와 $g(x)$ 모두 구간 $[0, r]$에서 연속이고 미분가능하므로 $h(x)$ 또한 연속이자 미분가능한 함수이다.
조건 (다)에 의해 $h(r) = f(r) - g(r) = f(r) - r < 0$ 이다. 만약 $0 < x < r$인 모든 실수 $x$에 대해 $h(x) \le 0$이라고 가정하자.
이때 $h(0) = f(0) - g(0) = 0 - 0 = 0$이므로, $x \to 0^+$일 때의 우미분계수는 다음과 같다.
$$
\begin{aligned}
h'(0) = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t) - h(0)}{t} \\
= \lim_{t\to0^+} \frac{h(t)}{t} \le 0
\end{aligned}
$$
그러나 실제로 미분계수를 계산하면 다음과 같다.
$$
\begin{aligned}
h'(0) = f'(0) - g'(0) \\
= 1 - \left. \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right|_{x=0} = 1 - 0 = 1 > 0
\end{aligned}
$$
이는 $h'(0) \le 0$이라는 사실과 모순이다. 따라서 귀류법에 의해 $h(c) > 0$을 만족하는 실수 $c$가 열린구간 $(0, r)$에 적어도 하나 존재해야 한다.
함수 $h(x)$는 닫힌구간 $[c, r]$에서 연속이고 $h(c) > 0$, $h(r) < 0$이므로, 사잇값의 정리에 의해 $h(x) = 0$을 만족하는 $x$가 열린구간 $(c, r) \subset (0, r)$에 적어도 하나 존재한다.
즉, 원 $C$와 곡선 $y = f(x)$는 $0 < x < r$에서 적어도 하나의 교점을 가진다.
(2) 교점 $P(t, f(t))$는 원 $C$ 위의 점이므로 원의 방정식에 대입할 수 있다.
$$ \begin{aligned} t^2 + \left(f(t) - r(t)\right)^2 = \left(r(t)\right)^2 \implies t^2 + \{f(t)\}^2 - 2f(t)r(t) + \{r(t)\}^2 \\ = \{r(t)\}^2 \end{aligned} $$
이를 식 정리하면 $2f(t)r(t) = t^2 + \{f(t)\}^2$이다. 교점 $P$의 $x$좌표가 $0 < t < r$이므로 $f(t) > 0$이다. 따라서 구하는 함수 $r(t)$는 다음과 같다.
$$ r(t) = \mathbf{\frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2f(t)}} $$
(3) 소문항 (2)에서 구한 $r(t)$를 이용하여 극한을 구한다.
$$ \begin{aligned} \lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2tf(t)} \\ = \lim_{t\to0^+} \frac{1}{2}\left(\frac{t}{f(t)} + \frac{f(t)}{t}\right) \end{aligned} $$
함수 $f(x)$가 미분가능하고 $f(0) = 0, f'(0) = 1$이므로 $\lim_{t\to0^+} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = f'(0) = 1$이고, 역수의 극한인 $\lim_{t\to0^+} \frac{t}{f(t)} = \frac{1}{f'(0)} = 1$이다.
따라서 구하는 극한값은 다음과 같다.
$$ \lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \frac{1}{2}(1 + 1) = \mathbf{1} $$
(1) 다항함수 $g(x)$의 최고차항을 $ax^n$ ($a \neq 0$)이라 하자.
조건 (가)에 의해 $f(x) = x^3 - 3x$이므로, $\{f(x)\}^2$의 최고차항은 $x^6$이다. 한편, 피적분함수 $f(t)g(t)$의 최고차항은 $at^{n+3}$이므로 이의 적분인 $\int_{0}^{x} f(t)g(t) dt$의 최고차항은 $\frac{a}{n+4}x^{n+4}$이다.
조건 (나)의 극한값이 $\frac{1}{3}$로 수렴하므로 두 다항식의 차수는 동일해야 한다. 즉, $n+4 = 6 \implies n = 2$이다.
계수 비교를 하면 $\frac{a}{6} = \frac{1}{3} \implies a = 2$이다. 조건 (다)에 의해 $g(0) = 0$이므로, $g(x) = 2x^2 + bx$ ($b$는 상수)로 둘 수가 있다.
이때 $h(x) = x^2 - g(x) = -x^2 - bx$ 이다. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이므로, 축의 방정식은 $x = -\frac{b}{2}$이다.
구간 $[1, 3]$에서의 최솟값을 확인하기 위해 축의 위치에 따른 케이스를 나눈다.
① 축 $x = -\frac{b}{2} < 2$ (즉, $b > -4$)인 경우, 이차함수의 대칭성에 의해 최솟값은 $x = 3$에서 발생한다.
$$ h(3) = -9 - 3b = 4 \implies 3b = -13 \implies b = -\frac{13}{3} $$
가정인 $b > -4$를 만족하지 않으므로 모순이다.
② 축 $x = -\frac{b}{2} \ge 2$ (즉, $b \le -4$)인 경우, 최솟값은 $x = 1$에서 발생한다.
$$ h(1) = -1 - b = 4 \implies b = -5 $$
가정인 $b \le -4$를 만족하므로 모순이 없으며 성립한다. 따라서 구하는 다항함수는 $\mathbf{g(x) = 2x^2 - 5x}$이다.
(3) 두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x) + kx$가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나기 위해서는 방정식 $f(x) - g(x) - kx = 0$이 중근 하나와 다른 실근 하나(총 2개의 서로 다른 실근)를 가져야 한다.
$$
\begin{aligned}
f(x) - g(x) - kx = x^3 - 3x - (2x^2 - 5x) - kx \\
= x^3 - 2x^2 + (2-k)x = 0
\end{aligned}
$$
인수분해를 하면 $x\left(x^2 - 2x + 2 - k\right) = 0$ 이다. 근 중 하나는 항상 $x=0$이므로 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.
Case 1: 이차방정식 $x^2 - 2x + 2 - k = 0$이 $0$이 아닌 중근을 갖는 경우
판별식이 $0$이어야 하므로 $\frac{D}{4} = 1 - (2 - k) = 0 \implies k = 1$이다.
이때 이차방정식은 $x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0$이 되어 $x=1(\text{중근})$을 가지며, $0$이 아니므로 성립한다.
이때의 연립방정식은 $x(x-1)^2 = x^3 - 2x^2 + x = 0$이며, 두 곡선 사이의 넓이 $S$는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} S = \int_{0}^{1} |x^3 - 2x^2 + x| dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} \\ = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{12}} \end{aligned} $$
Case 2: 이차방정식 $x^2 - 2x + 2 - k = 0$이 $x=0$을 하나의 근으로 갖는 경우
$x=0$을 대입하면 $2-k = 0 \implies k = 2$이다.
이때 삼차방정식은 $x^2(x-2) = 0$이 되므로, $x=0(\text{중근})$과 $x=2$를 근으로 가져 서로 다른 2개의 실근 조건을 만족한다.
이때 두 곡선 사이의 넓이 $S$는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} S = \int_{0}^{2} |x^3 - 2x^2| dx = \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) dx = \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} \\ = \frac{16}{3} - 4 = \mathbf{\frac{4}{3}} \end{aligned} $$
따라서 만족하는 상수 $k$의 값은 $\mathbf{k=1, 2}$이며, 둘러싸인 도형의 넓이는 각각 $\mathbf{k=1}$일 때 $\mathbf{\frac{1}{12}}$, $\mathbf{k=2}$일 때 $\mathbf{\frac{4}{3}}$이다.
(1) $0 < x < \frac{\pi}{2}$일 때, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $x$인 부채꼴 $OAB$를 좌표평면 위에 두자.
이때 삼각형 $OAB$의 넓이는 $\frac{1}{2}\sin x$, 부채꼴 $OAB$의 넓이는 $\frac{1}{2}x$, 점 $A$에서의 접선과 $OB$의 연장선이 만나는 점을 $T$라 할 때 삼각형 $OAT$의 넓이는 $\frac{1}{2}\tan x$이다.
기하학적 대소관계에 의해 다음이 성립한다.
$$ \frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x \implies \sin x < x < \tan x $$
이때 $\sin x > 0$이므로 부등식의 세 항을 $\sin x$로 나누면 다음과 같다.
$$ 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x} $$
각 항의 역수를 취하면 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ 이다. $\lim_{x\to0^+} \cos x = 1$이므로, 샌드위치 정리(조임 정리)에 의해 $\lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$이다.
음의 실수 영역인 $-\frac{\pi}{2} < x < 0$에 대해서는 $x = -t$ ($t > 0$)로 치환하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{t\to0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} = \lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-t} \\ = \lim_{t\to0^+} \frac{\sin t}{t} = 1 \end{aligned} $$
따라서 우극한과 좌극한이 같으므로 $\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1$ 이 증명된다.
(2) 원 $C$의 $2n$개의 꼭지점 $P_0, P_1, \dots, P_{2n-1}$에 대해 인접한 두 점과 원점 $O$가 이루는 꼭지각들을 계산하자.
- $k = 2m$ (짝수)일 때, $\angle P_0 O P_{2m} = \frac{2m}{n}\pi = \frac{6m}{3n}\pi$이다.
- $k = 2m+1$ (홀수)일 때, $\angle P_0 O P_{2m+1} = \frac{3(2m+1)-1}{3n}\pi = \frac{6m+2}{3n}\pi$이다.
따라서 꼭지각들의 크기는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \angle P_{2m} O P_{2m+1} = \angle P_0 O P_{2m+1} - \angle P_0 O P_{2m} \\ = \frac{6m+2}{3n}\pi - \frac{6m}{3n}\pi = \frac{2\pi}{3n} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} \angle P_{2m+1} O P_{2m+2} = \angle P_0 O P_{2m+2} - \angle P_0 O P_{2m+1} \\ = \frac{6m+6}{3n}\pi - \frac{6m+2}{3n}\pi = \frac{4\pi}{3n} \end{aligned} $$
원 $C$의 반지름이 $1$이므로 이웃한 점들로 쪼개진 $2n$개의 삼각형의 넓이의 합 $S(n)$은 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} S(n) = n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{2\pi}{3n} \right) + n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{4\pi}{3n} \right) \\ = \mathbf{\frac{n}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3n} + \sin \frac{4\pi}{3n} \right)} \end{aligned} $$
이제 $N = 2026^n$이라 하면 $n \to \infty$ 일 때 $N \to \infty$ 이므로 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} S(2026^n) = \lim_{N\to\infty} \frac{N}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3N} \\ + \sin \frac{4\pi}{3N} \right) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} = \lim_{N\to\infty} \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{3N}}{\frac{2\pi}{3N}} + \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{4\pi}{3N}}{\frac{4\pi}{3N}} \right) \\ = \frac{\pi}{3} \cdot 1 + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \mathbf{\pi} \end{aligned} $$
(1) 곡선 $y = e^{-x}$ 위의 접점의 좌표를 $P(c, e^{-c})$라 하자. $y' = -e^{-x}$이므로 점 $P$에서의 접선의 기울기는 $-e^{-c}$이다. 접선의 방정식은 다음과 같다.
$$ y - e^{-c} = -e^{-c}(x - c) \implies y = -e^{-c}(x - c) + e^{-c} $$
이 접선이 점 $(n, 0)$을 지나므로 다음이 성립한다.
$$ 0 = -e^{-c}(n - c) + e^{-c} \implies e^{-c}(c - n + 1) = 0 $$
$e^{-c} \neq 0$이므로 $c = n - 1$이다. 따라서 접점의 좌표는 $\mathbf{P(n-1, e^{1-n})}$이고, 접선의 방정식은 $\mathbf{y = -e^{1-n}(x - n)}$이다.
(1) $0 < t \le \frac{\sqrt{3}}{2}$인 경우: 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형은 마름모이고, 이 마름모는 2개의 높이가 $\frac{\sqrt{3}}{2}t$인 정삼각형으로 나누어지므로 넓이는
$$ S(t) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2 $$
이다. $\frac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}$인 경우: 육각형 $KLMNOP$의 넓이를 두 사다리꼴의 합으로 구하면
$$ S(t) = -\sqrt{3}t^2 + 3t - \frac{\sqrt{3}}{4} $$
이다. 따라서
$$ \begin{aligned} S(t) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2 & \left(0 < t \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ -\sqrt{3}t^2 \\ + 3t - \dfrac{\sqrt{3}}{4} & \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\right) \end{cases} \end{aligned} $$
이다.
(2) $\frac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}$에서 $S'(t) = -2\sqrt{3}t + 3 = 0 \implies t = \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. $t = \frac{\sqrt{3}}{2}$일 때 극댓값 $S\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{8}$을 갖는다. 따라서 함수의 최댓값은 $\dfrac{3}{8}$이다.
이때 6개의 삼각형 MFN, NBO, ODP, PCK, KEL, LAM은 모두 높이가 $\frac{1}{2}$인 정삼각형이므로 도형은 한 변의 길이가 $\frac{1}{\sqrt{3}}$인 정육각형이다. 따라서 둘레의 길이는 $2\sqrt{3}$이다.
(3) 한 변의 길이가 $1$인 정육각형의 넓이는 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$이다. $\overline{A_1B_1} = 1$이므로 $\overline{A_2B_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$이다.
$S_1$은 한 변의 길이가 $\frac{1}{\sqrt{3}}$인 정삼각형 6개의 넓이의 합이므로 $S_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$이다.
$S_n$은 수열이고 공비가 $\frac{1}{3}$인 등비수열이므로
$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{S_1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{3}} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$
이다.
(1) 직선 $y = nx$ 위의 점 $P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)$에 대하여 삼각형 $OPQ$는 직각삼각형이므로
$$
\begin{aligned}
\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n \\
= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}
\end{aligned}
$$
이다.
(1) 직선 $y = nx$ 위의 점 $P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)$에 대하여 삼각형 $OPQ$는 직각삼각형이므로
$$
\begin{aligned}
\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n \\
= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}
\end{aligned}
$$
이다.
(1) 직선 $y = nx$ 위의 점 $P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)$에 대하여 삼각형 $OPQ$는 직각삼각형이므로
$$
\begin{aligned}
\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n \\
= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}
\end{aligned}
$$
이다.
(1) 직선 $y = nx$ 위의 점 $P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)$에 대하여 삼각형 $OPQ$는 직각삼각형이므로
$$
\begin{aligned}
\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n \\
= \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}
\end{aligned}
$$
이다.
$\text{aaa??}$, $\text{?aaa?}$, $\text{??aaa}$ (세 번 연속): 각 위치에서 $a \neq \text{앞뒤}$ 조건 적용하면 $3 \times 9 \times 9 = 243$, 단 겹치는 $\text{aaaa?}$, $\text{?aaaa}$ 제거 필요
$\text{aaaa?}$, $\text{?aaaa}$ (네 번 연속): $2 \times 9$가지
(1) 조건 (가)에서 $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{f(x)}{x^2} - x \right\} = -1$ 이므로, $f(x)$는 최고차항이 $x^3$이고 이차항의 계수가 $-1$인 다항함수이다. 따라서
$$ f(x) = x^3 - x^2 + bx + c $$
로 둘 수 있다. 조건 (나)에서 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{4}$ 이므로 분모가 $0$으로 갈 때 극한값이 존재하므로 분자 $f(0) = 0 \R\rightarrow c = 0$ 이다. 또한
$$
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) \\
= \frac{1}{4} \R\rightarrow b = \frac{1}{4}
\end{aligned}
$$
이다. 따라서 구하고자 하는 다항함수는
$$ f(x) = x^3 - x^2 + \frac{1}{4}x $$
이다.
(3) 변곡점 대칭성에 의해 $g(x) = \dfrac{1}{2}\left\{f\left(\dfrac{1}{3}-x\right) + f\left(\dfrac{1}{3}+x\right)\right\} = f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{108}$ (상수함수)이다.
따라서 방정식 $|f(x) - g(x)| = k$는 $\left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right| = k$의 실근 개수 $p(k)$를 구하는 것이다.
$y = \left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right|$의 그래프는 극대점이 $\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{108}\right)$, 극소점이 $\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{108}\right)$인 곡선을 $y$축 방향으로 $-\dfrac{1}{108}$만큼 평행이동한 후 접어 올린 형태이다.
따라서 접어 올린 후의 극대 높이는 $\dfrac{1}{108}$이다.
$k < 0$: $p(k) = 0$
$k = 0$: 극댓값/극솟값이 $0$이 되므로 만나는 점 $p(0) = 3$
$0 < k < \dfrac{1}{108}$: 접어 올려져서 골짜기 사이로 가므로 $p(k) = 6$
$k = \dfrac{1}{108}$: 원래의 변곡점 높이 및 접힌 극대들과 만나므로 $p(k) = 4$
$k > \dfrac{1}{108}$: 위쪽 두 날개에서만 만나므로 $p(k) = 2$
따라서 $p(k)$가 불연속인 $k$의 값은 $\mathbf{0}$과 $\mathbf{\dfrac{1}{108}}$이다.
(1) 원 $C$의 중심은 $A(0,1)$이고 원점을 지나므로 반지름은 $1$이다. 따라서 원의 방정식은 $x^2 + (y-1)^2 = 1$이다.
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$이므로 점 $P_1$의 좌표는 $\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$이다.
이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 $AP_1$의 기울기인 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$과 수직이므로 $\sqrt{3}$이다.
따라서 접선의 방정식은 $y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \R\rightarrow y = \sqrt{3}x - 1$ 이다.
곡선 $f(x) = ax^2 + bx + c$는 $y$축 대칭이므로 $b = 0$이다. $P_1$에서의 미분계수 $f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \R\rightarrow a = 1$ 이다.
점 $P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$을 지나므로 $\dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + c \R\rightarrow c = -\dfrac{1}{4}$ 이다.
따라서 구하는 이차함수는 $f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}$ 이다.
(2) 두 접선의 교점 $Q$의 좌표는 두 접선 $y = \sqrt{3}x-1$과 $y = -\sqrt{3}x-1$의 교점이므로 $Q(0,-1)$이다.
구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다.
사각형 $AP_2QP_1$의 넓이는 삼각형 $AP_1Q$ 넓이의 2배이며, 이는 $\overline{AP_1} \cdot \overline{P_1Q} = 1 \cdot \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$이다.
부채꼴 $AP_2P_1$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} r^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
곡선 $y = x^2 - \dfrac{1}{4}$과 두 접선 $y = \pm\sqrt{3}x-1$ 사이의 넓이는 대칭성에 의해
$$ \begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$
이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는
$$ \begin{aligned} S = (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$
이다.
(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다.
작은 원의 반지름을 $r_1$이라 하면, 접선과의 관계에서 $r_1 = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$가 유도된다.
큰 원의 반지름을 $r_2$라 하면, 동일한 방법으로 $r_2 = \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$가 유도된다.
주어진 조건 $\dfrac{r_2}{r_1} = 4$이므로
$$ \begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ = \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 = 4 \end{aligned} $$
$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이므로 $\cos\theta > 0$이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면
$$ \begin{aligned} \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \R\rightarrow 1+\cos\theta \\ = 2 - 2\cos\theta \R\rightarrow 3\cos\theta = 1 \end{aligned} $$
이므로 구하고자 하는 값은 $\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$이다.
(1) 원 $C$의 중심은 $A(0,1)$이고 원점을 지나므로 반지름은 $1$이다. 따라서 원의 방정식은 $x^2 + (y-1)^2 = 1$이다.
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$이므로 점 $P_1$의 좌표는 $\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$이다.
이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 $AP_1$의 기울기인 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$과 수직이므로 $\sqrt{3}$이다.
따라서 접선의 방정식은 $y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \R\rightarrow y = \sqrt{3}x - 1$ 이다.
곡선 $f(x) = ax^2 + bx + c$는 $y$축 대칭이므로 $b = 0$이다. $P_1$에서의 미분계수 $f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \R\rightarrow a = 1$ 이다.
점 $P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$을 지나므로 $\dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + c \R\rightarrow c = -\dfrac{1}{4}$ 이다.
따라서 구하는 이차함수는 $f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}$ 이다.
(2) 두 접선의 교점 $Q$의 좌표는 두 접선 $y = \sqrt{3}x-1$과 $y = -\sqrt{3}x-1$의 교점이므로 $Q(0,-1)$이다.
구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다.
사각형 $AP_2QP_1$의 넓이는 삼각형 $AP_1Q$ 넓이의 2배이며, 이는 $\overline{AP_1} \cdot \overline{P_1Q} = 1 \cdot \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$이다.
부채꼴 $AP_2P_1$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} r^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
곡선 $y = x^2 - \dfrac{1}{4}$과 두 접선 $y = \pm\sqrt{3}x-1$ 사이의 넓이는 대칭성에 의해
$$ \begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$
이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는
$$ \begin{aligned} S = (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$
이다.
(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다.
작은 원의 반지름을 $r_1$이라 하면, 접선과의 관계에서 $r_1 = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$가 유도된다.
큰 원의 반지름을 $r_2$라 하면, 동일한 방법으로 $r_2 = \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$가 유도된다.
주어진 조건 $\dfrac{r_2}{r_1} = 4$이므로
$$ \begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ = \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 = 4 \end{aligned} $$
$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이므로 $\cos\theta > 0$이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면
$$ \begin{aligned} \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \R\rightarrow 1+\cos\theta \\ = 2 - 2\cos\theta \R\rightarrow 3\cos\theta = 1 \end{aligned} $$
이므로 구하고자 하는 값은 $\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$이다.
🎯 채점 기준 및 배점
(1) 점 $P_1$의 좌표와 원의 접선의 방정식을 구하고, 이차함수의 계수를 찾아 $f(x) = x^2 - \frac{1}{4}$을 정확히 구함
8점
(2) 사각형, 부채꼴, 접선과 곡선 사이의 정적분 넓이를 각각 계산하여 최종 면적 $\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3}$를 도출함
10점
(3) 접선에 외접하는 두 원의 기하학적 비례식을 통해 반지름의 비가 $\cos\theta$의 식으로 나타남을 보이고, $\cos\theta = \frac{1}{3}$을 정확히 계산함
(1) 원 $C$의 중심은 $A(0,1)$이고 원점을 지나므로 반지름은 $1$이다. 따라서 원의 방정식은 $x^2 + (y-1)^2 = 1$이다.
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$이므로 점 $P_1$의 좌표는 $\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$이다.
이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 $AP_1$의 기울기인 $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$과 수직이므로 $\sqrt{3}$이다.
따라서 접선의 방정식은 $y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \R\rightarrow y = \sqrt{3}x - 1$ 이다.
곡선 $f(x) = ax^2 + bx + c$는 $y$축 대칭이므로 $b = 0$이다. $P_1$에서의 미분계수 $f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \R\rightarrow a = 1$ 이다.
점 $P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$을 지나므로 $\dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + c \R\rightarrow c = -\dfrac{1}{4}$ 이다.
따라서 구하는 이차함수는 $f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}$ 이다.
(2) 두 접선의 교점 $Q$의 좌표는 두 접선 $y = \sqrt{3}x-1$과 $y = -\sqrt{3}x-1$의 교점이므로 $Q(0,-1)$이다.
구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다.
사각형 $AP_2QP_1$의 넓이는 삼각형 $AP_1Q$ 넓이의 2배이며, 이는 $\overline{AP_1} \cdot \overline{P_1Q} = 1 \cdot \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$이다.
부채꼴 $AP_2P_1$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} r^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$이다.
곡선 $y = x^2 - \dfrac{1}{4}$과 두 접선 $y = \pm\sqrt{3}x-1$ 사이의 넓이는 대칭성에 의해
$$ \begin{aligned} 2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$
이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는
$$ \begin{aligned} S = (\text{사각형 넓이}) - (\text{부채꼴 넓이}) - (\text{곡선과 접선 사이 넓이}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \\ = \frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{3} \end{aligned} $$
이다.
(3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다.
작은 원의 반지름을 $r_1$이라 하면, 접선과의 관계에서 $r_1 = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$가 유도된다.
큰 원의 반지름을 $r_2$라 하면, 동일한 방법으로 $r_2 = \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$가 유도된다.
주어진 조건 $\dfrac{r_2}{r_1} = 4$이므로
$$ \begin{aligned} \frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} \\ = \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 = 4 \end{aligned} $$
$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$이므로 $\cos\theta > 0$이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면
$$ \begin{aligned} \frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \R\rightarrow 1+\cos\theta \\ = 2 - 2\cos\theta \R\rightarrow 3\cos\theta = 1 \end{aligned} $$
이므로 구하고자 하는 값은 $\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}$이다.
(1) 주어진 조건 (가)로부터 $f(0+2) = f(0) + 2$이므로 $f(2) = f(0) + 2$이다.
또 (가)로부터 $f(2) = f(0) + 2$이고, (나)로부터 $f(-0) = -f(0)$이므로 $f(0) = 0$이다.
따라서 $f(0) = 0$, $f(2) = 2$이다. 또 (나)에서 $f(-x) = -f(x)$이므로 $f(-2) = -2$이고
$f(0) = f(2) - 2 = 0$이다.
즉 $f(0) = 0$이고 $f(2) = 2$이므로 롤의 정리에 의하여 $f'(x) = 1$의 근이 열린구간 $(0, 2)$에 하나 이상 존재한다.
또, 조건 (나)에서 $f(-x) = -f(x)$를 미분하면 $-f'(-x) = -f'(x)$이므로 $f'(-x) = f'(x)$, 즉 $f'$은 우함수이다. 따라서 $f'(0) = f'(0)$은 자명하고, 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 $f(-1) = -f(1)$이고 롤의 정리를 다시 적용하면 두 개 이상의 근이 존재함을 알 수 있다.
