[문제 1-4] 승률이 \(p = 3/5 = 0.6\)일 때,
(i) 단판승부 승리 확률: \(0.6\)
(ii) 5전 3선승제 승리 확률: \({}_3\text{C}_3 p^3 + {}_3\text{C}_2 p^2 (1-p) p + {}_4\text{C}_2 p^2 (1-p)^2 p = p^3 + 3p^3(1-p) + 6p^3(1-p)^2 = \frac{2133}{3125} = 0.68256\)
\(0.68256 > 0.6\)이므로 \(\mathbf{5\text{전 } 3\text{선승제}}\) 경기 방식이 더 유리하다.

[문제 2-1] 일반항 분수식 정리:
$\frac{2k-1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2k}{k(k+1)(k+2)} - \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{2}{(k+1)(k+2)} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)$
\(= 2 \left( \frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+2} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)} \right)\)
이웃한 항 소거를 통해 부분합 \(S_n\)을 계산하면:
\(S_n = 2 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n+2} \right) - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)\)
극한값 \(\alpha = \lim_{n \to \infty} S_n = 2(1/2) - 1/2(1/2) = 1 - 1/4 = \mathbf{\frac{3}{4}}\)이다.
따라서 급수 항은 \(\frac{1}{\alpha^n} S_n = (4/3)^n S_n\) 이다.
\(\lim_{n \to \infty} (4/3)^n = \infty\) 이고 \(\lim_{n \to \infty} S_n = 3/4 \ne 0\) 이므로 일반항이 \(0\)으로 수렴하지 않는다.
따라서 \(\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\alpha^n} S_n)\)은 \mathbf{발산}한다.

[문제 2-2] 배각공식 \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)를 누적 적용하면,
\(\sin(2^{11}x) = 2^{11} \sin x P(x)\)이므로, \(P(x) = \frac{\sin(2^{11}x)}{2^{11} \sin x}\)이다.
\(|P(x)| = \frac{1}{2^{11}} \implies |\sin(2^{11}x)| = \sin x\) (\(0 < x < \pi\)에서 \(\sin x > 0\) 이므로)
이 방정식은 다음 두 경우로 나뉜다.
(i) \(\sin(2^{11}x) = \sin x \implies 2^{11}x = x + 2k\pi\) 또는 \(2^{11}x = \pi - x + 2m\pi\)
(ii) \(\sin(2^{11}x) = -\sin x \implies 2^{11}x = -x + 2k\pi\) 또는 \(2^{11}x = \pi + x + 2m\pi\)
위 근들의 구간 \(0 < x < \pi\) 내 존재 여부 및 동시 만족 중복을 검사하면 중복되는 근은 존재하지 않으며,
서로 다른 실근의 개수는 \(2^{11}-1\)개씩 각각 존재하여 총 개수는 \(2^{12} - 2 = \mathbf{4094}\)개이다.

[문제 3-1] \(\alpha = \theta / 2\)라 하고 원 \(O_1\)의 반지름을 \(g\), 중심을 \(G\), \(\overline{OH} = k\)라 하자.
삼각형 \(HOG\)에서 \(\sin \alpha = \frac{g}{1-g} \implies g(\alpha) = \frac{\sin \alpha}{1 + \sin \alpha}\)이다.
그리고 \(k(\alpha) = \frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha}\)이다.
타원 \(T\)의 단축을 \(2b\)라 할 때, \(b^2 = 1 - k^2\)이다. 단축의 길이가 \(2 \overline{OF}\)이므로 \(b = \overline{OF} = k\)이다.
\(b^2 = k^2 \implies 1 - k^2 = k^2 \implies 2k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{2}}\)이다.
$\frac{\cos \alpha}{1 + \sin \alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies 2 \cos^2 \alpha = (1 + \sin \alpha)^2 \implies 2(1 - \sin^2 \alpha) = 1 + 2 \sin \alpha + \sin^2 \alpha$
\(\implies 3 \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha - 1 = 0 \implies (3\sin \alpha - 1)(\sin \alpha + 1) = 0 \implies \sin \alpha = \frac{1}{3}\) 이다.
원 \(O_1\)의 넓이 \(S(\alpha) = \pi g^2 = \pi \frac{\sin^2 \alpha}{(1 + \sin \alpha)^2}\)이므로,
변화율 \(\frac{dS}{dt} = \frac{dS}{d\alpha} \frac{d\alpha}{dt}\) 이고, \(\frac{d\alpha}{dt} = \frac{1}{2} \frac{d\theta}{dt} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)이다.
$\frac{dS}{d\alpha} = \pi \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha (1 + \sin \alpha) - 2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{(1 + \sin \alpha)^3} = \frac{2\pi \sin \alpha \cos \alpha}{(1 + \sin \alpha)^3}$이다.
\(\sin \alpha = 1/3 \implies \cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}\)이므로 대입하면:
\(\frac{dS}{dt} = \frac{2\pi (1/3) (2\sqrt{2}/3)}{(4/3)^3} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \mathbf{\frac{3\pi}{16}}\)이다.
[문제 3-2] \(\vec{OQ} \perp \vec{AQ}, \vec{OQ} \perp \vec{CQ}\) 이므로 점 \(Q\)는 선분 \(AO\)와 선분 \(CO\)를 각각 지름으로 하는 두 원의 교점이다.
따라서 점 \(Q\)는 점 \(O\)에서 선분 \(AC\)에 내린 수선의 발이다. \(\overline{OQ} = \sin \alpha\) 이다.
내적 조건 \(\vec{JI} \cdot \vec{JO} \ge \vec{IJ} \cdot \vec{IF} \implies \overline{JF} \ge \overline{IF}\)가 유도된다.
삼각형 \(IOF\)와 \(OJF\)에서 \(\theta \le \pi/4\)를 얻는다. 따라서 \(\alpha = \theta / 2 \le \pi / 8\)이다.
따라서 \(|\vec{OQ}|^2 = \sin^2 \alpha\)의 최댓값은 \(\alpha = \pi/8\)일 때 발생한다.
\(\sin^2(\pi/8) = \frac{1 - \cos(\pi/4)}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}/2}{2} = \mathbf{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}\)이다.

[문제 3-3] 원 \(O_2\)의 반지름을 \(f\), 선분 \(OK\)의 길이를 \(h\)라 하자. 원 \(O_2\)가 선분 \(OD\)에 접하므로 \(h = f\)이다.
직각삼각형 성질로부터 \(\tan(\alpha/2) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}\)를 얻는다.
덧셈정리를 활용하여 \(\sin \alpha = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{5 - 2\sqrt{2}}\), \(\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}-1}{5-2\sqrt{2}}\), \(\cos 2\alpha = \frac{9-4\sqrt{2}}{33-20\sqrt{2}}\)를 얻고,
최종 관계식 \(\overline{OI} = \frac{119 + 6\sqrt{2}}{21}\)을 연산하면 \(u = 119, v = 6, w = 21\)이 된다.
따라서 \(u + v + w = 119 + 6 + 21 = \mathbf{146}\)이다.

[문제 1-1] 초점거리 \(2c=14 \implies c=7\) 이므로 초점 \(F(7,0), F'(-7,0)\) 이다. 주축의 길이 \(2a=10 \implies a=5\) 이다. 쌍곡선의 성질 \(a^2 + b^2 = c^2\) 에 의해 \(b^2 = 49 - 25 = 24\) 이므로 방정식은 \(\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{24} = 1\) 이다.
쌍곡선 위의 점 \(P\)에서 \(PF' - PF = 10\) 이고, \(F'R = 10\) 이므로 \(PR = PF\) 가 되어 \(\triangle PRF\)는 이등변삼각형이다. 접선 \(\ell\)이 \(\angle FPF'\)을 이등분하고 \(\triangle PQR \equiv \triangle PQF\) (SAS 합동)이므로 \(RQ=FQ\) 가 유도된다.
\(\angle F'QR = \pi/2\) 이므로 \(\triangle F'QR\)은 직각삼각형이다. \(Q(k,0)\) 이라 하면 \(F'Q=7+k, FQ=7-k, RQ=7-k\) 이므로:
\((7+k)^2 + (7-k)^2 = 10^2 \implies 98 + 2k^2 = 100 \implies k=1\) (∵ \(k>0\))이 되어 \(Q(1,0)\) 이고 접선의 방정식은 \(y=x-1\) 이다. 대입해 점 \(P\)를 구하면 \(P(25, 24)\) 이다. \(PF=30, PF'=40, FF'=14\) 이므로 코사인법칙에 의해:
\(\cos\theta = \frac{30^2+40^2-14^2}{2 \times 30 \times 40} = \frac{2304}{2400} = \frac{24}{25} \implies \sin\theta = \frac{7}{25}\) 이다.
구하고자 하는 정적분 수식에 부분적분과 치환적분(\(x = \pi/2 - t\))을 각각 적용하면:
\(\int_0^\theta x \cos x f'(\sin x) dx = \theta f(\sin\theta) - \int_0^\theta f(\sin x) dx\)
\(\int_{\pi/2-\theta}^{\pi/2} f(\cos x) dx = \int_0^\theta f(\sin t) dt\) 이므로 두 항을 더하면 \(\theta f(\sin\theta)\) 만 남는다.
\(f(\sin\theta) = f(7/25) = \frac{5}{\theta} (5(7/25)-2)^3 = -\frac{27}{25\theta}\) 이므로 구하는 정적분 값은:
\(\theta \times \left(-\frac{27}{25\theta}\right) = \mathbf{-\frac{27}{25}}\) (또는 \(-1.08\))이다.

[문제 1-2] \(D\)가 선분 \(RF\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이므로 \(\vec{PD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\) 이다.
\(D\)의 \(PR\)에 대한 대칭점이 \(E\)이므로 \(\vec{PD} + \vec{PE}\)는 \(\vec{a}\)의 실수배이다.
\(\vec{PE} = k\vec{a} + l\vec{b}\) 이므로 \(\vec{PD} + \vec{PE} = (k+1/3)\vec{a} + (l+2/3)\vec{b} = m\vec{a}\) 가 성립한다.
두 벡터 \(\vec{a}, \vec{b}\)는 서로 평행하지 않으므로 \(l + 2/3 = 0 \implies l = -2/3\) 이다. 또한 \(|\vec{PD}|^2 = |\vec{PE}|^2\) 이므로:
$\left|\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\right|^2 = \left|k\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}\right|^2 \implies \frac{1}{9}|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 + \frac{4}{9}\vec{a}\cdot\vec{b} = k^2|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{b}|^2 - \frac{4}{3}k\vec{a}\cdot\vec{b}$
\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\) 이고 \(\cos\theta = 24/25\) 이므로 내적을 대입하면 \(225k^2 - 288k - 121 = 0 \implies (3k+1)(75k-121)=0\) 이 유도된다.
\(k \ne -1/3\) 이므로 \(k = \frac{121}{75}\) 이다. 따라서 \(k+l = \frac{121}{75} - \frac{50}{75} = \mathbf{\frac{71}{75}}\) 이다.

[문제 2-1] \(\triangle OAB\)에서 \(\overline{AC} \perp \overline{OB}\) 이고 \(\overline{OC} = \overline{BC}\) 이므로 \(\triangle OAB\)는 \(\overline{AO} = \overline{AB}\) 인 이등변삼각형이다. 또한 원뿔에서 \(\overline{OA} = \overline{OB} = \ell\) 이므로 \(\triangle OAB\)는 정삼각형이다. 따라서 \(\overline{AB} = 2R = \ell \implies R = \ell/2\) 이다. 부채꼴 호 \(AK\)의 길이 \(g(\theta) = R\theta\) 이다.
점 \(P\)에서 밑면으로의 수선의 발 \(J\)라 하고 \(\overline{MJ}=t\)라 하면, \(x\)축과의 각도 \(\theta\)에 대하여 \(\triangle MGJ\)에서 \(\overline{GM}=t\cos\theta\) 이므로 \(\overline{AG} = R - t\cos\theta\) 이고 \(\overline{JK} = R-t\) 이다.
직각삼각형 \(\triangle AGH\)에서 \(\overline{HG} = (R - t\cos\theta)/\sqrt{3}\) 이고, \(\triangle KJP\)에서 \(\overline{PJ} = \sqrt{3}(R - t)\) 이다. 직사각형 \(HGJP\)에서 \(\overline{HG} = \overline{PJ}\) 이므로:
\(\frac{R - t\cos\theta}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}(R - t) \implies t = \frac{2R}{3 - \cos\theta}\) 이 유도된다.
직사각형 성질에 의해 \(PH = JG = t\sin\theta\) 이고 대칭성에 의해 \(PQ = 2PH = 2t\sin\theta\) 이므로 \(f(\theta) = 2t\sin\theta\) 이다.
따라서 \(L(\theta) = \frac{f(\theta)}{g(\theta)} = \frac{2t\sin\theta}{R\theta} = \frac{4\sin\theta}{\theta(3-\cos\theta)}\) 이고, 극한값은:
\(\lim_{\theta \to 0^+} L(\theta) = \lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} \times \frac{4}{3-\cos\theta} = 1 \times \frac{4}{2} = \mathbf{2}\) 이다.

[문제 2-2] 모든 구의 중심을 지나는 평면 단면에서 구의 반지름 \(r\)과 원기둥의 반지름 \(R\) 사이의 관계를 구하자.
정\(n\)각형의 중심과 구의 중심 사이의 관계를 나타내면 정\(n\)각형 꼭짓점 사잇각은 \(2\pi/n\)의 절반인 \(\pi/n\)이다.
\(R = r + \frac{r}{\sin(\pi/n)} = r \left( 1 + \frac{1}{\sin(\pi/n)} \right) \implies r = \frac{R \sin(\pi/n)}{1 + \sin(\pi/n)}\) 이다.
원뿔과 원기둥에 동시에 접하는 구가 평면 \(\beta\) 아래에 있으려면, 구의 반지름 \(r\)과 원뿔 of 단면 관계식으로부터:
\(\sqrt{3}R > (3 + \sqrt{3})r\) 을 만족해야 한다. 대입하면:
\(\sqrt{3}R > (3 + \sqrt{3}) \frac{R \sin(\pi/n)}{1 + \sin(\pi/n)} \implies \sin(\pi/n) < \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.5774\) 이 유도된다.
제시문 (마)의 표에 의해 \(\sin(\pi/5) \approx 0.5878 > 0.5774\), \(\sin(\pi/6) = 0.5000 < 0.5774\) 이므로 조건을 만족하는 짝수 \(n\)의 최솟값은 \(\mathbf{6}\)이다.

[문제 1-1] 주어진 정의를 바탕으로 수열의 항 \(a_k, b_k\)의 값을 특정한 경우에 대해 구한다.
① \(a_2\) 구하기 (\(U_3 = \{1, 2, 3\}\), \(n(A) = 2\)):
  \(U_3\)의 부분집합 중 원소가 2개인 \(A\)를 고르는 경우의 수는 \(C(3, 2) = 3\)가지이다.
  조건 \(A \cup B = U_3\)을 만족하려면 \(A^c\)의 원소는 반드시 \(B\)에 속해야 하고, \(A\)의 2개 원소는 각각 \(B\)에 속하거나 속하지 않을 수 있으므로 \(B\)의 경우의 수는 \(2^2 = 4\)가지이다.
  따라서 \(a_2 = 3 \times 4 = 12\) 이다.
② \(b_3\) 구하기 (\(U_4 = \{1, 2, 3, 4\}\), \(n(A) = 3\)):
  \(U_4\)의 부분집합 중 원소가 3개인 \(A\)를 고르는 경우의 수는 \(C(4, 3) = 4\)가지이다.
  \(A \cup B = U_4\)를 만족해야 하므로 \(A^c\)의 1개 원소는 반드시 \(B\)에 속하고, \(A\)의 3개 원소는 \(B\)에 각각 속하거나 속하지 않을 수 있으므로 \(B\)의 경우의 수는 \(2^3 = 8\)가지이다.
  따라서 \(b_3 = 4 \times 8 = 32\) 이다.
③ \(c_2\) 구하기:
  \(b_2\) (\(U_3 = \{1, 2, 3\}\), \(n(A) = 3\)): \(A = U_3\) (1가지)이고 \(B\)는 \(2^3 = 8\)가지이므로 \(b_2 = 8\) 이다.
  \(a_1\) (\(U_2 = \{1, 2\}\), \(n(A) = 2\)): \(A = U_2\) (1가지)이고 \(B\)는 \(2^2 = 4\)가지이므로 \(a_1 = 4\) 이다.
  관계식 \(b_2 = c_1 a_1 \implies 8 = c_1 \times 4 \implies c_1 = 2\) 이다.
  \(b_3 = c_2 (a_1 + a_2) \implies 32 = c_2 (4 + 12) \implies 32 = c_2 \times 16 \implies c_2 = \mathbf{2}\) 이다.

[문제 1-2] 모든 자연수 \(k\)에 대하여 \(c_k = 2\) 임을 증명하고 수열의 곱을 구한다.
① \(a_k\) 와 \(b_k\)의 일반항 유도:
  \(U_{k+1}\)의 부분집합 중 원소 개수가 2개인 \(A\)를 고르는 경우의 수는 \(C(k+1, 2)\) 이고, \(B\)는 \(2^2 = 4\)가지이므로:
  \(a_k = \frac{(k+1)k}{2} \times 4 = 2k(k+1)\) 이다.
  \(U_{k+1}\)의 부분집합 중 원소 개수가 3개인 \(A\)를 고르는 경우의 수는 \(C(k+1, 3)\) 이고, \(B\)는 \(2^3 = 8\)가지이므로:
  \(b_k = \frac{(k+1)k(k-1)}{6} \times 8 = \frac{4}{3}(k-1)k(k+1)\) 이다.
② 관계식 증명:
  \(\sum_{i=1}^k a_i = 2 \sum_{i=1}^k i(i+1) = 2 \left[ \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{k(k+1)}{2} \right] = \frac{2}{3}k(k+1)(k+2)\) 이다.
  한편 \(b_{k+1} = \frac{4}{3}k(k+1)(k+2)\) 이므로 다음 등식이 성립한다.
  \(b_{k+1} = 2 \sum_{i=1}^k a_i \implies c_k = 2\) (모든 자연수 \(k\)에 대해 성립)
③ 수열의 곱 계산:
  \(c_1 c_2 \dots c_k = 2 \times 2 \times \dots \times 2 = \mathbf{2^k}\) 이다.

[문제 2-1] 공원의 중심을 원점, 선분 \(DA\)가 \(x\)축 위에 놓이도록 좌표평면을 설정하면 \(D(90, 0), A(-90, 0)\) 이 된다. 게양대 \(P, Q\) 는 초점이 된다.
황톳길은 거리의 합이 \(180\text{ m}\) 이므로 장축 \(2a=180 \implies a=90\) 인 타원이다. 타원의 방정식은 \(\frac{x^2}{90^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) 이다.
꽃길은 거리의 차가 \(60\text{ m}\) 이므로 주축 \(2a'=60 \implies a'=30\) 인 쌍곡선이다. 쌍곡선의 방정식은 \(\frac{x^2}{30^2} - \frac{y^2}{(b')^2} = 1\) 이다.
음수대 \(R\)에서 \(\triangle PRQ\)가 \(\overline{PQ}\)를 빗변으로 하는 직각삼각형이므로 \(RP^2 + RQ^2 = PQ^2 = (2c)^2 = 4c^2\) 이다. 타원/쌍곡선 정의에 의해 \(RP + RQ = 180\) 이고 \(|RP - RQ| = 60\) 이므로:
\((RP+RQ)^2 + (RP-RQ)^2 = 2(RP^2+RQ^2) \implies 180^2 + 60^2 = 8c^2 \implies 36000 = 8c^2 \implies c^2 = 4500\)
따라서 초점(게양대) 사이의 거리는 \(2c = 2\sqrt{4500} = \mathbf{60\sqrt{5}}\text{ m}\) 이다.
초점 거리로부터 타원의 \(b^2 = a^2 - c^2 = 90^2 - 4500 = 3600 \implies b=60\) 이고,
쌍곡선의 \((b')^2 = c^2 - (a')^2 = 4500 - 30^2 = 3600 \implies b'=60\) 이다.
파란 꽃길이 끝나는 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 \(a=90\) 이므로 쌍곡선 식에 \(x=90\) 을 대입하여 \(y\)좌표(세로 길이)를 구하면:
\(\frac{90^2}{30^2} - \frac{y^2}{60^2} = 1 \implies 9 - \frac{y^2}{3600} = 1 \implies \frac{y^2}{3600} = 8 \implies y^2 = 28800 \implies y = 120\sqrt{2}\) 이다.
따라서 공원의 세로 길이는 \(\mathbf{120\sqrt{2}}\text{ m}\) 이다.

[문제 2-2] 게양대 높이를 \(h\)라 하면 \(h^2 = \tan^2 15^\circ \times BP^2\) 이다.
① 탄젠트 덧셈정리에 의해:
  $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = 2 - \sqrt{3}$ 이다.
② 직각삼각형 \(PAB\)에서 피타고라스 정리에 의해:
  \(\overline{PA} = a - c = 90 - 30\sqrt{5}\) 이고 \(\overline{AB} = 120\sqrt{2}\) 이므로,
  \(BP^2 = (90 - 30\sqrt{5})^2 + (120\sqrt{2})^2 = 30^2 [ (3 - \sqrt{5})^2 + (4\sqrt{2})^2 ] = 900 [ 9 - 6\sqrt{5} + 5 + 32 ]\)
  \(= 900(46 - 6\sqrt{5}) = 1800(23 - 3\sqrt{5})\) 이다.
따라서 높이의 제곱 \(h^2\)은 다음과 같다.
\(h^2 = (2 - \sqrt{3})^2 \times 1800(23 - 3\sqrt{5}) = (7 - 4\sqrt{3}) \times 1800(23 - 3\sqrt{5})\)
\(= 1800 ( 161 - 92\sqrt{3} - 21\sqrt{5} + 12\sqrt{15} )\) 이다.
유리수 값 매칭: \(h_1 = 161, h_2 = -92, h_3 = -21, h_4 = 12\) 이므로,
\(h_1 + h_2 + h_3 + h_4 = 161 - 92 - 21 + 12 = \mathbf{60}\) 이다.

[문제 1-1] \(f'(x) = n(e^{nx} - e^{-nx})\) 이다. 접선의 기울기가 \(2n\)인 조건에서:
\(n(e^{n a_n} - e^{-n a_n}) = 2n \implies e^{n a_n} - e^{-n a_n} = 2\) 이다. \(e^{n a_n} = X > 0\) 이라 놓으면,
\(X - \frac{1}{X} = 2 \implies X^2 - 2X - 1 = 0 \implies X = 1+\sqrt{2}\) (∵ \(X>0\))이다.
따라서 \(e^{n a_n} = 1+\sqrt{2} \implies a_n = \frac{1}{n}\ln(1+\sqrt{2})\) 이다.
이를 이용하여 \(\alpha\)의 극한값을 계산하면:
\(\alpha = \lim_{n \to \infty} (1+a_n)^{1/n} = \lim_{a_n \to 0} (1+a_n)^{\frac{1}{\ln(1+\sqrt{2}) a_n}} = e^{\frac{1}{\ln(1+\sqrt{2})}}\) 이므로 \(\ln \alpha = \frac{1}{\ln(1+\sqrt{2})}\) 이다.
도함수 \(g'(x)\)를 구하면 \(g'(x) = \frac{1}{n} \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{e^{nx} - e^{-nx}}{e^{nx} + e^{-nx}} = 1 - \frac{2}{e^{2nx}+1}\) 이며, 이는 \(x \ge 0\) 에서 증가함수이다.
따라서 구간 \([0, k]\) 에서 최댓값은 \(x=k\) 일 때 발생한다.
최댓값 조건: \(g'(k) = \frac{1}{3} e^{\frac{1}{\ln \alpha}} = \frac{1}{3} e^{\ln(1+\sqrt{2})} = \frac{1+\sqrt{2}}{3}\) 이다. 즉,
$\frac{e^{nk} - e^{-nk}}{e^{nk} + e^{-nk}} = \frac{1+\sqrt{2}}{3} \implies 3(e^{2nk}-1) = (1+\sqrt{2})(e^{2nk}+1) \implies (2-\sqrt{2})e^{2nk} = 4+\sqrt{2}$
\(e^{2nk} = \frac{4+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = 5+3\sqrt{2}\) 이다. 따라서 \(\mathbf{k = \frac{1}{2n}\ln(5+3\sqrt{2})}\) 이다.

[문제 1-2] \(P(a_n, 2\sqrt{2})\), \(Q(-a_n, 2\sqrt{2})\) 로부터 삼각형 \(OPQ\)의 넓이 \(S_n\)은 다음과 같다.
\(S_n = \frac{1}{2} \times 2 a_n \times f(a_n) = 2\sqrt{2} a_n = 2\sqrt{2} \frac{1}{n} \ln(1+\sqrt{2})\) 이다.
넓이가 최대가 되는 자연수 \(n\)은 \(n=1\)일 때이므로, 최댓값 \(S = 2\sqrt{2} \ln(1+\sqrt{2})\) 이고 이때 \(Q'(-\ln(1+\sqrt{2}), 2\sqrt{2})\) 이다.
\(P'(\ln(1+\sqrt{2}), 2\sqrt{2})\) 에서의 접선의 기울기가 \(f'(a_1) = 2\) 이므로, \(y\)축 대칭성에 의해 \(Q'\)에서의 접선의 기울기는 \(-2\) 이다.
포물선 \(y^2 = 12x\) 위의 점 \((a, b)\) 에서의 접선의 방정식은 \(by = 6(x+a)\) 이므로 기울기는 \(\frac{6}{b}\) 이다.
두 접선이 서로 수직이므로: \(\frac{6}{b} \times (-2) = -1 \implies b = 12\) 이다.
점 \((a, 12)\)가 포물선 위의 점이므로 \(12^2 = 12a \implies a = 12\) 이다.
따라서 구하고자 하는 값 \(S\sqrt{ab}\)는:
\(S\sqrt{ab} = S\sqrt{12 \times 12} = 12S = 12 \times 2\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2}) = \mathbf{24\sqrt{2}\ln(1+\sqrt{2})}\) 이다.

[문제 2-1] 보조선을 긋고 삼각 기하 관계를 파악한다.
삼각형 \(O_1 B O_2\) 에서 \(O_1 B = x\) 라 두면 \(O_1 O_2 = 4\), \(O_2 B = 2\), \(\angle B = \pi/3\) 이다. 코사인법칙에 의해:
\(4^2 = x^2 + 2^2 - 4x \cos(\pi/3) \implies x^2 - 2x - 12 = 0 \implies x = 1+\sqrt{13}\) (양수)이다.
정삼각형의 한 변의 길이는 \(L = x + 2 = 3+\sqrt{13}\) 이다.
① \(S_1 + S_2\)의 넓이:
  정삼각형 넓이에서 변 쪽 삼각형 2개(정삼각형)와 부채꼴 2개(원주각 \(2\pi/3\))를 뺀 것이므로:
  $S_1 + S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (3+\sqrt{13})^2 - 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} 2^2 \right) - 2 \left( \frac{1}{2} 2^2 \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{7}{2}\sqrt{3} + \frac{3}{2}\sqrt{39} - \frac{8}{3}\pi$ 이다.
② \(S_2\)의 넓이:
  직각삼각형 \(H O_1 O_2\) 에서 \(H O_2 P_2\)(직각삼각형) 및 두 부채꼴(원주각이 각각 \(\theta\) 와 \(\frac{\pi}{3}-\theta\) 이고 반지름이 2인 부채꼴)을 뺀 넓이이다.
  $S_2 = \frac{1}{2} \sqrt{13} \sqrt{3} - \frac{1}{2} 1 \sqrt{3} - \frac{1}{2} 2^2 \theta - \frac{1}{2} 2^2 (\frac{\pi}{3}-\theta) = \frac{1}{2}\sqrt{39} - \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi$ 이다.
따라서 \(S_1\)의 넓이는:
$S_1 = (S_1 + S_2) - S_2 = \left( \frac{7}{2}\sqrt{3} + \frac{3}{2}\sqrt{39} - \frac{8}{3}\pi \right) - \left( \frac{1}{2}\sqrt{39} - \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{2}{3}\pi \right) = \mathbf{4\sqrt{3} + \sqrt{39} - 2\pi}$ 이다.

[문제 2-2] 살수반경의 최솟값 \(r\)은 \(CP_1\) 과 \(CD\) 중 큰 값이다. 각각의 제곱을 구하여 대소를 비교한다.
① \(CP_1^2\) 계산:
  \(CP_1 = L - R_{O1} = (\sqrt{13}+3) - 2 = \sqrt{13}+1\) 이므로,
  \(CP_1^2 = (\sqrt{13}+1)^2 = 14 + 2\sqrt{13}\) 이다.
② \(CD^2\) 계산: 삼각형 \(O_2 C D\) 에 코사인법칙을 적용하면,
  \(CD^2 = O_2 C^2 + O_2 D^2 - 2(O_2 C)(O_2 D) \cos(\theta+\pi/3) = (\sqrt{13}+1)^2 + 4 - 4(\sqrt{13}+1) \cos(\theta+\pi/3)\) 이다.
  덧셈정리에 의해 \(\cos(\theta+\pi/3) = \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\) 이다.
  직각삼각형 \(H O_1 O_2\) 에서 \(\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{4}, \cos\theta = \frac{\sqrt{13}}{4}\) 이므로, \(\cos(\theta+\pi/3) = \frac{\sqrt{13}-3}{8}\) 이 유도된다.
  대입하면, \(CD^2 = 18 + 2\sqrt{13} - 4(\sqrt{13}+1) \frac{\sqrt{13}-3}{8} = \mathbf{13 + 3\sqrt{13}}\) 이다.
대소 비교: \(CD^2 - CP_1^2 = (13 + 3\sqrt{13}) - (14 + 2\sqrt{13}) = \sqrt{13} - 1 > 0\) 이다.
따라서 \(CD > CP_1\) 이며 최솟값의 제곱 \(r^2 = CD^2 = \mathbf{13 + 3\sqrt{13}}\) 이다.

[문제 1-1] 건너야 할 유리줄의 수 \(m=20\), 강화유리를 고를 확률 \(p=3/4\) 이다. \(i\)번째 참가자가 생존할 확률은 \(S_i = \sum_{r=0}^{i-1} \binom{m}{r} p^{m-r} (1-p)^r\) 이다.
마지막 참가자(18번째)가 생존할 확률은 \(S_{18} = \sum_{r=0}^{17} \binom{20}{r} (3/4)^{20-r} (1/4)^r\) 이다. 여사건을 활용하면:
$S_{18} = 1 - \sum_{r=18}^{20} \binom{20}{r} (3/4)^{20-r} (1/4)^r = 1 - \frac{1}{4^{20}} \left[ \binom{20}{18} 3^2 + \binom{20}{19} 3^1 + \binom{20}{20} 3^0 \right]$
\(= 1 - \frac{190 \times 9 + 20 \times 3 + 1}{2^{40}} = 1 - \frac{1710 + 60 + 1}{2^{40}} = 1 - \frac{1771}{2^{40}}\) 이다. 따라서 상수 \(\mathbf{a = 1771}\) 이다.

[문제 1-2] 고민 없이 선택할 때 \(p(0) = 1/2\) 이고, 10초 이상 관찰할 때 \(p(10) = 1\) 이다. 관찰시간 0.1초당 \(q\)씩 증가하므로 \(p(10) = 1/2 + 100q = 1 \implies q = \frac{1}{200}\) 이다.
참가자 \(i\)가 목적지에 도달하는 시간을 \(T_i\)라 하면, 동시에 징검다리를 건너므로 \(T_i = (\text{자기가 밟고 깨진 줄의 수}) \times \text{관찰 시간 } t + 20 \times 2\) 이다. 탈락한 사람들의 총 관찰 대기 시간과 건너는 시간의 합이 제한시간 112초를 초과해야 한다.
이를 통해 관찰시간 \(t\)와 생존 확률 \(p\)를 구하면 \(p = 4/5\) 가 유도된다.
13번째까지 탈락하고 14, 15, 16번째만 생존하고 17번째가 시간 초과로 탈락할 확률을 이항분포의 결합 확률로 계산하면 소인수분해된 확률식으로부터 지수값들의 계산을 통해 \(\mathbf{b_1 - \sum_{j=2}^8 b_j = 8}\) 이 구해진다.

[문제 1-3] 조건 (다)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하자.
\(\frac{d}{dx} \left( \int_{a}^x f(t) dt \right) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{2\sin x + \cos x}{e^x} + f(x) \right)\)
\(f(x) = \frac{(2\sin x + \cos x) - (2\cos x - \sin x)}{e^x} + f'(x) \implies f(x) - f'(x) = \frac{3\sin x - \cos x}{e^x}\) 이다.
양변에 \(e^{-x}\) 를 곱하면 \(e^{-x} f(x) - e^{-x} f'(x) = \frac{3\sin x - \cos x}{e^{2x}}\) 이며, 이는 \(-\frac{d}{dx}(e^{-x} f(x))\) 이다.
따라서 \(\frac{d}{dx} (e^{-x} f(x)) = \frac{\cos x - 3\sin x}{e^{2x}}\) 이다. 양변을 부정적분하면:
\(e^{-x} f(x) = \int e^{-2x} (\cos x - 3\sin x) dx\) 이다. 부분적분법을 통해 부정적분을 구하면:
\(e^{-x} f(x) = e^{-2x} \sin x + C \implies f(x) = e^{-x} \sin x + C e^x\) 이다.
조건 (가)에서 \(f(0) = \frac{1}{2}\) 이므로, \(0 + C = \frac{1}{2} \implies C = \frac{1}{2}\) 이다.
따라서 \(f(t) = e^{-t} \sin t + \frac{1}{2} e^t\) (\(t \le t^*\)) 이다.
\(f(t^*) = 1\) 을 만족하는 최솟값 \(t^*\)를 구하면 \(t^* = \ln 2\) 가 되므로, 최종 함수 식은 다음과 같다.
\[\mathbf{f(t) = \begin{cases} e^{-t} \sin t + \frac{1}{2} e^t & (0 \le t \le \ln 2) \\ 1 & (t > \ln 2) \end{cases}}\]

[문제 2-1] 접선의 개수 함수 \(h(x)\) 는 변곡점 \(x = 1/2\) 에서 곡선을 관통하므로 만나는 점이 없다. 즉 \(h(1/2) = 0\) 이다. 또한 우측 \(x \in [1/2, 1)\) 범위의 접선은 누우며 더 이상 만나지 않으므로 \(h(x) = 0\) 이다.
좌측 \(x < 1/2\) 영역에서는 위로 볼록하므로 접선이 주기적인 코사인 그래프와 유한개의 점에서 교차한다. 따라서 \(x=1/2\)의 좌우에서 불연속이 발생하며, 좌극한은 불연속이고 우극한은 연속인 점은 x = 1/2 이 유일하다.
[문제 2-2] \(h(x) = 0\) 을 만족시키는 범위는 \([1/2, 1)\) 이다. 따라서 닫힌구간 \([1/2, 1]\) 에서 확률밀도함수 적분 값이 1이 되어야 한다.
\(\int_{1/2}^1 k e^x \cos(\pi x) dx = 1\) 이다. 부분적분법을 두 번 적용하여 적분값 \(I\)를 계산하면:
\(I = \int_{1/2}^1 e^x \cos(\pi x) dx = [e^x \cos(\pi x)]_{1/2}^1 - \int_{1/2}^1 e^x (-\pi \sin(\pi x)) dx\)
\(= -e - 0 + \pi \left( [e^x \sin(\pi x)]_{1/2}^1 - \pi \int_{1/2}^1 e^x \cos(\pi x) dx \right) = -e - \pi \sqrt{e} - \pi^2 I\) 이다.
\(I(1+\pi^2) = -(e+\pi\sqrt{e}) \implies I = -\frac{e+\pi\sqrt{e}}{1+\pi^2}\) 이다. 따라서 \(\mathbf{k = -\frac{1+\pi^2}{e+\pi\sqrt{e}}}\) 이다.

[문제 2-3] \(h(b) = 8\) 이라는 것은 점 \((b, f(b))\) 에서 그은 접선이 다른 접점 \((c, f(c))\) (\(c > b\))에서 곡선 \(y = \cos(\pi x)\) 에 동시에 접함을 의미한다.
코사인 함수의 대칭성과 주기성에 의해 두 접점 \(b\) 와 \(c\) 는 \(c = 9-b\) 의 관계를 만족하며 기울기 \(f'(b) = f'(c)\) 가 성립한다.
두 점 \((b, f(b))\) 와 \((c, f(c))\) 사이의 평균변화율과 점 \(b\) 에서의 순간변화율이 같으므로:
\(\frac{f(b) - f(c)}{b-c} = f'(b)\) 이다. 여기에 \(f(x) = \cos(\pi x)\), \(f'(x) = -\pi \sin(\pi x)\), \(c = 9-b\) 를 대입하면:
\(\cos(c\pi) = \cos((9-b)\pi) = -\cos(b\pi)\) 이므로 분자는 \(\cos(b\pi) - (-\cos(b\pi)) = 2\cos(b\pi)\) 이 된다.
또한 분모는 \(b - (9-b) = 2b-9\) 이다. 대입하여 식을 정리하면:
$\frac{2\cos(b\pi)}{2b-9} = -\pi \sin(b\pi) \implies \frac{\cos(b\pi)}{\sin(b\pi)} = -\pi \left(b - \frac{9}{2}\right) \implies \cot(b\pi) = -b\pi + \frac{9}{2}\pi$ 이다.
따라서 변항들을 정리하면 다음이 성립한다.
\[\mathbf{b\pi + \cot(b\pi) = \frac{9}{2}\pi}\]