두 점 P, Q의 시각 $t (t \ge 0)$에서의 위치를 각각 $x_1(t)$, $x_2(t)$라 하면, $x_1(t) = x_1(0) + \int_0^t v_1(s)ds = p + \int_0^t (3s^2+4s+10)ds = t^3+2t^2+10t+p,$ $x_2(t) = x_2(0) + \int_0^t v_2(s)ds = q + \int_0^t (18s-5)ds = 9t^2-5t+q$ 이다. $x_1(t)-x_2(t) = t^3-7t^2+15t+p-q$이므로 함수 $f(x) = x^3-7x^2+15x+p-q$를 생각하자. $f'(x) = 3x^2-14x+15 = (3x-5)(x-3)$이므로, 함수 $f(x)$는 구간 $(-\infty, 0)$에서 증가하는데, $f(0) = p-q < 0$이므로, 방정식 $f(x)=0$은 서로 다른 두 실근을 가진다. ① 함수 $f(x)$가 극소에서 $x$축에 접하는 경우, $f(x) = x^3-7x^2+15x-9 = (x-1)(x-3)^2$ 이므로 $a=1$, $b=3$이 되어 $a>1$이 성립하지 않는다. ② 함수 $f(x)$가 극대에서 $x$축에 접하는 경우 $f(x) = x^3-7x^2+15x-\frac{275}{27} = \left(x-\frac{5}{3}\right)^2\left(x-\frac{11}{3}\right)$ 이므로 $a=\frac{5}{3}$, $b=\frac{11}{3}$이다. 점 P의 시각 $t (t \ge 0)$에서의 가속도는 $v_1'(t) = 6t+4$이므로, 시각 $t=a$에서 점 P의 가속도는 $v_1'\left(\frac{5}{3}\right) = 14$이고, 시각 $t=b$에서 점 P의 가속도는 $v_1'\left(\frac{11}{3}\right) = 26$이다.
부등식의 로그 항을 정리하면 다음과 같습니다. $$
\begin{aligned}
\log_3 \left( \sqrt[3]{9}n \right) = \log_3 \left( 3^{\frac{2}{3}}n \right) \\
= \frac{2}{3} + \log_3 n
\end{aligned}
$$ $$\log_3 \sqrt[3]{n^2} = \log_3 n^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\log_3 n$$ 이를 원래 부등식에 대입하면, $$x^2 - x\left( \frac{2}{3} + \log_3 n \right) + \frac{2}{3}\log_3 n < 0$$ 이 식은 다음과 같이 완벽하게 인수분해됩니다. $$\left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x - \log_3 n\right) < 0$$ 따라서 이 부등식의 해는 다음과 같습니다. $$\frac{2}{3} < x < \log_3 n$$ i) 이 구간을 만족시키는 정수 $x$가 오직 $1$개 존재하기 위해서는 정수 $x = 1$이어야 합니다. 따라서 $\log_3 n$은 다음과 같은 범위를 가집니다. $$1 < \log_3 n \le 2$$ 각 변에 밑이 3인 지수를 취하면, $$3 < n \le 9$$ 자연수 $n$은 $n = 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 이므로 총 $6$개입니다. ii) $\log_3 n < x < \frac{2}{3}$ 인 경우, 정수 $x$가 존재하지 않으므로 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 만족시키는 자연수 $n$의 개수는 $6$개입니다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
부등식을 정리하여 인수분해 식 $\left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x - \log_3 n\right) < 0$ 또는 해의 범위 수립
5점
정수 $x=1$이 되기 위한 로그 범위 $1 < \log_3 n \le 2$ 및 자연수 범위 $3 < n \le 9$ 도출
4점
자연수 $n$의 개수 $6$개 최종 도출
1점
📝 [수학 11번 문항]
2024학년도 기출해설
수학Ⅰ수열
💡 상세 해설 및 모범 답안
첫째항이 $a_1$이고 공차가 $d$인 등차수열에 대하여, $a_2 = a_1 + d$, $a_4 = a_1 + 3d$, $a_6 = a_1 + 5d$ 입니다. 조건 $a_2 - 1 = 1 - a_4$ 에서, $a_2 + a_4 = 2 \Rightarrow (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 4d = 2 \Rightarrow a_1 + 2d = 1 \quad \cdots$ (①) (즉, 등차중항 성질에 의해 $2a_3 = 2 \Rightarrow a_3 = 1$ 입니다.) 조건 $|a_4 + 5| = |-5 - a_6|$ 에서, $|-5 - a_6| = |-(5 + a_6)| = |a_6 + 5|$ 이므로, $|a_4 + 5| = |a_6 + 5|$ 입니다. 이때 두 식의 부호가 같은 경우와 다른 경우로 나눕니다. i) 부호가 같은 경우 ($a_4 + 5 = a_6 + 5$) $a_4 = a_6$ 이 되어 공차 $d = 0$ 이 됩니다. 이는 공차가 $0$이 아니라는 조건에 모순이므로 성립하지 않습니다. ii) 부호가 다른 경우 ($a_4 + 5 = -(a_6 + 5)$) $a_4 + a_6 + 10 = 0$ 이므로, $(a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + 10 = 0 \Rightarrow 2a_1 + 8d = -10 \Rightarrow a_1 + 4d = -5 \quad \cdots$ (②) ①번 식과 ②번 식을 연립하여 풀어줍니다. ② - ①: $2d = -6 \Rightarrow d = -3$ 이를 ①에 대입하면, $a_1 + 2(-3) = 1 \Rightarrow a_1 = 7$ 따라서 구하고자 하는 $a_7$의 값은 다음과 같습니다. $a_7 = a_1 + 6d = 7 + 6(-3) = -11$
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
첫째항 $a_1 = 7$ (또는 $a_3 = 1$) 도출
4점
공차 $d = -3$ 도출
4점
최종 값 $a_7 = -11$ 구하기
2점
📝 [수학 12번 문항]
2024학년도 기출해설
수학Ⅱ다항함수의 미분법
💡 상세 해설 및 모범 답안
다항함수 $f(x)$는 실수 전체에서 연속이므로 $f(\frac{1}{2}) = \lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = a$ ($a$는 정수)라 하자.조건 (나)에서 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = a$ 이므로 $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$ 이다. 조건 (가)에서 $f(0)=0 \implies c=0$ 이고, 모든 계수가 정수이므로 $a, b$는 정수이다.$f(\frac{1}{2}) = a$ 에서 $a = 2(\frac{1}{2})^3 + a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) \implies 3a = 2b + 1 \quad \cdots \text{(①)}$ 이 성립한다.조건 (다)에서 $f(x)$가 실수 전체에서 증가하므로 모든 실수 $x$에 대해 $f'(x) = 6x^2 + 2ax + b \ge 0$ 이다. 판별식 $D/4 = a^2 - 6b \le 0 \quad \cdots \text{(②)}$ 이어야 한다.①에서 $6b = 9a - 3$ 이므로 ②에 대입하면 $a^2 - 9a + 3 \le 0$ 이다.이차방정식 $a^2-9a+3=0$의 해는 $a = \frac{9 \pm \sqrt{69}}{2}$ 이므로 $\frac{9-\sqrt{69}}{2} \le a \le \frac{9+\sqrt{69}}{2}$ 이다.$\sqrt{69} \approx 8.3$ 이므로 $0.35 \le a \le 8.65$ 이며, 정수 $a$의 최댓값은 $8$이다. 따라서 $f\left(\frac{1}{2}\right)$의 최댓값은 $8$이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ 형태 식 수립
2점
$3a = 2b + 1$ (또는 $2b = 3a - 1$) 관계식 유도
3점
도함수가 항상 $0$ 이상일 판별식 범위 $a^2 - 9a + 3 \le 0$ 도출
3점
$a$가 정수임을 활용하여 최댓값 $8$ 최종 도출
2점
📝 [수학 13번 문항]
2024학년도 기출해설
수학Ⅰ삼각함수
💡 상세 해설 및 모범 답안
로그함수 $f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)$의 진수 조건 $x-2 > 0$에 의해 점근선은 $x = 2$이다. [ ① = $x=2$ ]탄젠트함수 $g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)$의 점근선은 $\frac{\pi x}{a} = n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2n+1}{2}a$ ($n$은 정수)이다.두 그래프가 만나지 않으려면 로그함수의 점근선 $x=2$가 탄젠트함수의 점근선과 일치해야 하므로, $\frac{2n-1}{2}a = 2 \implies a = \frac{4}{2n-1}$ 이다. $a$가 자연수이므로 홀수 $2n-1$은 $4$의 약수인 $1$이어야 한다. 따라서 $n=1, a=4$ 이다. [ ② = $4$ ]정의역 $\frac{17}{8} \le x \le 6$에서 증가함수 $f(x)$의 범위는 $f\left(\frac{17}{8}\right) = -1 \le f(x) \le f(6) = \frac{2}{3}$ 이다.합성함수 $(g \circ f)(x) = g(t)$ (단, $t = f(x)$)에서 $-1 \le t \le \frac{2}{3}$ 이고, 증가함수 $g(t) = \tan\left(\frac{\pi t}{4}\right)$는 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.최솟값 $m = g(-1) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$ 이다. [ ③ = $-1$ ]최댓값 $M = g\left(\frac{2}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 이다. [ ④ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ]
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
[①] $x=2$ 알맞은 식 채우기
2점
[②] $4$ 자연수 값 구하기
2점
[③] 최솟값 $-1$ 구하기
3점
[④] 최댓값 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (또는 $\frac{1}{\sqrt{3}}$) 구하기
3점
📝 [수학 14번 문항]
2024학년도 기출해설
수학Ⅱ다항함수의 적분법
💡 상세 해설 및 모범 답안
조건 (가)에서 $|f(1)| \ge 0$, $|f(-1)| \ge 0$ 이므로 두 값의 합이 $0$이 되려면, $f(1) = 0$ 이고 $f(-1) = 0$ 이어야 한다. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$는 인수로 $(x-1)$과 $(x+1)$을 가진다. 따라서 $f(x) = (x-a)(x-1)(x+1) = (x-a)(x^2-1) = x^3 - ax^2 - x + a$ (단, $a$는 상수) 로 수립할 수 있다.조건 (나)에 대입하여 식을 정리하면 다음과 같다.$\int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} (x^3 - ax^2 - x + a)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{a}{3} - \frac{1}{2} + a = \frac{2}{3}a - \frac{1}{4}$ 조건 (나)가 $-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1$ 이므로, $-1 \le \frac{2}{3}a - \frac{1}{4} \le 1 \implies -\frac{3}{4} \le \frac{2}{3}a \le \frac{5}{4}$ 에서 $-\frac{9}{8} \le a \le \frac{15}{8} \quad \cdots \text{(①)}$ 이다.이제 구하고자 하는 정적분 값을 $a$의 식으로 표현하면 다음과 같다.$\int_{-1}^{3} f(x)dx = \int_{-1}^{3} (x^3 - ax^2 - x + a)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_{-1}^3 = \left( \frac{81}{4} - 9a - \frac{9}{2} + 3a \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{a}{3} - \frac{1}{2} - a \right) = \left( \frac{63}{4} - 6a \right) - \left( -\frac{1}{4} - \frac{2}{3}a \right) = 16 - \frac{16}{3}a$①번 범위에 따라 $16 - \frac{16}{3}a$ 의 범위를 구하면,$a = -\frac{9}{8}$ 일 때 최댓값 $M = 16 - \frac{16}{3}\left(-\frac{9}{8}\right) = 16 + 6 = 22$ 이고, $a = \frac{15}{8}$ 일 때 최솟값 $m = 16 - \frac{16}{3}\left(\frac{15}{8}\right) = 16 - 10 = 6$ 이다.따라서 최댓값과 최솟값의 합은 $M + m = 22 + 6 = 28$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$f(x) = (x-a)(x+1)(x-1)$ 인수정리 식 세우기
2점
조건 (나)를 활용하여 $-\frac{9}{8} \le a \le \frac{15}{8}$ 유도
3점
정적분 결과 $16 - \frac{16}{3}a$ 구하기
3점
최댓값 $22$와 최솟값 $6$의 합 $28$ 산출
2점
📝 [수학 15번 문항]
2024학년도 기출해설
수학Ⅱ다항함수의 미분법
💡 상세 해설 및 모범 답안
곡선 위의 점 $(t, t^3-3t^2-9t+2)$에서의 접선의 방정식은 $y - (t^3-3t^2-9t+2) = (3t^2-6t-9)(x-t)$ 이다.이 접선이 외부의 점 $(-2, a)$를 지나므로 대입하여 정리하면 $a = -2t^3 - 3t^2 + 12t + 20$ 이다.이 방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로, $g(t) = 2t^3 + 3t^2 - 12t - 20$ 이라 할 때 $g(t) = -a$ 가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.$g'(t) = 6t^2 + 6t - 12 = 6(t+2)(t-1) = 0 \implies t = -2$ 또는 $t = 1$ 이다.극댓값 $g(-2) = 0$, 극솟값 $g(1) = -27$ 이므로, 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 $\text{극솟값} < -a < \text{극댓값} \implies -27 < -a < 0$ 이다.양변에 $-1$을 곱하면 $0 < a < 27$ 이므로 만족하는 정수 $a$의 개수는 $1, 2, \dots, 26$으로 총 $26$개이다.
점 $(-2, a)$ 대입하여 $2t^3 + 3t^2 - 12t - 20 + a = 0$ 수립
2점
극대·극소 조사를 통해 실근 3개일 조건 $0 < a < 27$ 도출
4점
정수 $a$의 개수 $26$개 최종 도출
1점
📝 [수학 10번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅰ수열
💡 상세 해설 및 모범 답안
첫째항이 $a$이고 공비가 $r$인 등비수열 $\{a_n\}$의 제 $n$항까지의 합 $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$ 이므로, $\frac{S_6}{S_3} = \frac{\frac{a(r^6-1)}{r-1}}{\frac{a(r^3-1)}{r-1}} = r^3 + 1 = \frac{18}{6} = 3$ 에서 $r^3 = 2$ 이다. 이때 $S_3 = \frac{a(r^3-1)}{r-1} = 6$ 이다. $S_{15}$의 값을 구하면, $S_{15} = \frac{a(r^{15}-1)}{r-1} = \frac{a(r^3-1)}{r-1} \cdot \frac{(r^3)^5-1}{r^3-1} = S_3 \cdot \frac{2^5-1}{2-1} = 6 \cdot 31 = 186$ 이다. 따라서, 구하고자 하는 식에 대입하면, $\log_2 \left( 1 + \frac{S_{15}}{6} \right) = \log_2 \left( 1 + \frac{186}{6} \right) = \log_2 (1 + 31) = \log_2 32 = 5$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
수열의 일반항 식 세우기 및 초기 조건 도출
3점
수열의 합 또는 점화식의 규칙성 추론
3점
최종 항 또는 합의 값 도출
4점
📝 [수학 11번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅰ지수함수와 로그함수
💡 상세 해설 및 모범 답안
주어진 식에서 $\log_3(ab) = \log_3 a + \log_3 b = 6$ 이고, $\log_3 a = 4\log_b 3 = \frac{4}{\log_3 b}$ 이므로 $\log_3 a \cdot \log_3 b = 4$ 이다. 구하고자 하는 값 $\log_a b + \log_b a$는 밑의 변환 공식에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. $\log_a b + \log_b a = \frac{\log_3 b}{\log_3 a} + \frac{\log_3 a}{\log_3 b} = \frac{(\log_3 a)^2 + (\log_3 b)^2}{\log_3 a \cdot \log_3 b}$ 곱셈 공식의 변형에 의해 분자를 계산하면, $(\log_3 a)^2 + (\log_3 b)^2 = (\log_3 a + \log_3 b)^2 - 2\log_3 a \cdot \log_3 b = 6^2 - 2 \times 4 = 36 - 8 = 28$ 이다. 따라서, 구하는 값은 $\frac{28}{4} = 7$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
지수/로그의 밑 조건 및 방정식/부등식 조건 분석
3점
밑 변환 및 로그 성질을 이용한 식 전개
3점
연립 방정식 해 구하기 및 최종 결론
4점
📝 [수학 12번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅱ다항함수의 미분법
💡 상세 해설 및 모범 답안
$f(x) = x^2 - 4x + 4$에서 $f'(x) = 2x - 4$이다. 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. $y - (a^2 - 4a + 4) = (2a - 4)(x - a) \implies y = (2a - 4)x - a^2 + 4$ 이 접선이 $x$축과 만나는 점 $P$의 $x$좌표는 $y=0$을 대입하면, $(2a-4)x = a^2-4 \implies x = \frac{a+2}{2}$ 이므로 $P\left(\frac{a+2}{2}, 0\right)$ 이다. $y$축과 만나는 점 $Q$의 좌표는 $x=0$을 대입하면 $Q(0, -a^2+4)$ 이다. $0 < a < 2$이므로 $\frac{a+2}{2} > 0$ 이고 $-a^2+4 > 0$ 이다. 따라서 삼각형 $OPQ$의 넓이를 $S(a)$라 하면, $S(a) = \frac{1}{2} \times \frac{a+2}{2} \times (4-a^2) = -\frac{1}{4}(a^3 + 2a^2 - 4a - 8)$ 이다. 미분하면 $S'(a) = -\frac{1}{4}(3a^2 + 4a - 4) = -\frac{1}{4}(3a-2)(a+2)$ 이다. $0 < a < 2$이므로 $S'(a) = 0$이 되는 $a$의 value는 $a = \frac{2}{3}$ 뿐이다. 증감표를 통해 극대이자 최대임을 확인할 수 있으므로, 넓이가 최대가 될 때의 $a$의 값은 $a = \frac{2}{3}$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
함수 미분하기 및 도함수 조건 설정
3점
접선의 방정식 또는 극값 조건을 만족하는 미지수 계산
3점
최종 함숫값 및 기하학적 넓이 계산
4점
📝 [수학 13번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅰ삼각함수
💡 상세 해설 및 모범 답안
원의 반지름 $R=2$이므로 외접원의 지름은 $2R = 4$이다. $\overline{AB} = 4$이므로 선분 $AB$는 외접원의 지름이다. 따라서 $\angle ACB$와 $\angle ADB$는 지름에 대한 원주각이므로 직각($90^\circ$)이다. 직각삼각형 $ABC$에서 피타고라스 정리에 의해, $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}$ 이다. 한편, 현의 길이 $\overline{BC} = \overline{CD} = 1$이므로 원주각 $\angle BAC = \angle CAD = \theta$ 라 할 수 있다. 직각삼각형 $ABC$에서 $\sin\theta = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{4}$, $\cos\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ 이다. 삼각형 $ACD$에서 코사인 법칙을 적용하면 (단, $AD = x$), $CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2\cdot AC\cdot AD\cdot\cos\theta$ $1^2 = (\sqrt{15})^2 + x^2 - 2\sqrt{15}x\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \implies 2x^2 - 15x + 28 = 0$ 인수분해하면 $(2x-7)(x-4) = 0$ 이므로 $x = \frac{7}{2}$ 또는 $x = 4$ 이다. 지름보다 작아야 하므로 $x < 4$에서 $AD = \frac{7}{2}$ 이다. 따라서 사각형 $ABCD$의 넓이는 삼각형 $ABC$와 $ACD$의 넓이의 합이므로, $\text{넓이} = \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC + \frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\sqrt{15}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{7\sqrt{15}}{16} = \frac{15\sqrt{15}}{16}$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
삼각함수의 성질 및 항등식 적용하기
3점
삼각방정식 풀이 및 미지수 조건 분석
3점
최종 각도 또는 삼각비의 값 도출
4점
📝 [수학 14번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅱ함수의 극한과 연속
💡 상세 해설 및 모범 답안
극값의 존재 조건에 따라 분모가 $0$으로 갈 때 분자도 $0$으로 가야 하므로, $\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)g(x)}$가 존재하려면 $f(-1) = 0$ 이어야 한다. 따라서 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$는 $(x+1)$을 인수로 가지므로 $f(x) = (x+1)(x^2+ax+b)$로 놓을 수 있다. 이때 평행이동한 함수 $g(x) = f(x-5) = (x-4)((x-5)^2+a(x-5)+b)$ 이다. 또한, $\lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{(x+1)g(x)} = k$ 가 존재하므로 $x \to 4$일 때 분모 $g(x)$가 $(x-4)$를 인수로 가져서 $0$으로 가기 때문에, 분자 $f(x)$도 $(x-4)$를 인수로 가져야 한다. 따라서 $f(x) = (x+1)(x-4)(x+d)$로 설정할 수 있다. 그러면 $g(x) = f(x-5) = (x-4)(x-9)(x-5+d)$ 이다. 첫 번째 극한 식에 대입하면, $\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-4)(x+d)}{(x+1)(x-4)(x-9)(x-5+d)} = \lim_{x \to -1} \frac{x+d}{(x-9)(x-5+d)} = \frac{-1+d}{-10(-6+d)} = -\frac{1}{5}$ 이다. 이를 정리하면 $\frac{d-1}{10(d-6)} = \frac{1}{5} \implies d - 1 = 2d - 12 \implies d = 11$ 이 된다. 따라서 $f(x) = (x+1)(x-4)(x+11)$ 이고, $g(x) = (x-4)(x-9)(x+6)$ 이다. 상수 $k$의 값을 계산하면, $k = \lim_{x \to 4} \frac{(x+1)(x-4)(x+11)}{(x+1)(x-4)(x-9)(x+6)} = \lim_{x \to 4} \frac{x+11}{(x-9)(x+6)} = \frac{15}{-5 \times 10} = -\frac{3}{10}$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
제시문의 조건에 맞는 식 세우기 및 상황 분석
3점
조건을 만족하는 미지수 구하기 및 유도 과정
3점
정답 계산 및 최종 답안 서술
4점
📝 [수학 15번 문항]
2023학년도 기출해설
수학Ⅱ다항함수의 적분법
💡 상세 해설 및 모범 답안
곡선 $y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2$ 위의 점 $(a, f(a))$ $(0 < a < 3)$에서의 접선의 방정식은 $f'(x) = -2x+6$이므로 $y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2$ 이다. 따라서 접선의 $x$절편은 $\frac{a+3}{2}$ 이고 $y$절편은 $a^2 - 9$ 이므로 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)$ 이다. 따라서 $y = f(x)$의 그래프와 접선 및 $x$축 또는 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = -\int_0^3 f(x)dx - \text{(삼각형의 넓이)}$로 계산할 수 있다.$S &= -\int_0^3 (-x^2+6x-9) dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\
&= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4}$ 이다.따라서 넓이 $S$의 $(0 < a < 3)$에서의 최솟값을 구하기 위해 미분하면, $S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)$ 이므로, $a=1$에서 극소이자 최솟값 $S=1$을 가진다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기
3점
치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정
3점
최종 넓이 또는 적분값 도출
4점
📝 [수학 10번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ적분
💡 상세 해설 및 모범 답안
두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$는 역함수 관계이므로 직선 $y=x$에 대하여 대칭이다. 따라서 두 곡선의 교점은 $f(x) = x$인 방정식 $ax^2 = x$의 해와 같으므로, $x \ge 0$ 범위에서 교점의 $x$좌표는 $x=0$과 $x = \frac{1}{a}$ 이다. ([①]) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 $S$는 $y=x$와의 대칭성에 의해 다음의 정적분으로 나타낼 수 있다. $S = 2 \int_{0}^{\frac{1}{a}} (x - ax^2) \, dx$ ([②]) 정적분을 실제로 계산하면 다음과 같다. $S = 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{a}{3}x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{a}} = 2 \left( \frac{1}{2a^2} - \frac{1}{3a^2} \right) = 2 \left( \frac{1}{6a^2} \right) = \frac{1}{3a^2}$ ([③]) 넓이 $S = \frac{3}{4}$ 이므로, $\frac{1}{3a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{4}{9} \implies a = \frac{2}{3}$ ($0[④])
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
조건 해석 및 수식 초기화
2점
피적분함수 설정 및 정적분 식 세우기
4점
치환/부분적분 또는 기본 정적분 계산 과정
2점
최종 넓이 또는 적분값 도출
2점
📝 [수학 11번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ지수 로그
💡 상세 해설 및 모범 답안
$A \subset B$ 이므로 $3\log_2 a - 2\log_2 b = 1$ 이다. 이를 정리하면 $\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1 \implies a^3 = 2b^2 \quad \cdots \text{(①)}$ 이다.또한 주어진 조건에서 $\log_a b = \frac{3}{2}$ 또는 $\log_a b = 2$ 이다.1) $\log_a b = \frac{3}{2}$ 일 때, $b = a^{\frac{3}{2}}$ 이다. 이를 ①에 대입하면 $a^3 = 2\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 = 2a^3$ 이므로 $a = 0$ 이 되어 $a > 0, a \ne 1$ 조건을 만족하지 않는다.2) $\log_a b = 2$ 일 때, $b = a^2$ 이다. 이를 ①에 대입하면 $a^3 = 2\left(a^2\right)^2 = 2a^4$ 이다. $a \ne 0$ 이므로 양변을 $a^3$으로 나누면 $1 = 2a \implies a = \frac{1}{2}$ 이다. 이때 $b = a^2 = \frac{1}{4}$ 이다.따라서 구하고자 하는 값은 $ab^2 = a \cdot a^4 = a^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$ 이다.(참고: $2\log_a 2 + 2\log_a b = 3$ 을 계산하여 $\log_a b = \frac{3}{2}$ 또는 $\log_a b = 2$ 의 결과를 도출할 수도 있다.)
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1$ 또는 $a^3 = 2b^2$ 도출
2점
$\log_a b = \frac{3}{2}$ 일 때 $a=0$으로 불만족 판정, $\log_a b = 2$ 일 때 $a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{4}$ 도출
3점
$ab^2 = \frac{1}{32}$ 도출
2점
📝 [수학 12번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ삼각함수
💡 상세 해설 및 모범 답안
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ 이고, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}$ 이다. 이를 관계식에 대입하면 다음과 같다.$$
\begin{aligned}
\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right) \implies \frac{k^2+4k+4}{k^2} \\
= \frac{3k+2}{k}
\end{aligned}
$$양변에 $k^2$을 곱하여 정리하면, $k^2+4k+4 = 3k^2+2k \implies 2k^2-2k-4 = 0 \implies (k-2)(k+1) = 0$ 이므로, $k=2$ 또는 $k=-1$ 이다.1) $k=2$ 이면 $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} > 1$ 이 되어 존재할 수 없으므로 부적합하다.2) $k=-1$ 이면 $\sin\theta + \cos\theta = -1$ 이고 $\sin\theta\cos\theta = 0$ 이다.$0 \le \theta \le \pi$ 에서 이를 만족하는 $\theta$는 $\theta = \pi$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}$ 수립
1점
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$ 관계식 이용
수열 $a_n$의 관계식을 이용하여 각 항을 $a_4=\alpha, a_5=-\alpha$로 표현
3점
$a_{n+6} = a_n$ 주기성 및 한 주기(6개)의 합이 $0$임을 확인
2점
$S_1 = a_1 > 0$ 으로부터 $\alpha < 0$ 판정
3점
한 주기 내에서 $S_n < 0$을 만족하는 $n$의 조건 ($n=3, 4, 5$) 도출
3점
$300$ 이하의 자연수 중 만족하는 $n$의 개수 $150$개 최종 도출
2점
📝 [수학 14번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ극한
💡 상세 해설 및 모범 답안
$x=1$에서 함수 $f(x)$가 연속이 되기 위해서는 $\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}$ 가 성립해야 한다.극한값 $\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1}$가 존재하므로, $x \to 1^+$일 때 (분자) $\to 0$ 이어야 한다. 즉, $\sqrt{2}-a=0 \implies a=\sqrt{2}$ 이다.따라서 극한값을 구하면 다음과 같다.$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$이때 $\frac{1+b}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ 이므로, $1+b = \frac{1}{2} \implies b = -\frac{1}{2}$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점:
평가 단계 및 핵심 서술 요소
부분 배점
$a=\sqrt{2}$ 또는 $\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$
3점
$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ 또는 $f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}$
3점
$b=-\frac{1}{2}$
2점
📝 [수학 15번 문항]
2022학년도 기출해설
수학Ⅱ미분
💡 상세 해설 및 모범 답안
두 점 P, Q의 위치의 차는 $x_1(t) - x_2(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t-3)^2$ 이므로, 두 점이 만나는 시각은 $t=0$ 또는 $t=3$ 이다. 따라서 $t_b = 3$ 이다.한편, 두 점 P, Q의 시각 $t$에서의 속도는 각각 다음과 같다.$v_1(t) = \frac{d}{dt}x_1(t) = 9t^2 - 6t + 7$$v_2(t) = \frac{d}{dt}x_2(t) = 6t^2 + 6t - 2$두 점 of 속도가 같아지는 조건 $v_1(t) - v_2(t) = 0$ 에서,$v_1(t) - v_2(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0$이를 만족하는 시각은 $t=1$ 또는 $t=3$ 이다. 따라서 $t_a = 1$ 이다.