📢 [공지] 2027학년도 서울과학기술대학교 수리논술 2개년 기출(2026+2025) 통합 교재 정식 출시! (QUESTIO 4,900원 올패스 회원 무제한 열람)
QUESTIO AI EDITORIAL
2027학년도 대학별 논술대비 기출해설집
서울과학기술대학교
(자연계열)
수리논술 2개년 기출 해설집
2026학년도 + 2025학년도 수시 기출 전 문항 상세 풀이 & 채점기준표 탑재
QUESTIO 입시연구소 수리공학팀 집필
2026. 08. 정식 출판본
1. 수리논술 채점 기준 및 ST자유전공학부 합격 전략
• ST자유전공학부 선발 대비: 서울과학기술대학교 자연계열의 핵심 무전공 학부인 ST자유전공학부는 논술 실질 반영 비율이 매우 높아 수리논술 고득점이 합격의 결정적 열쇠입니다.
• 단계별 부분 점수 체계: 최종 결과값뿐만 아니라 풀이 전개 과정의 정의 적용, 방정식 수립, 중간 단계 계산의 정확성에 독립적인 배점이 부여됩니다.
• 주요 감점 요소: 로그의 진수 조건 누락, 경우 나누기 시 경계값 포함 여부 미명시, 대칭이동 좌표 부호 착오, 정적분 치환 및 부호 오산, 극한 존재 조건의 차수 미비교 등 논리적 비약 시 부분 감점됩니다.
• 오전·오후 통합 구성: 고사 시간대별(오전/오후) 기출 및 모의 전 문항을 통합 분석하여 일관된 채점 기준표와 최고 득점 모범 답안을 제시합니다. (2025학년도 이전 기출은 오전/오후로 구분 명시)
2. 연도별 기출 및 모의 핵심 풀이 전략
① [2027 모의논술] 산술·기하평균 부등식 완전제곱 변형, 다항식 계수 $\Sigma$ 공식 및 코사인 부분적분 극한, 속도 부호 분할 이동거리 정적분, 여사건 순열과 이웃하지 않는 배치, 직각삼각형 내접원 반지름 유리화 약분, 내심 좌표 원점 거리 공식 및 탄젠트, 로그 밑변환 진수 조건 방정식, 접선 조건 이차함수 결정, $x^n f(x)$ 정적분 넓이 및 망원급수 부분합 극한.
② [2026 수시 기출] 로그부등식 치환 좌표 도출, 기함수 정적분 소거 및 $\Sigma$ 공식, $\alpha+\beta=\pi$ 덧셈정리, 내접원 중심 평행이동 거리 연립, 근과 계수의 관계 및 삼차함수 대칭 정적분 넓이 계산.
③ [2026 모의논술] 원의 지름과 내접 직각삼각형 경우의 수, 등차수열 절댓값 부분합 분할, 급수 수렴 성질 극한 도출, 법선과 접선 수직 조건 및 사분원 뺌 정적분 넓이, 절댓값 구간 분할 및 망원급수 부분분수, 공통접선 미정계수 및 둘러싸인 정적분.
④ [2025 수시 기출 (오후)] 속도 정적분 구간별 위치 함수 도출, $\tan(\pi/4-\alpha)$ 덧셈정리 연쇄 소거, 여사건 조합 사각형 계산, 대칭점 $P', Q'$ 직선 최단거리, 직각삼각형 사인법칙 외접원 반지름, 정적분과 급수의 합 변환, 사잇값/평균값 정리 부등식 및 샌드위치 수열 극한.
⑤ [2025 모의논술] 구분구적법과 등차수열 합 급수 극한, 도함수 부등식과 증가함수 판정, 원점 대칭 지수함수 교점 개수 및 역함수 정적분, 원과 코사인법칙 및 거리 제곱합 완전제곱 부등식, 특수각 삼각비 판별.
⑥ [2024 수시 기출 (오전)] 이차방정식 근과 계수 및 삼각함수 덧셈제곱식 연립, 사차함수 기함수 도함수 및 극솟값 적분상수 도출, 지수함수 부분적분 부피 계산, 대칭점 $A'$ 직선식과 $x$절편 최단거리, 두 접선 연립 직각삼각형 탄젠트, 코사인법칙 공통인수 약분, 매개변수 속력 적분 이동거리, 삼각함수 정적분과 무한등비급수 합.
⑦ [2024 수시 기출 (오후)] 도형 대칭/평행이동 공통접선 판별식 연립, 역함수 교점 $y=x$ 증명 및 이차방정식 해, $\tan\theta$ 치환 몫의 미분 극솟값, 가로/세로 평행선 선택 조합 공식, 배제 대상 한 칸 정사각형 차감, 수학적 귀납법 분수 부등식 증명, 2회 부분적분 원시함수 도출, 부호 분할 도형 넓이 계산, $\ln(A_k/(1+e^\pi)^2)$ 정적분과 급수 합 극한.
\n\n
수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ
산술기하평균 부등식 · 다항식 계수와 부분적분 극한 · 속도와 최대 이동거리 · 조건부 순열조합
40점 / 100점
[1.1] 주어진 식을 전개하여 정리하면:
$$\begin{aligned}
(a + 2b + 1)^2 - 8ab + \frac{18}{a+2b} &= (a^2 + 4ab + 4b^2) + 2(a+2b) + 1 - 8ab + \frac{18}{a+2b} \\
&= (a - 2b)^2 + 2(a+2b) + 1 + \frac{18}{a+2b}
\end{aligned}$$
$a, b > 0$이므로 $a + 2b > 0$이다. 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여:
$$2(a+2b) + \frac{18}{a+2b} \ge 2\sqrt{2(a+2b) \cdot \frac{18}{a+2b}} = 2\sqrt{36} = 12$$
등호는 $2(a+2b) = \frac{18}{a+2b} \implies (a+2b)^2 = 9 \implies a+2b = 3$일 때 성립한다.
또한 실수 제곱 $(a-2b)^2 \ge 0$이므로 주어진 식의 최솟값은 $(a-2b)^2 = 0$, 즉 $a = 2b$일 때 $0 + 12 + 1 = 13$이 된다.
따라서 $a = 2b$와 $a+2b = 3$을 연립하면 $4b = 3 \implies \mathbf{a = \frac{3}{2}, b = \frac{3}{4}}$이다.
[1.2] 다항식 $(x+1^2)(x+2^2)\cdots(x+n^2)$에서 $x^{n-1}$의 계수 $a_n$은 $n$개의 인수 중 $(n-1)$개에서 $x$를 택하고 나머지 1개에서 상수항을 택한 곱들의 합이므로:
$$a_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
부분적분법($u = x, v' = \cos\left(\frac{x}{2n+1}\right) \implies u' = 1, v = (2n+1)\sin\left(\frac{x}{2n+1}\right)$)을 적용하면:
$$\begin{aligned}
b_n &= \int_0^{(2n+1)^2\pi} x\cos\left(\frac{x}{2n+1}\right)\,dx \\
&= \left[ (2n+1)x\sin\left(\frac{x}{2n+1}\right) + (2n+1)^2\cos\left(\frac{x}{2n+1}\right) \right]_0^{(2n+1)^2\pi}
\end{aligned}$$
$$= (2n+1)^2 \left\{ \cos((2n+1)\pi) - \cos(0) \right\} = (2n+1)^2 (-1 - 1) = -2(2n+1)^2$$
따라서 구하는 극한값은:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{n b_n}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-2n(2n+1)^2}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \lim_{n\to\infty} \frac{-12(2n+1)}{n+1} = \mathbf{-24}$$
[1.3] 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v(t) = -\frac{a}{(5-a)^2}t^2 + a = 0 \implies t^2 = (5-a)^2 \implies t = 5-a$에서 운동 방향을 바꾼다.
$0 \le t \le 5-a$에서 $v(t) \ge 0$, $5-a \le t \le 10-2a = 2(5-a)$에서 $v(t) \le 0$이므로 이동거리 $S$는:
$$\begin{aligned}
S &= \int_0^{5-a} v(t)\,dt - \int_{5-a}^{10-2a} v(t)\,dt \\
&= \left[ -\frac{at^3}{3(5-a)^2} + at \right]_0^{5-a} - \left[ -\frac{at^3}{3(5-a)^2} + at \right]_{5-a}^{2(5-a)} \\
&= \frac{2}{3}a(5-a) + \frac{4}{3}a(5-a) = 2a(5-a) = -2\left(a - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{2}
\end{aligned}$$
$0 < a < 5$에서 $S$를 최대로 하는 $a$의 값은 $\mathbf{a = \frac{5}{2}}$이다.
[1.4] ① 여학생 3명과 남학생 3명을 선택: 남학생 5명 중 3명을 택할 때 합창단원 2명이 모두 포함되는 경우($_3\mathrm{C}_1 = 3$)를 제외하면 $_5\mathrm{C}_3 - {}_3\mathrm{C}_1 = 10 - 3 = 7$가지이다. 여학생 4명 중 3명을 택하는 경우는 $_4\mathrm{C}_3 = 4$가지이다.
② 남학생 3명을 일렬로 배열하는 경우의 수는 $3! = 6$가지이다.
③ 여학생이 이웃하지 않도록 남학생의 양 끝 및 사이의 4곳에 여학생 3명을 배치하는 순열의 수는 $_4\mathrm{P}_3 = 24$가지이다.
따라서 전체 경우의 수는 $(_5\mathrm{C}_3 - {}_3\mathrm{C}_1) \times {}_4\mathrm{C}_3 \times 3! \times {}_4\mathrm{P}_3 = 7 \times 4 \times 6 \times 24 = \mathbf{4032}$가지이다.
총 배점: 40점
문항 1.1 (10점) · 문항 1.2 (10점) · 문항 1.3 (10점) · 문항 1.4 (10점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 1.1 |
주어진 식을 $(a-2b)^2 + 2(a+2b) + 1 + \frac{18}{a+2b}$로 완전제곱식 변형하고 산술·기하평균 부등식으로 등호 조건 $a+2b=3$을 도출한 경우
|
5점 |
|
$(a-2b)^2=0$ 조건 $a=2b$와 연립하여 $a=\frac{3}{2}, b=\frac{3}{4}$를 완벽히 도출한 경우
|
5점 |
| 1.2 |
다항식 계수 $a_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$과 부분적분 $b_n = -2(2n+1)^2$를 정확히 계산한 경우
|
6점 |
|
극한식 $\lim_{n\to\infty} \frac{n b_n}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-12(2n+1)}{n+1} = -24$를 정확히 구한 경우
|
4점 |
| 1.3 |
방향 전환 시각 $t = 5-a$를 구하고 구간별 속도 부호에 따라 이동거리 정적분 식 $S = 2a(5-a)$를 올바르게 유도한 경우
|
6점 |
|
이차함수 최대 조건을 이용하여 $a = \frac{5}{2}$를 정확히 도출한 경우
|
4점 |
| 1.4 |
합창단원 조건에 맞게 남학생 3명, 여학생 3명을 선택하는 경우의 수 $(_5\mathrm{C}_3 - {}_3\mathrm{C}_1) \times {}_4\mathrm{C}_3 = 7 \times 4 = 28$을 구한 경우
|
5점 |
|
남학생 배열($3!$) 및 여학생 비이웃 배치($_4\mathrm{P}_3$)를 곱하여 최종 경우의 수 $4032$를 정확히 계산한 경우
|
5점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 1.1에서 $(a-2b)^2 \ge 0$의 등호 조건과 산술기하평균의 등호 조건이 동시에 만족됨을 보여주어야 감점이 없습니다.
• 문항 1.3에서 속도가 음수가 되는 구간 $[5-a, 10-2a]$의 정적분에 마이너스 부호를 붙여 절댓값 이동거리를 구하는 과정이 필수적입니다.
수학 · 수학Ⅰ
삼각함수 좌표 표현 · 직각삼각형 내접원 반지름과 넓이 · 원점 거리와 탄젠트
30점 / 100점
![[문제 2 해설] 사분원과 내접원 다이어그램](images/seoultech_2027_mock_prob2.png)
<그림> 직각삼각형 $\mathrm{ABP}$와 내접원 $\mathrm{C}$
[2.1] 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축, $y$축에 내린 수선의 발이 각각 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$이므로 사각형 $\mathrm{OAPB}$는 직사각형이다.
$\overline{\mathrm{BP}} \parallel x\text{축}$이므로 $\angle\mathrm{POA} = \angle\mathrm{PBA} = \theta$가 성립한다.
점 $\mathrm{P}$는 중심이 원점이고 반지름이 $2$인 원 위의 제1사분면의 점이므로 $\overline{\mathrm{OP}} = 2$이다.
따라서 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathbf{(2\cos\theta, 2\sin\theta)}$이다.
[2.2] 직각삼각형 $\mathrm{APB}$에서 두 직각변의 길이는 $\overline{\mathrm{AP}} = 2\sin\theta$, $\overline{\mathrm{BP}} = 2\cos\theta$이고, 빗변의 길이는 $\overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{(2\sin\theta)^2 + (2\cos\theta)^2} = 2$이다.
삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이 $S$는:
$$S = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{BP}} \cdot \overline{\mathrm{AP}} = \frac{1}{2} \cdot 2\cos\theta \cdot 2\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$
한편, 내접원의 중심 $\mathrm{C}$와 반지름 $r$에 대하여 넓이 $S$는 세 삼각형 $\Delta\mathrm{APC}, \Delta\mathrm{PBC}, \Delta\mathrm{BAC}$의 넓이의 합과 같으므로:
$$S = \frac{1}{2}r(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{AB}}) = \frac{1}{2}r(2\sin\theta + 2\cos\theta + 2) = r(\sin\theta + \cos\theta + 1)$$
따라서 $r(\sin\theta + \cos\theta + 1) = 2\sin\theta\cos\theta$이므로:
$$\begin{aligned}
r &= \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta+1} = \frac{2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta-1)}{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1} \\
&= \frac{2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta-1)}{2\sin\theta\cos\theta} = \sin\theta + \cos\theta - 1
\end{aligned}$$
주어진 $r = a\sin\theta + b\cos\theta + c$와 비교하면 $\mathbf{a = 1, b = 1, c = -1}$이다.
[2.3] 점 $\mathrm{P}(2\cos\theta, 2\sin\theta)$를 기준으로 직각 꼭짓점에서 내심 $\mathrm{C}$까지의 거리는 가로·세로로 각각 $r$만큼 안쪽에 위치하므로:
$$\begin{aligned}
\mathrm{C} &= (2\cos\theta - r, 2\sin\theta - r) \\
&= (\cos\theta-\sin\theta+1, \sin\theta-\cos\theta+1)
\end{aligned}$$
원점과 점 $\mathrm{C}$ 사이의 거리의 제곱은:
$$\begin{aligned}
\overline{\mathrm{OC}}^2 &= (\cos\theta-\sin\theta+1)^2 + (\sin\theta-\cos\theta+1)^2 \\
&= 2(\cos\theta-\sin\theta)^2 + 2 = 2(1 - 2\sin\theta\cos\theta) + 2 = 4 - 4\sin\theta\cos\theta
\end{aligned}$$
$\overline{\mathrm{OC}} = \frac{\sqrt{70}}{5} \implies \overline{\mathrm{OC}}^2 = \frac{70}{25} = \frac{14}{5}$이므로:
$$4 - 4\sin\theta\cos\theta = \frac{14}{5} \implies 4\sin\theta\cos\theta = \frac{6}{5} \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{3}{10}$$
$(\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + \frac{6}{10} = \frac{16}{10}$이고, $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$에서 $\sin\theta+\cos\theta > 0$이므로 $\sin\theta+\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{10}}$이다.
근과 계수의 관계에 의해 $\sin\theta, \cos\theta$는 $t^2 - \frac{4}{\sqrt{10}}t + \frac{3}{10} = \left(t - \frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(t - \frac{3}{\sqrt{10}}\right) = 0$의 두 근이다.
$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$에서 $\sin\theta < \cos\theta$이므로 $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{10}}, \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$이다.
따라서 구하는 값은 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\frac{1}{3}}$이다.
총 배점: 30점
문항 2.1 (10점) · 문항 2.2 (10점) · 문항 2.3 (10점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 2.1 |
$\angle\mathrm{POA} = \angle\mathrm{PBA} = \theta$ 및 반지름 $\overline{\mathrm{OP}}=2$를 이용하여 점 $\mathrm{P}$의 좌표 $(2\cos\theta, 2\sin\theta)$를 완벽히 도출한 경우
|
10점 |
| 2.2 |
삼각형 $\mathrm{APB}$의 넓이를 직각변 $2\sin\theta\cos\theta$ 및 내접원 공식 $r(\sin\theta+\cos\theta+1)$로 각각 올바르게 표현한 경우
|
5점 |
|
유리화 식 변형을 통해 $r = \sin\theta+\cos\theta-1$을 유도하고 $a=1, b=1, c=-1$을 정확히 결정한 경우
|
5점 |
| 2.3 |
내심 $\mathrm{C}$의 좌표 $(\cos\theta-\sin\theta+1, \sin\theta-\cos\theta+1)$를 구하고 거리 공식으로부터 $\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{10}$을 도출한 경우
|
4점 |
|
$\sin\theta+\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{10}}$를 구하고 이차방정식의 해를 통해 $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{10}}, \cos\theta=\frac{3}{\sqrt{10}}$을 올바르게 구한 경우
|
4점 |
|
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1}{3}$을 정확히 계산한 경우
|
2점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 2.2에서 내접원의 반지름 $r$을 구할 때 분모 $(\sin\theta+\cos\theta+1)$의 켤레 형태를 곱하여 $(\sin\theta+\cos\theta)^2-1 = 2\sin\theta\cos\theta$로 깔끔하게 약분하는 대수적 정리 과정이 핵심 평가 요소입니다.
• 문항 2.3에서 $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$ 조건으로 인해 $\sin\theta < \cos\theta$임을 명시하여 $\tan\theta = \frac{1}{3}$을 선택하는 논리적 근거를 명확히 제시해야 합니다.
수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분
로그방정식의 해 · 접선 기울기와 이차함수 결정 · 정적분 둘러싸인 넓이와 무한급수 합
30점 / 100점
[3.1] 밑변환 공식에 의하여 $4\log_4(1-r) = 4 \cdot \frac{\log_2(1-r)}{\log_2 4} = 4 \cdot \frac{\log_2(1-r)}{2} = 2\log_2(1-r) = \log_2(1-r)^2$이다.
로그의 진수 조건에 의해 $1+r > 0, 3-r > 0, 1-r > 0 \implies -1 < r < 1$이다.
주어진 로그방정식을 밑이 $2$인 단일 로그로 결합하면:
$$\log_2\left( \frac{(1+r)(3-r)}{(1-r)^2} \right) = \log_2 15 \implies \frac{3 + 2r - r^2}{1 - 2r + r^2} = 15$$
양변에 $(1-r)^2$을 곱하여 정리하면:
$$3 + 2r - r^2 = 15(1 - 2r + r^2) = 15 - 30r + 15r^2 \implies 16r^2 - 32r + 12 = 0 \implies 4r^2 - 8r + 3 = 0$$
$$(2r - 1)(2r - 3) = 0 \implies r = \frac{1}{2} \text{ 또는 } r = \frac{3}{2}$$
진수 조건 $-1 < r < 1$을 만족하는 해는 $\mathbf{r = \frac{1}{2}}$이다.
[3.2] 점 $(r, 1) = \left(\frac{1}{2}, 1\right)$은 이차함수 $y = f(x) = ax^2 + bx$ 위의 점이므로:
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + b\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} = 1 \implies a + 2b = 4 \quad \cdots\text{ ㉠}$$
또한 점 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$에서의 접선의 기울기가 $0$이므로 도함수 $f'(x) = 2ax + b$에 대하여:
$$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 2a\left(\frac{1}{2}\right) + b = a + b = 0 \implies b = -a \quad \cdots\text{ ㉡}$$
㉡을 ㉠에 대입하면 $a + 2(-a) = -a = 4 \implies a = -4$이고, $b = 4$이다.
따라서 구하는 이차함수는 $\mathbf{f(x) = -4x^2 + 4x}$이다.
[3.3] 문항 [3.2]의 $f(x) = -4x^2 + 4x$에 대하여 곡선의 식은 $y = x^n f(x) = -4x^{n+2} + 4x^{n+1}$이다.
곡선 $y = x^n f(x)$와 $x$축의 교점의 $x$좌표는 $-4x^{n+1}(x - 1) = 0 \implies x = 0, x = 1$이다.
구간 $0 \le x \le 1$에서 $x^n f(x) \ge 0$이므로 둘러싸인 도형의 넓이 $S_n$은:
$$\begin{aligned}
S_n &= \int_0^1 (-4x^{n+2} + 4x^{n+1})\,dx = \left[ -\frac{4}{n+3}x^{n+3} + \frac{4}{n+2}x^{n+2} \right]_0^1 \\
&= \frac{4}{n+2} - \frac{4}{n+3} = 4\left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} \right)
\end{aligned}$$
급수 $\sum_{n=1}^\infty S_n$의 부분합을 구하면:
$$\sum_{n=1}^N S_n = 4 \left\{ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+3}\right) \right\} = 4\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{N+3} \right)$$
따라서 무한급수의 합은:
$$\sum_{n=1}^\infty S_n = \lim_{N\to\infty} 4\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{N+3} \right) = 4 \times \frac{1}{3} = \mathbf{\frac{4}{3}}$$
총 배점: 30점
문항 3.1 (10점) · 문항 3.2 (10점) · 문항 3.3 (10점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 3.1 |
로그 밑변환 및 진수 조건 $-1 < r < 1$을 설정하고 분수방정식 $\frac{(1+r)(3-r)}{(1-r)^2} = 15$를 세운 경우
|
5점 |
|
이차방정식 $4r^2-8r+3=0$을 풀어 진수 범위 내의 해 $r = \frac{1}{2}$를 정확히 구한 경우
|
5점 |
| 3.2 |
곡선 위의 점 조건 $f(1/2) = 1$과 접선 기울기 조건 $f'(1/2) = 0$으로부터 연립방정식 $a+2b=4, a+b=0$을 도출한 경우
|
5점 |
|
연립방정식을 풀어 $a=-4, b=4$를 구하고 $f(x) = -4x^2+4x$를 정확히 결정한 경우
|
5점 |
| 3.3 |
구간 $[0, 1]$에서 정적분을 통해 둘러싸인 넓이 $S_n = 4\left(\frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}\right)$을 정확히 유도한 경우
|
5점 |
|
망원급수 부분합의 극한을 계산하여 최종 무한급수의 합 $\frac{4}{3}$를 완벽히 도출한 경우
|
5점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 3.1에서 로그의 진수 조건 $-1 < r < 1$을 명시하고 $r = \frac{3}{2}$를 배제하는 논리가 반드시 서술되어야 만점이 부여됩니다.
• 문항 3.3에서 부분분수 소거(망원급수) 과정에서 이웃하는 항들의 소거 후 남는 첫째 항 $\frac{1}{3}$과 무한대 극한에서의 $0$ 수렴 과정을 명확히 보여주어야 합니다.
수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ
로그부등식 · 지수 · 코사인법칙 · 정적분 · 경우의 수
40점 / 100점
[1.1] 로그의 성질에 의해 $\sqrt{(\log_3 x + 2)^2} + \sqrt{(2\log_3 x - 1)^2} \le 4 \iff |\log_3 x + 2| + |2\log_3 x - 1| \le 4$.
$\log_3 x = t$로 치환하면 $|t+2| + |2t-1| \le 4$.
(1) $t < -2$: $-(t+2) - (2t-1) \le 4 \iff t \ge -5/3$ (만족 해 없음).
(2) $-2 \le t < 1/2$: $(t+2) - (2t-1) \le 4 \iff t \ge -1 \implies -1 \le t < 1/2$.
(3) $t \ge 1/2$: $(t+2) + (2t-1) \le 4 \iff t \le 1 \implies 1/2 \le t \le 1$.
따라서 $-1 \le \log_3 x \le 1 \iff \frac{1}{3} \le x \le 3$이다.
[1.2] $4^a = X, 4^b = Y$로 놓으면 $X - Y = 240, XY = 4096 \implies (Y+256)(Y-16) = 0 \implies Y = 16, X = 256$.
따라서 $a = 4, b = 2$이므로 $P(4,2)$. 직선 $y = mx + 2/3$에 대입하면 $m = 1/3$이고 $x$절편은 $A(-2,0)$.
$\overline{OA} = 2$, $\overline{OP} = 2\sqrt{5}$, $\overline{AP} = 2\sqrt{10}$이므로 코사인법칙에 의해:
$$\cos(\angle OPA) = \frac{\overline{AP}^2 + \overline{OP}^2 - \overline{OA}^2}{2\cdot\overline{AP}\cdot\overline{OP}} = \frac{40 + 20 - 4}{2\cdot 2\sqrt{10}\cdot 2\sqrt{5}} = \frac{56}{40\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$$
[1.3] $\int_{-1}^{1} x^{2k-1} dx = 0$이므로 짝수 거듭제곱 항만 남는다.
$a_{2n} = \int_{-1}^{1} \{2 + 12x^2 + \cdots + (2n-1)(2n)x^{2n-2}\} dx = 2(2 + 4 + \cdots + 2n) = 2n(n+1)$.
$b_n = \frac{a_{2n}}{2n} = 2(n+1)$이므로 $\sum_{n=1}^{25} b_n = \sum_{n=1}^{25} 2(n+1) = 2\cdot\frac{25\cdot 26}{2} + 50 = 700$.
[1.4] 3경기 출전 가능 후보: $\{5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.
(1) $\{9, 10, 11, 12\}$ 중 1명, $\{5, 6, 7, 8\}$ 중 4명: ${}_4\mathrm{C}_1 \times {}_4\mathrm{C}_4 = 4 \times 1 = 4$.
(2) $\{9, 10, 11, 12\}$ 중 2명, $\{5, 6, 7, 8\}$ 중 3명: ${}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_3 = 6 \times 4 = 24$.
따라서 전체 경우의 수는 $4 + 24 = 28$이다.
| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 1.1 |
로그의 성질을 이용하여 주어진 부등식을 $|\log_3 x + 2| + |2\log_3 x - 1| \le 4$로 바르게 정리한 경우 |
3점 |
| $\log_3 x = t$로 치환하고 3구간으로 분할하여 $-1 \le t \le 1$을 도출한 경우 |
5점 |
| 최종 부등식의 해 $\frac{1}{3} \le x \le 3$을 정확히 구한 경우 |
2점 |
| 1.2 |
연립방정식을 풀어 점 $P(4, 2)$의 좌표를 바르게 구한 경우 |
3점 |
| 직선 $y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$ 및 $x$절편 $A(-2, 0)$을 도출한 경우 |
3점 |
| 코사인법칙을 적용하여 $\cos(\angle OPA) = \frac{7\sqrt{2}}{10}$을 계산한 경우 |
4점 |
| 1.3 |
기함수의 정적분 소거 성질을 이용하여 $a_{2n} = 2n(n+1)$을 바르게 적분 계산한 경우 |
5점 |
| $b_n = 2(n+1)$의 일반항을 바르게 유도한 경우 |
3점 |
| 수열의 합 $\sum_{n=1}^{25} b_n = 700$을 정확히 계산한 경우 |
2점 |
| 1.4 |
경우 (1) (${}_4\mathrm{C}_1 \times {}_4\mathrm{C}_4 = 4$)을 계산한 경우 |
4점 |
| 경우 (2) (${}_4\mathrm{C}_2 \times {}_4\mathrm{C}_3 = 24$)을 계산한 경우 |
4점 |
| 합의 법칙을 적용하여 전체 경우의 수 $4 + 24 = 28$을 정확히 구한 경우 |
2점 |
수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ
삼각함수 · 도함수 · 접선의 방정식 · 원과 직선 · 평행이동
21점 / 100점
[2.1] $\sin\alpha = \sin\beta$ 이고 $0 < \alpha < \beta < \pi$ 이므로 $\beta = \pi - \alpha$.
$\sin(\alpha + 2\beta) = \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha$, $\cos(2\alpha + \beta) = \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.
$-4\sin\alpha = -3\cos\alpha \iff \tan\alpha = \frac{3}{4} \implies k = \sin\alpha = \frac{3}{5}$ 이다.
[2.2] $y = \frac{3}{8}x^2 + 3 \implies y' = \frac{3}{4}x = -\frac{3}{4} \implies x = -1$.
$x = -1$일 때 $y = \frac{27}{8}$ 이므로 점 $P\left(-1, \frac{27}{8}\right)$.
직선 $l$: $y - \frac{27}{8} = -\frac{3}{4}(x + 1) \iff y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{8} \quad (6x + 8y - 21 = 0)$.
절편: $A\left(\frac{7}{2}, 0\right)$, $B\left(0, \frac{21}{8}\right)$.
[2.3] $\triangle OAB$의 세 변의 길이는 $\frac{28}{8}, \frac{21}{8}, \frac{35}{8}$ 이므로 내접원 반지름 $r = \frac{28+21-35}{16} = \frac{7}{8}$.
$b < 0$ 이고 평행이동한 원이 $x$축에 접하므로 $b = -\frac{7}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{7}{4}$.
평행이동한 원의 중심 $(c, -7/8)$에서 직선 $l: 6x+8y-21=0$까지의 거리:
$$\frac{|6c - 28|}{10} = \frac{7}{8} \iff |6c - 28| = \frac{35}{4} \iff c = \frac{77}{24} \text{ 또는 } \frac{49}{8}$$
$a = c - \frac{7}{8} \implies a = \frac{77}{24} - \frac{21}{24} = \frac{7}{3}$ ($0 < a < 5$ 만족). 따라서 $a = \frac{7}{3}, b = -\frac{7}{4}$ 이다.
| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 2.1 |
$\alpha + \beta = \pi$ 및 덧셈정리를 적용하여 $\tan\alpha = 3/4$ 을 도출한 경우 |
3점 |
| $\sin\alpha$의 값을 구하여 $k = 3/5$ 을 정확하게 구한 경우 |
3점 |
| 2.2 |
도함수를 이용하여 접점 $P(-1, 27/8)$ 의 좌표를 구한 경우 |
4점 |
| 직선 $l$의 방정식 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{21}{8}$ 을 바르게 구한 경우 |
3점 |
| 2.3 |
$\triangle OAB$의 내접원 반지름 $r = 7/8$ 및 $y$축 평행이동량 $b = -7/4$ 을 구한 경우 |
4점 |
| 점과 직선 사이의 거리 공식을 세워 $c = 77/24$ 를 도출한 경우 |
2점 |
| $0 < a < 5$ 조건을 만족하는 $a = 7/3$ 을 정확하게 구한 경우 |
2점 |
수학 · 수학Ⅱ · 미적분
함수의 극대·극소 · 선분의 내분점 · 정적분의 넓이 · 함수의 극한
18점 / 100점
[3.1] $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0$ 의 두 근이 $\alpha, \beta$ 이므로 $\alpha+\beta = -\frac{2a}{3}, \alpha\beta = \frac{b}{3}$.
$1:2$ 내분점 $P(0, -t^3)$ 의 $x$좌표에서 $\frac{\beta+2\alpha}{3} = 0 \iff \beta = -2\alpha \implies a = \frac{3}{2}\alpha, b = -6\alpha^2$.
$y$좌표에서 $\frac{f(-2\alpha)+2f(\alpha)}{3} = \alpha^3 = -t^3 \iff \alpha = -t$ ($t>0$).
따라서 $a = -\frac{3}{2}t, b = -6t^2$ 이다.
[3.2] $f(x) = x\left(x+\frac{3}{2}t\right)(x-2t)$. $[-t, 0]$에서 $f(x) \ge 0$, $[0, 2t]$에서 $f(x) \le 0$.
$$S(t) = \int_{-t}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{2t} \{-f(x)\} \, dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}tx^3 - 3t^2x^2\right]_{-t}^{0} - \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}tx^3 - 3t^2x^2\right]_{0}^{2t}$$
$$= \frac{9}{4}t^4 + 12t^4 = \frac{57}{4}t^4$$
[3.3] $\lim_{t\to\infty} \frac{S(t)}{t^k} = \lim_{t\to\infty} \frac{57t^4}{4t^k}$.
이 극한값이 $0$이 아닌 유한한 값으로 수렴하는 최소 자연수는 차수가 일치하는 $k = 4$ 이며, 이때의 극한값은 $\frac{57}{4}$ 이다.
| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 3.1 |
근과 계수의 관계 및 $1:2$ 내분점 공식으로부터 $\beta = -2\alpha$ 를 도출한 경우 |
3점 |
| $\alpha = -t$를 구하고 $a = -\frac{3}{2}t, b = -6t^2$을 바르게 구한 경우 |
3점 |
| 3.2 |
구간별 부호를 판정하여 정적분 식을 바르게 세운 경우 |
3점 |
| 정적분을 계산하여 도형의 넓이 $S(t) = \frac{57}{4}t^4$을 정확히 구한 경우 |
3점 |
| 3.3 |
극한값이 수렴하기 위한 최소 자연수 $k = 4$를 구한 경우 |
3점 |
| 이때의 극한값 $\frac{57}{4}$을 정확하게 계산한 경우 |
3점 |
수학 · 수학Ⅰ · 미적분
원과 직각삼각형 · 등차수열의 합과 절댓값 · 급수의 수렴과 극한 · 원과 포물선 접선 및 넓이
40점 / 100점
[1.1] 원에 내접하는 직각삼각형의 빗변은 반드시 그 원의 지름이어야 한다.
$12$개의 점 $P_1, P_2, \dots, P_{12}$에서 $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$에 대하여 점 $P_k$와 점 $P_{k+6}$을 연결한 선분이 원의 지름이 되므로 지름의 총 개수는 $6$개이다.
나머지 한 꼭짓점은 지름의 양 끝점을 제외한 $10$개의 점 중에서 하나를 택하면 되므로, 만들 수 있는 직각삼각형의 총 개수는:
$$6 \times 10 = \mathbf{60\text{ (개)}}$$
[1.2] 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$, 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자.
$S_4 = \frac{4(2a+3d)}{2} = 2(2a+3d) = 214 \implies 2a+3d = 107$,
$S_6 = \frac{6(2a+5d)}{2} = 3(2a+5d) = 303 \implies 2a+5d = 101$.
두 식을 연립하면 $2d = -6 \implies d = -3, a = 58$이다. 일반항은 $a_n = 58 - 3(n-1) = 61 - 3n$.
$a_n \ge 0 \iff 61 - 3n \ge 0 \iff n \le 20$이므로 $a_1 = 58, \dots, a_{20} = 1$이고, $a_{21} = -2, \dots, a_{40} = -59$이다.
따라서 $S = |a_1| + |a_2| + \dots + |a_{40}|$의 값은:
$$\begin{aligned}
S &= (a_1 + \dots + a_{20}) - (a_{21} + \dots + a_{40}) \\
&= \frac{20(58 + 1)}{2} - \frac{20(-2 - 59)}{2} = 590 - (-610) = \mathbf{1200}
\end{aligned}$$
[1.3] 급수 $\sum_{n=1}^\infty \left(a_n - \frac{2n^2 + 2n - 1}{n^2 + n}\right) = 5$가 수렴하므로 일반항의 극한은 $0$이다.
$$\lim_{n\to\infty} \left(a_n - \frac{2n^2 + 2n - 1}{n^2 + n}\right) = 0 \implies \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{2n^2 + 2n - 1}{n^2 + n} = 2$$
한편 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1$이므로:
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n (a_k - 2) = \sum_{n=1}^\infty (a_n - 2) = \sum_{n=1}^\infty \left(a_n - \frac{2n^2+2n-1}{n^2+n}\right) - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 5 - 1 = 4$$
따라서 구하는 극한값은:
$$\lim_{n\to\infty} \left\{ a_n + \sum_{k=1}^n (a_k - 2) \right\} = 2 + 4 = \mathbf{6}$$
[1.4] 곡선 $y = 1 - x^2$ ($x \ge 0$)과 원 $x^2 + y^2 = r^2$의 제1사분면 접점을 $P(t, 1-t^2)$ ($t > 0$)이라 하면, 곡선의 접선 기울기는 $-2t$이고 선분 $OP$의 기울기는 $\frac{1-t^2}{t}$이다.
수직 조건 $\frac{1-t^2}{t} \times (-2t) = -1 \implies 1-t^2 = \frac{1}{2} \implies t = \frac{1}{\sqrt{2}}$. 접점 $P\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}\right)$이고 반지름 $r^2 = \overline{OP}^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
구하는 넓이 $S_1 + S_2$는 포물선의 정적분 넓이에서 사분원의 넓이를 뺀 것이므로:
$$S_1 + S_2 = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx - \frac{1}{4}\pi r^2 = \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 - \frac{1}{4}\pi \left(\frac{3}{4}\right) = \mathbf{\frac{2}{3} - \frac{3\pi}{16}}$$
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| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 1.1 |
원에 내접하는 직각삼각형의 빗변이 지름임을 파악하고 지름의 개수 6개를 구한 경우 |
5점 |
| 나머지 한 점을 택하는 경우의 수를 곱하여 총 개수 60개를 정확히 도출한 경우 |
5점 |
| 1.2 |
등차수열 합 공식을 연립하여 첫째항 $a = 58$과 공차 $d = -3$을 구한 경우 |
4점 |
| 일반항 $a_n = 61 - 3n$의 부호가 바뀌는 $n = 20$ 경계를 올바르게 구분한 경우 |
3점 |
| 양수항과 음수항의 합을 계산하여 $S = 1200$을 정확히 구한 경우 |
3점 |
| 1.3 |
급수 수렴 성질을 이용하여 수열의 극한값 $\lim_{n\to\infty} a_n = 2$를 도출한 경우 |
4점 |
| 부분분수 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 1$을 활용해 $\sum_{n=1}^\infty (a_n - 2) = 4$를 도출한 경우 |
3점 |
| 두 극한의 합을 계산하여 최종 값 6을 정확히 구한 경우 |
3점 |
| 1.4 |
법선과 접선의 수직 관계를 이용하여 접점 $P$의 좌표와 반지름 제곱 $r^2 = \frac{3}{4}$을 구한 경우 |
4점 |
| 포물선의 정적분 넓이 $\int_0^1 (1-x^2)\,dx = \frac{2}{3}$와 사분원 넓이 $\frac{3\pi}{16}$를 계산한 경우 |
3점 |
| 두 넓이의 차를 통해 $S_1 + S_2 = \frac{2}{3} - \frac{3\pi}{16}$를 정확히 도출한 경우 |
3점 |
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수학 · 수학Ⅰ
절댓값 함수 · 삼각함수 코사인 그래프 · 교점의 개수 · 부분분수 급수
30점 / 100점
[2.1] 함수 $f(x) = |x + 2n\pi| + |x - 2n\pi| + 1 - 4n\pi$의 절댓값 기호를 구간별로 해제한다.
1) $x < -2n\pi$일 때: $x + 2n\pi < 0, x - 2n\pi < 0$이므로
$f(x) = -(x + 2n\pi) - (x - 2n\pi) + 1 - 4n\pi = -2x + 1 - 4n\pi \implies \text{(ㄱ)} = \mathbf{-2x + 1 - 4n\pi}$
2) $-2n\pi \le x \le 2n\pi$일 때: $x + 2n\pi \ge 0, x - 2n\pi \le 0$이므로
$f(x) = (x + 2n\pi) - (x - 2n\pi) + 1 - 4n\pi = 4n\pi + 1 - 4n\pi = 1 \implies \text{(ㄴ)} = \mathbf{1}$
3) $x > 2n\pi$일 때: $x + 2n\pi > 0, x - 2n\pi > 0$이므로
$f(x) = (x + 2n\pi) + (x - 2n\pi) + 1 - 4n\pi = 2x + 1 - 4n\pi \implies \text{(ㄷ)} = \mathbf{2x + 1 - 4n\pi}$
따라서 구하는 식은 다음과 같다:
$$f(x) = \begin{cases} \mathbf{-2x + 1 - 4n\pi} & (x < -2n\pi) \\ \mathbf{1} & (-2n\pi \le x \le 2n\pi) \\ \mathbf{2x + 1 - 4n\pi} & (x > 2n\pi) \end{cases}$$
[2.2] 모든 실수 $x$에 대하여 $\cos x \le 1$이다.
[2.1]의 결과에 의해 $x < -2n\pi$일 때 $f(x) > 1$이고, $x > 2n\pi$일 때 $f(x) > 1$이다.
따라서 $y = f(x)$와 $y = \cos x$의 그래프가 만나려면 $-2n\pi \le x \le 2n\pi$ 구간에서 $\cos x = 1$이어야 한다.
정수 $k$에 대하여 $x = 2k\pi$일 때 $\cos x = 1$이므로:
$$-2n\pi \le 2k\pi \le 2n\pi \iff -n \le k \le n$$
이를 만족하는 정수 $k$의 개수는 $n - (-n) + 1 = 2n + 1$개이다. 따라서 교점의 개수 수열의 일반항은:
$$a_n = \mathbf{2n + 1}$$
[2.3] $a_n = 2n + 1, a_{n+1} = 2n + 3$이므로 부분분수로 분해하면:
$$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right)$$
망원급수의 합을 계산하면:
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{26} \frac{1}{a_n a_{n+1}} &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{26} \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right) \\
&= \frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{53} - \frac{1}{55}\right) \right\} \\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{55} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{165} = \mathbf{\frac{26}{165}}
\end{aligned}$$
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| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 2.1 |
구간 $x < -2n\pi$에서 (ㄱ) $= -2x + 1 - 4n\pi$를 바르게 도출한 경우 |
3점 |
| 구간 $-2n\pi \le x \le 2n\pi$에서 (ㄴ) $= 1$을 바르게 도출한 경우 |
4점 |
| 구간 $x > 2n\pi$에서 (ㄷ) $= 2x + 1 - 4n\pi$를 바르게 도출한 경우 |
3점 |
| 2.2 |
$\cos x \le 1$의 성질로부터 교점이 오직 상수 구간 $-2n\pi \le x \le 2n\pi$에서 발생함을 보인 경우 |
4점 |
| $\cos x = 1$이 되는 $x = 2k\pi$의 조건을 만족하는 정수 $k$의 범위를 구한 경우 |
3점 |
| 교점의 개수 일반항 $a_n = 2n + 1$을 정확히 도출한 경우 |
3점 |
| 2.3 |
수열의 일반항을 대입하여 부분분수 형태로 변형한 경우 |
4점 |
| 연쇄 소거를 통해 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{55}\right)$로 축약한 경우 |
3점 |
| 최종 합 $\frac{26}{165}$을 정확히 계산한 경우 |
3점 |
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수학 · 수학Ⅱ · 미적분
접선의 방정식 · 공통접선 · 곡선의 교점 · 삼차함수와 이차함수로 둘러싸인 넓이
30점 / 100점
[3.1] $f'(x) = 3ax^2$이고 $g'(x) = 6x$이다.
$x = 2$에서 두 곡선의 접선이 같으려면 $x=2$에서의 접선의 기울기가 같아야 하므로:
$$f'(2) = g'(2) \implies 12a = 12 \implies \mathbf{a = 1}$$
또한 $x=2$에서의 함숫값이 같아야 하므로:
$$f(2) = g(2) \implies 8a = 12 + b \implies 8 = 12 + b \implies \mathbf{b = -4}$$
따라서 구하는 값은 $a = 1, b = -4$이다.
[3.2] [3.1]에 의해 $f(x) = x^3$이다. $x = 2$에서의 접점의 좌표는 $(2, 8)$이고 기울기는 $12$이므로 접선의 방정식은:
$$y = 12(x - 2) + 8 \implies \mathbf{y = 12x - 16}$$
곡선 $y = x^3$과 접선 $y = 12x - 16$의 교점의 $x$좌표는:
$$x^3 = 12x - 16 \implies x^3 - 12x + 16 = (x - 2)^2(x + 4) = 0$$
따라서 제3사분면에서의 교점의 $x$좌표는 $-4$이고, $y$좌표는 $f(-4) = -64$이다.
구하는 교점의 좌표는 $\mathbf{(-4, -64)}$이다.
[3.3] [3.1]에 의해 $f(x) = x^3, g(x) = 3x^2 - 4$이고 접선은 $y = 12x - 16$이다.
두 곡선 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 교점의 $x$좌표는 $x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)^2(x + 1) = 0$에서 $x = -1, 2$이다.
구간별 곡선과 접선의 위치 관계:
- $-4 \le x \le -1$일 때: $12x - 16 \le x^3 \le 3x^2 - 4$
- $-1 \le x \le 2$일 때: $12x - 16 \le 3x^2 - 4 \le x^3$
따라서 두 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는:
$$\begin{aligned}
S &= \int_{-4}^{-1} (x^3 - 12x + 16)\,dx + \int_{-1}^{2} (3x^2 - 12x + 12)\,dx \\
&= \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^{-1} + \left[ x^3 - 6x^2 + 12x \right]_{-1}^{2} \\
&= \left\{ -\frac{87}{4} - (-96) \right\} + \{ 8 - (-19) \} = \frac{297}{4} + 27 = \mathbf{\frac{405}{4}}
\end{aligned}$$
\n\n
| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 3.1 |
도함수를 구하고 $x=2$에서 접선의 기울기가 같음을 이용하여 $a=1$을 구한 경우 |
5점 |
| 접점의 $y$좌표가 같음을 이용하여 $b=-4$를 정확히 구한 경우 |
5점 |
| 3.2 |
접점 $(2,8)$과 기울기 12를 이용하여 접선의 방정식 $y = 12x - 16$을 구한 경우 |
5점 |
| 방정식 $x^3 - 12x + 16 = 0$을 인수분해하여 제3사분면의 교점 $(-4, -64)$를 도출한 경우 |
5점 |
| 3.3 |
두 곡선의 교점 $x = -1, 2$를 구하고 적분 구간을 $[-4, -1]$과 $[-1, 2]$로 나눈 경우 |
4점 |
| 구간별 정적분 식을 올바르게 세운 경우 |
3점 |
| 정적분을 정확히 계산하여 최종 넓이 $\frac{405}{4}$를 도출한 경우 |
3점 |
\n\n
수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분
속도와 거리 · 절댓값 부등식 · 삼각함수 덧셈정리 · 조합 사각형
30점 / 100점
[1.1] $v(t) = |t-5|$ 이므로 구간을 나누면:
$$\begin{aligned}
v(t) &= \begin{cases} -t+5 & (0 \le t < 5) \\ t-5 & (t \ge 5) \end{cases} \\
x(t) &= \begin{cases} -\frac{1}{2}t^2 + 5t & (0 \le t < 5) \\ \frac{1}{2}t^2 - 5t + 25 & (t \ge 5) \end{cases}
\end{aligned}$$
$x(5) = \frac{25}{2} = 12.5$ 이므로 $x(t) \le 8$ 은 $0 \le t < 5$ 에서 발생하고, $x(t) \ge 14$ 는 $t \ge 5$ 에서 발생한다.
(1) $0 \le t < 5$ 에서 $-\frac{1}{2}t^2 + 5t \le 8 \iff t^2 - 10t + 16 \ge 0 \iff (t-2)(t-8) \ge 0 \implies 0 \le t \le 2$.
(2) $t \ge 5$ 에서 $\frac{1}{2}t^2 - 5t + 25 \ge 14 \iff t^2 - 10t + 22 \ge 0 \iff (t-5)^2 \ge 3 \implies t \ge 5 + \sqrt{3}$.
따라서 구하는 $t$의 범위는 $0 \le t \le 2$ 또는 $t \ge 5 + \sqrt{3}$ 이다.
[1.2] 직선 $y = \frac{1}{n}x$ 와 $x$축이 이루는 예각을 $\alpha_n$ 이라 하면 $\tan\alpha_n = \frac{1}{n}$ 이고, 직선 $y = x$ 는 $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ 이다.
두 직선이 이루는 예각 $\theta_n = \frac{\pi}{4} - \alpha_n$ 이므로 탄젠트 덧셈정리에 의해:
$$\tan\theta_n = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \alpha_n\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} - \tan\alpha_n}{1 + \tan\frac{\pi}{4}\tan\alpha_n} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{n-1}{n+1}$$
따라서 구하는 곱은:
$$\prod_{n=2}^{20} \tan\theta_n = \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{5} \times \cdots \times \frac{18}{20} \times \frac{19}{21} = \frac{1 \times 2}{20 \times 21} = \frac{2}{420} = \frac{1}{210}$$
[1.3] 16개의 점 중 4개를 택하는 전체 경우의 수는 ${}_{16}\mathrm{C}_4 = \frac{16\times 15\times 14\times 13}{4\times 3\times 2\times 1} = 1820$.
사각형이 만들어지지 않는 경우는 다음 두 가지이다.
ⅰ) 4개의 점이 한 변 위에 있는 경우: 한 변당 5개의 점 중 4개를 택하고 4개의 변이 있으므로 ${}_5\mathrm{C}_4 \times 4 = 5 \times 4 = 20$.
ⅱ) 3개의 점이 한 변 위에 있고 나머지 1개 점은 다른 변 위에 있는 경우: ${}_5\mathrm{C}_3 \times (16 - 5) \times 4 = 10 \times 11 \times 4 = 440$.
따라서 가능한 사각형의 개수는 $1820 - 20 - 440 = 1360$ 개이다.
| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 1.1 |
속도 함수 $v(t)$를 $t < 5$와 $t \ge 5$로 나누어 위치 함수 $x(t)$를 올바르게 적분 도출한 경우 |
4점 |
| 구간별 이차부등식을 풀어 $0 \le t \le 2$와 $t \ge 5 + \sqrt{3}$의 범위를 각각 구한 경우 |
4점 |
| 조건을 만족하는 $t$의 최종 범위를 정확히 명시한 경우 |
2점 |
| 1.2 |
탄젠트의 덧셈정리를 적용하여 $\tan\theta_n = \frac{n-1}{n+1}$의 일반식을 바르게 유도한 경우 |
5점 |
| 연쇄 소거를 통해 최종 곱 $\frac{1}{210}$을 정확히 계산한 경우 |
5점 |
| 1.3 |
전체 경우의 수 ${}_{16}\mathrm{C}_4 = 1820$을 바르게 구한 경우 |
3점 |
| 사각형이 되지 않는 조건 ⅰ) 20가지와 ⅱ) 440가지를 바르게 분류 계산한 경우 |
5점 |
| 여사건을 빼서 사각형의 개수 $1360$을 정확히 구한 경우 |
2점 |
수학 · 수학Ⅰ · 미적분
대칭이동 최단거리 · 직선의 방정식 · 사인법칙 · 정적분과 급수의 합
25점 / 100점
[그림] 좌표평면 대칭점 $P', Q'$
[2.1] 점 $B$를 원점 $(0,0)$, 직선 $BC$를 $x$축, 직선 $AB$를 $y$축으로 잡으면 $P(0,4), Q(4,2)$.
점 $P$를 직선 $AD(y=5)$에 대하여 대칭이동한 점을 $P'(0,6)$, 점 $Q$를 직선 $BC(y=0)$에 대하여 대칭이동한 점을 $Q'(4,-2)$라 하면:
$$\begin{aligned}
\overline{PX} + \overline{XY} + \overline{YQ} &= \overline{P'X} + \overline{XY} + \overline{YQ'} \\
&\ge \overline{P'Q'} = \sqrt{4^2 + (-2-6)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}
\end{aligned}$$
[2.2] $\triangle MUY$의 외접원 반지름 $R$에 대해 사인법칙 $\sin M = \frac{\overline{UY}}{2R}, \sin U = \frac{\overline{YM}}{2R}, \sin Y = \frac{\overline{MU}}{2R}$을 대입하면:
$$\overline{UY}^2 = \overline{YM}^2 + \overline{MU}^2$$
이므로 $\triangle MUY$는 $\angle M = 90^\circ$인 직각삼각형이고 $\overline{UY} = 2R$이다.
직선 $P'Q'$의 방정식: $y = -2x + 6 \implies Y(3,0)$.
직선 $XY$의 기울기가 $-2$이므로 $UD$의 기울기는 $\frac{1}{2}$이고 점 $D(4,5)$를 지나므로 $y = \frac{1}{2}x + 3 \implies U(0,3)$.
따라서 $\overline{UY} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \implies R = \frac{\overline{UY}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ 이다.
[2.3] 호 $UY$는 반원이고 $R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. $\angle UOV_k = \frac{k\pi}{n}$ 에서 $V_k$의 높이 $\overline{V_kH_k} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin\frac{k\pi}{n}$.
$S_k = \frac{1}{2} \cdot \overline{UY} \cdot \overline{V_kH_k} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\sin\frac{k\pi}{n} = \frac{9}{2}\sin\frac{k\pi}{n}$.
따라서 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의해:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} S_k = \frac{1}{\pi} \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{2}\sin\frac{k\pi}{n} = \frac{9}{2\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx = \frac{9}{2\pi}[-\cos x]_0^\pi = \frac{9}{\pi}$$
| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 2.1 |
대칭이동 점 $P'(0,6), Q'(4,-2)$의 좌표를 바르게 설정한 경우 |
4점 |
| 두 점 사이의 거리 공식으로 최솟값 $4\sqrt{5}$를 정확히 구한 경우 |
3점 |
| 2.2 |
사인법칙을 적용하여 $\triangle MUY$가 직각삼각형임을 증명한 경우 |
3점 |
| 직선의 방정식을 연립하여 점 $Y(3,0), U(0,3)$을 도출한 경우 |
3점 |
| 외접원의 반지름 $R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$를 정확히 계산한 경우 |
2점 |
| 2.3 |
삼각형의 넓이 일반항 $S_k = \frac{9}{2}\sin\frac{k\pi}{n}$을 바르게 유도한 경우 |
4점 |
| 급수의 극한을 정적분 $\frac{9}{2\pi}\int_0^\pi \sin x \, dx$ 로 변환한 경우 |
3점 |
| 정적분을 계산하여 최종 극한값 $\frac{9}{\pi}$를 정확히 구한 경우 |
3점 |
수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분
사잇값 정리 · 평균값 정리 · 수열의 귀납적 정의 · 샌드위치 극한
20점 / 100점
[3.1] ① 연속, ② $<0$ ($f(0) = -\ln 3 + 1 = -1.099 + 1 = -0.099 < 0$), ③ $>0$ ($f(1) = 2 - \ln 4 = 2 - 2\ln 2 = 2 - 1.386 = 0.614 > 0$), ④ 사잇값 정리.
따라서 $f(0)f(1) < 0$ 이므로 사잇값 정리에 의해 열린구간 $(0,1)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
[3.2] $f(x)$의 도함수를 구하면 $f'(x) = 1 - \frac{1}{x+3} = \frac{x+2}{x+3}$ 이다.
$0 < x < 1$ 일 때 $x+2 > 0$ 이고 $x+3 > 0$ 이므로 $f'(x) > 0$ 이다.
따라서 $f(x)$는 열린구간 $(0,1)$에서 엄격하게 증가하는 증가함수이므로, $f(x) = 0$의 실근은 오직 하나만 존재한다.
[3.3] $g(t) - \alpha = g(t) - g(\alpha)$. $g(x)$는 닫힌구간 $[\alpha, t]$에서 연속이고 열린구간 $(\alpha, t)$에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해:
$$\frac{g(t) - g(\alpha)}{t - \alpha} = g'(c) \implies g(t) - \alpha = g'(c)(t - \alpha)$$
인 $c \in (\alpha, t)$가 적어도 하나 존재한다. $g'(c) = \frac{1}{c+3}$ 이고 $0 < \alpha < c < t \le 1$ 이므로 $0 < g'(c) < \frac{1}{3}$ 이다.
따라서 $0 < g(t) - \alpha < \frac{1}{3}(t - \alpha)$ 가 항상 성립하므로, 가장 큰 자연수는 $p = 3$ 이다.
[3.4] 문항 [3.3]에 의해 $0 < a_k - \alpha < \frac{1}{3}(a_{k-1} - \alpha)$ 이므로 축차대입하면:
$$0 < a_n - \alpha < \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}(a_1 - \alpha) = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}(1 - \alpha)$$
따라서 $M = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ 이다.
$\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}(1 - \alpha) = 0$ 이므로, 수열의 극한의 대소 관계에 의해 $\lim_{n\to\infty}(a_n - \alpha) = 0 \iff \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ 이다.
| 하위 문항 |
채점 기준 및 평가 요소 |
배점 |
| 3.1 |
① 연속, ② $<0$, ③ $>0$, ④ 사잇값 정리를 모두 정확하게 고른 경우 |
4점 |
| 3.2 |
도함수 $f'(x) > 0$임을 보여 $f(x)$가 증가함수이며 실근이 유일함을 증명한 경우 |
4점 |
| 3.3 |
평균값 정리를 적용하여 $g'(c) = \frac{1}{c+3} < \frac{1}{3}$의 범위를 도출한 경우 |
4점 |
| 가장 큰 자연수 $p = 3$을 정확히 구한 경우 |
2점 |
| 3.4 |
축차부등식을 적용하여 $M = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$의 식을 바르게 유도한 경우 |
3점 |
| 수열의 극한의 대소 관계(샌드위치 정리)로 $\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$를 정확히 구한 경우 |
3점 |
수학 · 미적분 · 수학Ⅰ
정적분과 급수의 관계 · 도함수의 증감과 부등식 · 등차수열의 합과 극한
30점 / 100점
[1.1] 정적분과 급수의 관계를 이용한 극한값 계산
로그의 성질에 의하여 곱을 합으로 분해하면
$$a_n = \frac{1}{n} \left\{ \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) + \ln\left(1+\frac{2}{n}\right) + \cdots + \ln\left(1+\frac{n}{n}\right) \right\} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$$
정적분과 급수의 합의 관계 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x)\,dx$를 적용하면
$$\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} a_n &= \int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \int_1^2 \ln x\,dx \\
&= [x\ln x - x]_1^2 = (2\ln 2 - 2) - (0 - 1) = \mathbf{2\ln 2 - 1}
\end{aligned}$$
[1.2] 도함수의 부호 조사를 통한 증감 및 대소 판별
몫의 미분법에 의해 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$의 도함수를 구하면
$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\ln x}{x^2}$$
- $0 < x < e$일 때 $\ln x < 1 \implies f'(x) > 0$이므로 함수 $f(x)$는 구간 $(0, e]$에서 증가한다.
- $x > e$일 때 $\ln x > 1 \implies f'(x) < 0$이므로 함수 $f(x)$는 구간 $[e, \infty)$에서 감소한다.
$e < a < b$에서 $f(x)$는 감소함수이므로 $f(a) > f(b)$, 즉 $\frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b}$이다. 양변에 $a > 0$을 곱하고 양수인 $\ln b > 0$으로 나누면
$$\mathbf{\frac{\ln a}{\ln b} > \frac{a}{b}}$$
[1.3] 등차수열의 일반항 및 부분합 극한 비율 계산
등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여 $a_n = a_1 + (n-1)d_1$, $b_{n+2} - b_n = 2d_2$, $S_n = \frac{n\{2b_1 + (n-1)d_2\}}{2}$이므로
$$\begin{aligned}
\frac{a_n^2}{(b_{n+2} - b_n)S_n} &= \frac{\{a_1 + (n-1)d_1\}^2}{2d_2 \cdot \frac{n\{2b_1 + (n-1)d_2\}}{2}} \\
&= \frac{d_1^2 n^2 + 2d_1(a_1-d_1)n + (a_1-d_1)^2}{d_2^2 n^2 + d_2(2b_1-d_2)n}
\end{aligned}$$
최고차항 계수 비교에 의해 $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^2}{(b_{n+2}-b_n)S_n} = \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 27$이다. $d_1 > 0, d_2 > 0$이므로 $\mathbf{\frac{d_1}{d_2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}}$이다.
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수학 · 미적분 · 수학Ⅰ
정적분과 급수 합 · 함수의 증감 조사 · 수열의 극한값 계산
공식 채점기준
| 하위 문항 |
세부 채점 기준 및 감점 요소 |
배점 |
[1.1]
(10점) |
• 로그의 성질을 이용하여 $a_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{k}{n}\right)$ 꼴로 올바르게 변형한 경우 |
4점 |
| • 정적분과 급수의 합의 관계식을 적용하여 정적분 $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx$로 전환한 경우 |
3점 |
| • 부분적분법을 정확히 수행하여 최종 극한값 $2\ln 2 - 1$을 올바르게 구한 경우 |
3점 |
[1.2]
(10점) |
• 도함수 $f'(x) = \frac{1-\ln x}{x^2}$을 올바르게 구한 경우 |
3점 |
| • 도함수의 부호 조사를 통해 증가구간 $(0, e]$ 및 감소구간 $[e, \infty)$를 정확히 제시한 경우 |
4점 |
| • $e < a < b$에서의 감소성을 이용하여 대소 관계 $\frac{\ln a}{\ln b} > \frac{a}{b}$를 논리적으로 도출한 경우 |
3점 |
[1.3]
(10점) |
• 등차수열의 일반항 $a_n$ 및 합 $S_n$, 공차차 $b_{n+2}-b_n = 2d_2$를 정확히 세운 경우 |
4점 |
| • $n$에 대한 분수식을 정리하고 최고차항 계수 극한이 $\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$임을 구한 경우 |
3점 |
| • $\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2 = 27$ 및 $d_1, d_2 > 0$으로부터 최종 비율 $3\sqrt{3}$을 구한 경우 |
3점 |
💡 채점 위원 총평 및 수험생 유의사항:
• [1.1] 로그의 덧셈 성질과 리만 합(정적분 정의)의 수렴 원리를 명확하게 서술해야 부분 감점을 방지할 수 있습니다.
• [1.2] $e < a < b$에서 $\ln b > \ln a > 1 > 0$임을 언급하여 양변을 나눌 때 부등호 방향이 보존됨을 밝히는 것이 고득점 포인트입니다.
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수학Ⅱ · 미적분
지수함수 원점 대칭 증명 · 도함수와 이계도함수 교점 분석 · 치환적분 넓이
30점 / 100점
[2.1] 곡선 $y = f(x)$의 원점 대칭 증명 ($f(-x) = -f(x)$)
곡선 $y = f(x)$가 원점에 대하여 대칭일 필요충분조건은 $f(-x) = -f(x)$이다.
$$\begin{aligned}
f(-x) &= \frac{5^{-x}}{1+5^{-x}} - \frac{1}{2} = \frac{1}{1+5^x} - \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{2} - \frac{5^x}{1+5^x} = -\left(\frac{5^x}{1+5^x} - \frac{1}{2}\right) = -f(x)
\end{aligned}$$
따라서 $y = f(x)$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.
[2.2] 교점 개수 분석 및 $m$의 범위 도출
$h(x) = f(x) - g(x)$는 원점 대칭이므로 $h(0) = 0$이다. 따라서 $x > 0$에서 $h(x) = 0$이 오직 하나의 실근을 가지면 세 점에서 만난다.
$$h'(x) = \frac{(\ln 5)5^x}{(1+5^x)^2} - m, \quad h''(x) = -\frac{(\ln 5)^2 (5^x-1)5^x}{(1+5^x)^3}$$
$x > 0$에서 $5^x > 1$이므로 $h''(x) < 0$이며, $h'(x)$는 감소함수이다. $\lim_{x\to\infty} h'(x) = -m < 0$이다.
$h'(0) = \frac{1}{4}\ln 5 - m > 0$이면 $h'(x_0) = 0$ ($x_0 > 0$)인 극댓값 $h(x_0) > 0$이 존재하여 $x > 0$에서 $x$축과 유일하게 만난다.
반면 $m \ge \frac{1}{4}\ln 5$이면 $h'(x) < 0$으로 감소하여 $x > 0$에서 만남이 없다. 따라서 $m > 0$이므로 $\mathbf{0 < m < \frac{1}{4}\ln 5}$이다.
[2.3] 치환적분을 통한 도형의 넓이 계산 및 $m$ 결정
원점 대칭에 의해 세 교점은 $(-c, -mc), (0, 0), (c, mc)$ ($c > 0$)이다. 둘러싸인 도형의 넓이는
$$\begin{aligned}
S &= \int_{-c}^c \left\{ f(x) - \left(-\frac{1}{2}\right) \right\} dx = \int_{-c}^c \frac{5^x}{1+5^x}\,dx \\
&= \int_{-c}^0 \frac{5^x}{1+5^x}\,dx + \int_0^c \frac{5^x}{1+5^x}\,dx
\end{aligned}$$
첫 번째 적분에서 $t = -x$로 치환하면 $\int_{-c}^0 \frac{5^x}{1+5^x}\,dx = \int_0^c \frac{1}{1+5^t}\,dt$이므로
$$S = \int_0^c \left(\frac{1}{1+5^x} + \frac{5^x}{1+5^x}\right)dx = \int_0^c 1\,dx = c = 2$$
점 $(2, 2m)$이 $y = f(x)$ 위의 점이므로 $f(2) = \frac{25}{26} - \frac{1}{2} = \frac{6}{13} = 2m \implies \mathbf{m = \frac{3}{13}}$이다.
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수학Ⅱ · 미적분
기함수 대칭성 증명 · 도함수 극값과 교점 유일성 · 치환적분 넓이 계산
공식 채점기준
| 하위 문항 |
세부 채점 기준 및 감점 요소 |
배점 |
[2.1]
(10점) |
• $f(-x)$의 식을 분수 통분 및 정리하여 $\frac{1}{2} - \frac{5^x}{1+5^x}$로 유도한 경우 |
5점 |
| • $-f(x)$와의 일치성을 증명하여 원점 대칭임을 명확히 서술한 경우 |
5점 |
[2.2]
(10점) |
• $h(x) = f(x)-mx$의 도함수 $h'(x)$ 및 이계도함수 $h''(x) < 0$을 통해 $h'(x)$의 감소성을 보인 경우 |
4점 |
| • $h'(0) = \frac{1}{4}\ln 5 - m > 0$일 때 $x > 0$에서 실근 1개가 유일하게 존재함을 증명한 경우 |
3점 |
| • $m \ge \frac{1}{4}\ln 5$일 때 실근이 없음을 확인하고 최종 범위 $0 < m < \frac{1}{4}\ln 5$를 구한 경우 |
3점 |
[2.3]
(10점) |
• 대칭성에 의해 교점 좌표가 $a = -c$임을 확인하고 적분식 $S = \int_{-c}^c \frac{5^x}{1+5^x}dx$를 세운 경우 |
3점 |
| • 치환적분법을 적용하여 적분값이 $c$가 됨을 구하고, $S = 2 \implies c = 2$를 도출한 경우 |
4점 |
| • 점 $(2, 2m)$을 대입하여 $f(2) = 2m \implies m = \frac{3}{13}$을 정확히 계산한 경우 |
3점 |
💡 채점 위원 총평 및 수험생 유의사항:
• [2.2] 단순 직관이 아닌 $h''(x) < 0$을 이용한 도함수의 단조감소성 및 사잇값 성질을 수식으로 엄밀히 제시해야 만점 처리됩니다.
• [2.3] $\int_{-c}^c \frac{5^x}{1+5^x}dx$의 치환적분 대칭성($\frac{1}{1+5^x} + \frac{5^x}{1+5^x} = 1$)은 매우 빈출되는 고급 적분 기법입니다.
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수학 · 수학Ⅰ
코사인법칙과 거리 제곱합 · 이차함수 최솟값 부등식 · 삼각비 특수각
30점 / 100점
[그림] 원 위의 점 $P$와 $\triangle PAB$
[3.1] 코사인법칙을 이용한 $\overline{AP}^2, \overline{OP}^2$ 표현
점 $B\left(\frac{4}{3}, 0\right)$, $A\left(\frac{4}{3}-t, 0\right)$에서 $\overline{AB} = t$, $\overline{BP} = 1$, $\angle ABP = \theta$이다.
$\triangle PAB$에서 코사인법칙에 의해
$$\mathbf{\overline{AP}^2 = t^2 + 1 - 2t\cos\theta}$$
점 $O(0, 0)$에 대하여 $\overline{OB} = \frac{4}{3}$이므로 $\triangle POB$에서 코사인법칙에 의해
$$\begin{aligned}
\mathbf{\overline{OP}^2} &= \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1^2 - 2\left(\frac{4}{3}\right)(1)\cos\theta \\
&= \mathbf{\frac{25}{9} - \frac{8}{3}\cos\theta}
\end{aligned}$$
[3.2] 모든 점 $A$에 대한 $l_1 > l_2$ 성립 조건과 $\cos\theta$ 범위
$l_1 = \overline{PA}^2 + \overline{AB}^2 + \overline{BP}^2 = 2t^2 - 2t\cos\theta + 2$, $l_2 = \overline{OP}^2 + \frac{7}{9} = \frac{32}{9} - \frac{8}{3}\cos\theta$이다.
모든 $0 < t < \frac{4}{3}$에 대하여 $l_1 > l_2 \iff g(t) = t^2 - t\cos\theta + \frac{4}{3}\cos\theta - \frac{7}{9} > 0$이어야 한다.
꼭짓점 $t = \frac{1}{2}\cos\theta \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \subset \left(0, \frac{4}{3}\right)$이므로 최솟값 $g\left(\frac{1}{2}\cos\theta\right) > 0$이어야 한다.
$$\begin{aligned}
-\frac{1}{4}\cos^2\theta + \frac{4}{3}\cos\theta - \frac{7}{9} > 0 &\iff \cos^2\theta - \frac{16}{3}\cos\theta + \frac{28}{9} < 0 \\
&\iff \left(\cos\theta - \frac{2}{3}\right)\left(\cos\theta - \frac{14}{3}\right) < 0
\end{aligned}$$
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$에서 $\cos\theta < 1$이므로 구하는 범위는 $\mathbf{\frac{2}{3} < \cos\theta < 1}$이다.
[3.3] 주어진 특수각 판별
각 각에 대하여 $\cos\theta$의 값을 비교하면:
- $\theta = \frac{\pi}{6}$: $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 > \frac{2}{3} \approx 0.667$ (만족)
- $\theta = \frac{\pi}{4}$: $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 > \frac{2}{3} \approx 0.667$ (만족)
- $\theta = \frac{\pi}{3}$: $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0.5 < \frac{2}{3} \approx 0.667$ (불만족)
따라서 조건을 만족하는 $\theta$는 $\mathbf{\frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{4}}$이다.
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수학 · 수학Ⅰ
코사인법칙 거리 표현 · 이차부등식 최솟값 판별 · 특수각 대소 비교
공식 채점기준
| 하위 문항 |
세부 채점 기준 및 감점 요소 |
배점 |
[3.1]
(10점) |
• $\triangle PAB$에서 코사인법칙을 적용하여 $\overline{AP}^2 = t^2 + 1 - 2t\cos\theta$를 올바르게 구한 경우 |
5점 |
| • $\triangle POB$에서 코사인법칙을 적용하여 $\overline{OP}^2 = \frac{25}{9} - \frac{8}{3}\cos\theta$를 정확히 도출한 경우 |
5점 |
[3.2]
(10점) |
• $l_1$과 $l_2$의 식을 정리하여 $t$에 대한 2차 부등식 $t^2 - t\cos\theta + \frac{4}{3}\cos\theta - \frac{7}{9} > 0$을 구성한 경우 |
3점 |
| • 꼭짓점의 위치 $t = \frac{1}{2}\cos\theta \in \left(0, \frac{4}{3}\right)$을 확인하고 꼭짓점 최솟값 조건을 세운 경우 |
4점 |
| • $\cos\theta$에 대한 2차 부등식을 풀어 $\cos\theta < 1$과 함께 $\frac{2}{3} < \cos\theta < 1$을 구한 경우 |
3점 |
[3.3]
(10점) |
• $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$에 대한 $\cos\theta$의 삼각비 값을 정확히 제시한 경우 |
3점 |
| • $\frac{2}{3}$과의 대소 비교(또는 제곱값 $\frac{4}{9}$과의 비교)를 올바르게 수행한 경우 |
4점 |
| • 조건을 만족하는 각 $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}$를 최종 정답으로 모두 기재한 경우 |
3점 |
💡 채점 위원 총평 및 수험생 유의사항:
• [3.2] 구간 $0 < t < \frac{4}{3}$ 내에 이차함수의 대칭축이 항상 포함됨을 명시해야 논리적 비약에 따른 감점을 피할 수 있습니다.
• [3.3] 무리수 $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$과 유리수 $\frac{2}{3} \approx 0.667$의 대소 판별 과정을 명확히 밝혀야 합니다.
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수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분
이차방정식 근과 계수 · 삼각함수 기본성질 · 사차함수 미분과 극값 · 지수함수 정적분
34점 / 100점
[1.1] $\sin\theta, \cos\theta$는 이차방정식 $f(x) = kx^2 - (k+4)x + k + 2 = 0$의 두 실근이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여:
$$\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+4}{k}, \quad \sin\theta\cos\theta = \frac{k+2}{k}$$
$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$이므로:
$$\begin{aligned}
\frac{(k+4)^2}{k^2} &= 1 + \frac{2(k+2)}{k} \implies \frac{k^2+8k+16}{k^2} = \frac{k+2k+4}{k} \\
&\implies k^2 + 8k + 16 = 3k^2 + 4k
\end{aligned}$$
양변에 $k^2$을 곱하여 정리하면:
$$\begin{aligned}
k^2 + 8k + 16 &= k^2 + 2k(k+2) \\
&\implies k^2 - 2k - 8 = 0 \implies (k-4)(k+2) = 0
\end{aligned}$$
따라서 $k = 4$ 또는 $k = -2$이다.
① $k = 4$일 때: $f(x) = 4x^2 - 8x + 6 = 4(x-1)^2 + 2 > 0$이므로 $x$축과의 교점(실근)이 존재하지 않는다.
② $k = -2$일 때: $f(x) = -2x^2 - 2x = -2x(x+1)$이므로 $y = f(x)$와 $x$축의 교점의 좌표는 $(0,0), (-1,0)$이다.
따라서 $\{\sin\theta, \cos\theta\} = \{0, -1\}$이다. $0 < \theta < 2\pi$의 범위에서:
$$\sin\theta = 0, \; \cos\theta = -1 \implies \theta = \pi$$
$$\sin\theta = -1, \; \cos\theta = 0 \implies \theta = \frac{3\pi}{2}$$
따라서 구하는 모든 $\theta$값들의 합은:
$$\pi + \frac{3\pi}{2} = \mathbf{\frac{5\pi}{2}}$$
[1.2] $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수이므로 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $4$인 삼차함수이다.
조건 (가) $f'(-x) = -f'(x)$에 의해 $f'(x)$는 원점에 대하여 대칭인 기함수이므로, 짝수차수 항(이차항 및 상수항)의 계수는 $0$이다. 따라서:
$$f'(x) = 4x^3 + ax$$
조건 (나)에 의해 $f(x)$는 $x = 2$에서 극값을 가지므로 $f'(2) = 0$이다:
$$f'(2) = 4(2)^3 + 2a = 32 + 2a = 0 \implies a = -16$$
따라서 $f'(x) = 4x^3 - 16x$이다. 이를 적분하면:
$$f(x) = \int (4x^3 - 16x)\,dx = x^4 - 8x^2 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
다시 조건 (나)에 의해 $f(2) = -13$이므로:
$$f(2) = 2^4 - 8(2^2) + C = 16 - 32 + C = -16 + C = -13 \implies C = 3$$
따라서 구하는 함수는 $\mathbf{f(x) = x^4 - 8x^2 + 3}$이다.
[1.3] 밑면으로부터 높이가 $x$ ($0 \le x \le 1$)인 지점에서의 단면은 가로 $2^x$, 세로 $x+1$인 직사각형이므로 단면의 넓이 $S(x)$는 $(x+1)2^x$이다.
따라서 입체도형의 부피 $V$는 부분적분법에 의해:
$$\begin{aligned}
V &= \int_0^1 (x+1)2^x\,dx = \left[ (x+1)\frac{2^x}{\ln 2} \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2^x}{\ln 2}\,dx \\
&= \frac{3}{\ln 2} - \left[ \frac{2^x}{(\ln 2)^2} \right]_0^1 = \frac{3}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2} = \mathbf{\frac{3\ln 2 - 1}{(\ln 2)^2}}
\end{aligned}$$
총 배점: 34점
문항 1.1 (12점) · 문항 1.2 (10점) · 문항 1.3 (12점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 1.1 |
$\sin\theta, \cos\theta$는 이차방정식 $f(x)=0$의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의해 $\sin\theta+\cos\theta = \frac{k+4}{k}, \sin\theta\cos\theta = \frac{k+2}{k}$를 도출하고, $(\sin\theta+\cos\theta)^2 = 1+2\sin\theta\cos\theta$를 이용하여 $\frac{(k+4)^2}{k^2} = 1+\frac{2(k+2)}{k} \implies (k-4)(k+2)=0$을 올바르게 구한 경우
|
6점 |
|
$k=4$일 때 $f(x) > 0$으로 실근이 존재하지 않음을 확인하고, $k=-2$일 때 교점의 좌표 $(0,0), (-1,0)$으로부터 $\sin\theta=0, \cos\theta=-1 \implies \theta=\pi$, $\sin\theta=-1, \cos\theta=0 \implies \theta=\frac{3\pi}{2}$를 각각 구하여 모든 $\theta$값들의 합 $\frac{5\pi}{2}$를 정확히 구한 경우
|
6점 |
| 1.2 |
$f(x)$가 최고차항 계수 $1$인 사차함수이고 조건 (가) $f'(-x)=-f'(x)$에 의해 $f'(x)$가 기함수임을 파악하여 $f'(x) = 4x^3+ax$로 올바르게 설정한 경우
|
6점 |
|
조건 (나)에 의해 $f'(2)=32+2a=0 \implies a=-16$을 구하여 $f'(x)=4x^3-16x$를 얻고, 이를 적분하여 $f(x)=x^4-8x^2+C$를 세운 후 $f(2)=-16+C=-13 \implies C=3$을 도출하여 $f(x)=x^4-8x^2+3$을 완벽히 구한 경우
|
4점 |
| 1.3 |
단면의 넓이 $S(x)=(x+1)2^x$를 세우고 부피 정적분 식 $V = \int_0^1 (x+1)2^x\,dx$에 부분적분법을 적용하여 $\left[(x+1)\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2^x}{\ln 2}\,dx$의 형태로 올바르게 전개한 경우
|
3점 |
|
부정적분 $\int \frac{2^x}{\ln 2}\,dx = \frac{2^x}{(\ln 2)^2}$를 계산하여 $\left[\frac{3}{\ln 2} - \frac{1}{(\ln 2)^2}\right]$ 과정을 거쳐 최종 부피 $\frac{3\ln 2 - 1}{(\ln 2)^2}$을 정확히 계산한 경우
|
9점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 1.1에서 $k=4$와 $k=-2$ 중 $k=4$일 때 판별식 $D < 0$ (또는 완전제곱식 변형)으로 실근이 존재하지 않음을 반드시 논증해야 감점을 방지할 수 있습니다.
• 문항 1.3의 지수함수 정적분 시 밑이 $2$인 지수함수의 적분 공식 $\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2}$과 부분적분 전개 과정을 누락 없이 명시해야 만점이 부여됩니다.
수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분
무리함수 대칭이동 최단거리 · 접선의 방정식과 교점 · 직각삼각형 탄젠트 · 코사인법칙
33점 / 100점
[2.1] 점 $A(t, \sqrt{t})$를 $x$축에 대하여 대칭이동하여 얻은 점을 $A'(t, -\sqrt{t})$라 하자.
$x$축 위의 임의의 점 $P$에 대하여 $\overline{AP} = \overline{A'P}$이므로 삼각형 $APB$의 둘레의 길이는:
$$\begin{aligned}
\overline{AP} + \overline{PB} + \overline{AB} &= \overline{A'P} + \overline{PB} + \overline{AB} \\
&\ge \overline{A'B} + \overline{AB}
\end{aligned}$$
등호는 점 $P$가 선분 $A'B$와 $x$축의 교점일 때 성립하므로, 둘레가 최소가 되는 점 $P$의 $x$좌표는 두 점 $A'(t, -\sqrt{t})$와 $B(9t, 3\sqrt{t})$를 지나는 직선의 $x$절편이다.
직선 $A'B$의 기울기는 $\frac{3\sqrt{t} - (-\sqrt{t})}{9t - t} = \frac{4\sqrt{t}}{8t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}$이므로 직선의 방정식은:
$$\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2\sqrt{t}}(x - t) - \sqrt{t} \\
&= \frac{1}{2\sqrt{t}}x - \frac{3\sqrt{t}}{2}
\end{aligned}$$
$y=0$을 대입하면 $\frac{1}{2\sqrt{t}}x = \frac{3\sqrt{t}}{2} \implies x = 3t$. 따라서 점 $P$의 $x$좌표는 $\mathbf{3t}$이다.
[2.2] $f(x) = \sqrt{x}$라 놓으면 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$이다.
① 점 $A(t, \sqrt{t})$에서의 접선 $l_1$의 방정식: $y - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(x - t) \implies y = \frac{1}{2\sqrt{t}}x + \frac{\sqrt{t}}{2}$
② 점 $B(9t, 3\sqrt{t})$에서의 접선 $l_2$의 방정식: $y - 3\sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{9t}}(x - 9t) = \frac{1}{6\sqrt{t}}(x - 9t) \implies y = \frac{1}{6\sqrt{t}}x + \frac{3\sqrt{t}}{2}$
두 접선의 방정식을 연립하면:
$$\begin{aligned}
\left(\frac{1}{2\sqrt{t}} - \frac{1}{6\sqrt{t}}\right)x &= \frac{3\sqrt{t}}{2} - \frac{\sqrt{t}}{2} \\
&\implies \frac{1}{3\sqrt{t}}x = \sqrt{t} \implies x = 3t
\end{aligned}$$
이때 $y = \frac{1}{2\sqrt{t}}(3t) + \frac{\sqrt{t}}{2} = 2\sqrt{t}$이므로 두 접선의 교점 $Q$의 좌표는 $(3t, 2\sqrt{t})$이다.
점 $P(3t, 0)$과 점 $Q(3t, 2\sqrt{t})$의 $x$좌표가 $3t$로 일치하므로 선분 $PQ$는 $x$축에 수직이다. 따라서 삼각형 $PQO$는 $\angle\mathrm{OPQ} = 90^\circ$인 직각삼각형이다.
선분의 길이는 $\overline{OP} = 3t$, $\overline{PQ} = 2\sqrt{t}$이므로:
$$\begin{aligned}
\tan(\angle\mathrm{PQO}) &= \frac{\overline{OP}}{\overline{PQ}} = \frac{3t}{2\sqrt{t}} = \mathbf{\frac{3\sqrt{t}}{2}}
\end{aligned}$$
[2.3] $\cos\theta + \frac{1}{\cos\theta} = -\frac{10}{3}$의 양변에 $3\cos\theta$를 곱하면:
$$3\cos^2\theta + 10\cos\theta + 3 = (3\cos\theta + 1)(\cos\theta + 3) = 0$$
$-1 \le \cos\theta \le 1$이므로 $\cos\theta = -\frac{1}{3}$이다.
삼각형 $APB$의 세 꼭짓점 $A(t, \sqrt{t}), B(9t, 3\sqrt{t}), P(3t, 0)$에 대하여 세 변의 길이를 구하면:
$$\overline{AP} = \sqrt{(3t - t)^2 + (0 - \sqrt{t})^2} = \sqrt{4t^2 + t} = \sqrt{t(4t+1)}$$
$$\overline{BP} = \sqrt{(9t - 3t)^2 + (3\sqrt{t} - 0)^2} = \sqrt{36t^2 + 9t} = 3\sqrt{t(4t+1)}$$
$$\overline{AB} = \sqrt{(9t - t)^2 + (3\sqrt{t} - \sqrt{t})^2} = \sqrt{64t^2 + 4t} = 2\sqrt{t(16t+1)}$$
삼각형 $APB$에서 코사인법칙에 의하여:
$$\begin{aligned}
\cos\theta &= \frac{\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 - \overline{AB}^2}{2\cdot\overline{AP}\cdot\overline{BP}} = \frac{(4t^2+t) + (36t^2+9t) - (64t^2+4t)}{6t(4t+1)} \\
&= \frac{6t - 24t^2}{6t(4t+1)} = \mathbf{\frac{1 - 4t}{1 + 4t}}
\end{aligned}$$
따라서 $\frac{1 - 4t}{1 + 4t} = -\frac{1}{3} \implies 3(1 - 4t) = -(1 + 4t) \implies 3 - 12t = -1 - 4t \implies 8t = 4 \implies \mathbf{t = \frac{1}{2}}$이다.
총 배점: 33점
문항 2.1 (8점) · 문항 2.2 (12점) · 문항 2.3 (13점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 2.1 |
대칭점 $A'(t, -\sqrt{t})$를 도입하여 삼각형 둘레가 최소가 되는 점 $P$가 직선 $A'B$와 $x$축의 교점임을 설명하고, 직선의 방정식 $y = \frac{1}{2\sqrt{t}}x - \frac{3\sqrt{t}}{2}$를 올바르게 구한 경우
|
4점 |
|
직선의 방정식에 $y=0$을 대입하여 점 $P$의 $x$좌표 $3t$를 정확히 구한 경우
|
4점 |
| 2.2 |
무리함수의 도함수 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$를 이용하여 두 접선 $l_1, l_2$의 방정식을 구하고 연립하여 교점 $Q$의 좌표 $(3t, 2\sqrt{t})$를 정확히 도출한 경우
|
4점 |
|
삼각형 $PQO$가 $\angle\mathrm{OPQ} = 90^\circ$인 직각삼각형임을 확인하고 $\tan(\angle\mathrm{PQO}) = \frac{\overline{OP}}{\overline{PQ}} = \frac{3t}{2\sqrt{t}} = \frac{3\sqrt{t}}{2}$를 올바르게 도출한 경우
|
8점 |
| 2.3 |
$\cos\theta + \frac{1}{\cos\theta} = -\frac{10}{3}$의 이차방정식을 풀어 $-1 \le \cos\theta \le 1$로부터 $\cos\theta = -\frac{1}{3}$을 올바르게 구하고 세 변의 길이 $\overline{AP}, \overline{BP}, \overline{AB}$를 $t$에 대한 식으로 표현한 경우
|
8점 |
|
코사인법칙 $\cos\theta = \frac{\overline{AP}^2+\overline{BP}^2-\overline{AB}^2}{2\overline{AP}\cdot\overline{BP}} = \frac{1-4t}{1+4t}$를 세우고 $\frac{1-4t}{1+4t} = -\frac{1}{3}$의 일차방정식을 풀어 $t = \frac{1}{2}$을 정확히 구한 경우
|
5점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 2.2에서 점 $P$와 점 $Q$의 $x$좌표가 모두 $3t$로 일치하여 선분 $PQ$가 $x$축에 수직($\angle\mathrm{OPQ}=90^\circ$)임을 확인하는 단계가 탄젠트 정의 적용의 핵심 논리 근거입니다.
• 문항 2.3의 코사인법칙 식 전개 시 분자·분모에서 $6t(4t+1)$ 공통인수가 깔끔하게 약분되어 $\frac{1-4t}{1+4t}$로 단순화되는 과정을 명확히 보여주는 것이 중요합니다.
수학 · 수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분
매개변수 함수와 동심원 교점 · 속력과 정적분 이동거리 · 삼각함수 적분과 무한등비급수
33점 / 100점
[3.1] 시각 $t$에서 점 $P(e^{2t}\cos t, e^{2t}\sin t)$와 원점 사이의 거리는:
$$\overline{OP} = \sqrt{(e^{2t}\cos t)^2 + (e^{2t}\sin t)^2} = \sqrt{e^{4t}(\cos^2 t + \sin^2 t)} = e^{2t}$$
$t=0$에서 $t=\pi$까지 점 $P$가 움직이므로, 원점과의 거리 $\overline{OP}$는 $e^0 = 1$에서 $e^{2\pi}$까지 단조증가한다.
중심이 원점이고 반지름이 $3^n$ ($n$은 자연수)인 동심원과 만나기 위해서는 $1 \le 3^n \le e^{2\pi}$이어야 하므로, 만난 원의 개수 $N$은 $3^N \le e^{2\pi}$를 만족하는 최대 자연수이다.
양변에 자연로그를 취하면 $N\ln 3 \le 2\pi \implies N \le \frac{2\pi}{\ln 3}$이다.
주어진 조건 $1.09 < \ln 3 < 1.10$ 및 $\pi \approx 3.14159$에 대하여:
$$\frac{2\pi}{1.10} < \frac{2\pi}{\ln 3} < \frac{2\pi}{1.09}$$
여기서 $\frac{2\pi}{1.10} > \frac{6.28}{1.10} \approx 5.709 > 5$, $\frac{2\pi}{1.09} < \frac{6.29}{1.09} \approx 5.771 < 6$이므로:
$$5 < \frac{2\pi}{\ln 3} < 6$$
따라서 부등식을 만족하는 최대 자연수 $N$의 값은 $\mathbf{N = 5}$이다.
[3.2] $N = 5$이므로 점 $P$가 마지막으로 만난 원의 반지름의 길이는 $3^5 = 243$이다.
이때의 시각을 $t_1$이라 하면 $e^{2t_1} = 3^5 \implies 2t_1 = 5\ln 3 \implies t_1 = \frac{5\ln 3}{2}$이다.
매개변수로 주어진 점 $P(x(t), y(t))$의 도함수를 구하면:
$$\frac{dx}{dt} = 2e^{2t}\cos t - e^{2t}\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 2e^{2t}\sin t + e^{2t}\cos t$$
속력은:
$$\begin{aligned}
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} &= \sqrt{\{(2\cos t - \sin t)^2 + (2\sin t + \cos t)^2\}e^{4t}} \\
&= \sqrt{5(\cos^2 t + \sin^2 t)e^{4t}} = \mathbf{\sqrt{5}e^{2t}}
\end{aligned}$$
따라서 $t=0$부터 $t=\frac{5\ln 3}{2}$까지 점 $P$가 움직인 거리 $s$는:
$$\begin{aligned}
s &= \int_0^{\frac{5\ln 3}{2}} \sqrt{5}e^{2t}\,dt = \left[ \frac{\sqrt{5}}{2}e^{2t} \right]_0^{\frac{5\ln 3}{2}} \\
&= \frac{\sqrt{5}}{2}\left( e^{5\ln 3} - e^0 \right) = \frac{\sqrt{5}}{2}(243 - 1) = \mathbf{121\sqrt{5}}
\end{aligned}$$
[3.3] 정적분을 계산하면:
$$\begin{aligned}
\int_{k-1}^k \pi\sin(\pi x)\,dx &= [-\cos(\pi x)]_{k-1}^k = -\cos(k\pi) + \cos((k-1)\pi) \\
&= -(-1)^k + (-1)^{k-1} = 2(-1)^{k-1}
\end{aligned}$$
$N = 5$이므로 주어진 급수에 대입하면:
$$\begin{aligned}
\sum_{k=5}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \int_{k-1}^k \pi\sin(\pi x)\,dx &= \sum_{k=5}^{\infty} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot 2(-1)^{k-1} \\
&= 2 \sum_{k=5}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = \sum_{k=5}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2}
\end{aligned}$$
이 급수는 첫째항이 $\left(\frac{1}{2}\right)^{5-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$이고 공비가 $\frac{1}{2}$인 무한등비급수이므로:
$$\begin{aligned}
\sum_{k=5}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2} &= \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \mathbf{\frac{1}{4}}
\end{aligned}$$
총 배점: 33점
문항 3.1 (10점) · 문항 3.2 (13점) · 문항 3.3 (10점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 3.1 |
원점과 점 $P$ 사이의 거리 $\overline{OP} = e^{2t}$를 구하고 $t=\pi$일 때의 거리 $e^{2\pi}$가 동심원 반지름 $3^N$ 이상이 되는 조건 $3^N \le e^{2\pi}$를 수식화한 경우
|
5점 |
|
$N \le \frac{2\pi}{\ln 3}$과 주어진 조건 $1.09 < \ln 3 < 1.10$을 활용하여 $5 < \frac{2\pi}{\ln 3} < 6$임을 증명하고 최대 자연수 $N = 5$를 정확히 구한 경우
|
5점 |
| 3.2 |
점 $P$가 마지막 동심원(반지름 $3^5$)과 만나는 시각 $e^{2t} = 3^5 \implies t = \frac{5\ln 3}{2}$을 올바르게 구한 경우
|
4점 |
|
속력 $\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} = \sqrt{5}e^{2t}$를 도출하고 정적분 $\int_0^{\frac{5\ln 3}{2}} \sqrt{5}e^{2t}\,dt = \frac{\sqrt{5}}{2}(243-1) = 121\sqrt{5}$를 정확히 계산한 경우
|
9점 |
| 3.3 |
정적분 $\int_{k-1}^k \pi\sin(\pi x)\,dx = 2(-1)^{k-1}$을 올바르게 계산하여 급수의 일반항 $\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \cdot 2(-1)^{k-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-2}$를 정확히 유도한 경우
|
5점 |
|
$N = 5$를 대입하여 첫째항 $\frac{1}{8}$, 공비 $\frac{1}{2}$인 무한등비급수의 합 공식 $\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}$을 완벽히 계산한 경우
|
5점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 3.1에서 $\frac{2\pi}{\ln 3}$의 범위를 구할 때 $\pi \approx 3.14159$와 부등식 $\frac{2\pi}{1.10} < \frac{2\pi}{\ln 3} < \frac{2\pi}{1.09}$의 수치 범위를 명확히 제시해야 감점이 없습니다.
• 문항 3.3의 부호 처리에서 $\left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} \times (-1)^{k-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}$로 정리되는 지수법칙 과정을 정확히 명시하는 것이 중요합니다.
수학 · 수학Ⅰ · 미적분
도형의 이동과 공통접선 · 지수함수 역함수 교점 · 삼각함수 치환 미분과 최솟값
34점 / 100점
[1.1] $y = f(x) = \frac{1}{4}x^2 + x + 3$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동하면 $y = -f(x)$이고, 이를 다시 $x$축의 방향으로 $2$만큼 평행이동한 그래프 $y = g(x)$의 식은:
$$\begin{aligned}
g(x) &= -\left\{ \frac{1}{4}(x-2)^2 + (x-2) + 3 \right\} \\
&= -\left( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 + x - 2 + 3 \right) = -\frac{1}{4}x^2 - 2
\end{aligned}$$
두 포물선에 동시에 접하는 직선을 $y = ax + b$라 하자.
① $y = ax + b$와 $y = f(x)$를 연립하면 $\frac{1}{4}x^2 + (1-a)x + (3-b) = 0$이고, 접하므로 판별식 $D_1 = 0$이어야 한다:
$$\begin{aligned}
D_1 &= (1-a)^2 - 4\cdot\frac{1}{4}\cdot(3-b) \\
&= a^2 - 2a + 1 - 3 + b = a^2 - 2a - 2 + b = 0 \quad \cdots\text{ ㉠}
\end{aligned}$$
② $y = ax + b$와 $y = g(x)$를 연립하면 $-\frac{1}{4}x^2 - ax - 2 - b = 0$이고, 접하므로 판별식 $D_2 = 0$이어야 한다:
$$\begin{aligned}
D_2 &= (-a)^2 - 4\left(-\frac{1}{4}\right)(-2-b) \\
&= a^2 - (2+b) = a^2 - 2 - b = 0 \quad \cdots\text{ ㉡}
\end{aligned}$$
㉠과 ㉡을 더하면 $2a^2 - 2a - 4 = 0 \implies a^2 - a - 2 = (a+1)(a-2) = 0$이므로 $a = -1$ 또는 $a = 2$이다.
㉡에서 $b = a^2 - 2$이므로 $a = -1$일 때 $b = -1$, $a = 2$일 때 $b = 2$이다.
따라서 구하는 공통접선의 방정식은 $\mathbf{y = -x - 1}$ 또는 $\mathbf{y = 2x + 2}$이다.
[1.2] $f(x) = a^x + b$ ($a > 0$)의 그래프와 그 역함수 $y = f^{-1}(x)$의 그래프가 만나는 두 점의 $x$좌표가 각각 $1, 2$이다.
만약 $0 < a < 1$이면 $f(x)$는 감소함수이므로 교점은 직선 $y = -x + k$ 위에 대칭으로 존재하여 교점이 $(1, 2), (2, 1)$이어야 한다. 즉 $f(1) = a + b = 2, f(2) = a^2 + b = 1$이 되어 연립하면 $a^2 - a + 1 = 0$이 되나, 판별식 $D = 1 - 4 = -3 < 0$이므로 이를 만족하는 실수 $a$는 존재하지 않는다.
따라서 $a > 1$이며, $f(x)$는 증가함수이므로 교점은 반드시 직선 $y = x$ 위에 존재한다. 즉 교점의 좌표는 $(1, 1), (2, 2)$이다.
따라서 $f(1) = a + b = 1$, $f(2) = a^2 + b = 2$가 성립한다. 두 식을 빼면:
$$a^2 - a = 1 \implies a^2 - a - 1 = 0 \implies a = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
$a > 0$이므로 $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$이고, $b = 1 - a = 1 - \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$이다.
따라서 구하는 값은 $a - b = \frac{1+\sqrt{5}}{2} - \frac{1-\sqrt{5}}{2} = \mathbf{\sqrt{5}}$이다.
[1.3] $\tan\theta = x$로 치환하면 $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$에서 $-1 \le x \le 1$이다.
주어진 함수는 $g(x) = \frac{x^2 + 2}{2 - x}$이고, 몫의 미분법을 적용하면:
$$\begin{aligned}
g'(x) &= \frac{2x(2-x) - (x^2+2)(-1)}{(2-x)^2} \\
&= \frac{4x - 2x^2 + x^2 + 2}{(2-x)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 2}{(2-x)^2}
\end{aligned}$$
$g'(x) = 0$에서 $-x^2 + 4x + 2 = 0 \implies x^2 - 4x - 2 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{6}$이다.
구간 $[-1, 1]$에 속하는 임계점은 $x = 2 - \sqrt{6}$이다. ($\because \sqrt{6} \approx 2.449 \implies 2 - \sqrt{6} \approx -0.449 \in [-1, 1]$)
경계값과 극값을 비교하면:
$$g(-1) = \frac{1+2}{2-(-1)} = 1, \quad g(1) = \frac{1+2}{2-1} = 3$$
$$\begin{aligned}
g(2-\sqrt{6}) &= \frac{(2-\sqrt{6})^2 + 2}{2 - (2-\sqrt{6})} = \frac{12 - 4\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\
&= \frac{12\sqrt{6} - 24}{6} = \mathbf{2\sqrt{6} - 4}
\end{aligned}$$
$2\sqrt{6} - 4 \approx 4.899 - 4 = 0.899 < 1$이므로 함수 $f(\theta)$의 최솟값은 $\mathbf{2\sqrt{6} - 4}$이다.
총 배점: 34점
문항 1.1 (12점) · 문항 1.2 (10점) · 문항 1.3 (12점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 1.1 |
대칭 및 평행이동을 적용하여 $g(x) = -\frac{1}{4}x^2 - 2$를 정확히 구한 경우
|
4점 |
|
직선 $y = ax + b$와의 연립 이차방정식 판별식 $D_1 = a^2 - 2a - 2 + b = 0$, $D_2 = a^2 - 2 - b = 0$을 세우고 연립하여 $a = -1, b = -1$ 및 $a = 2, b = 2$를 구해 두 공통접선 $y = -x - 1, y = 2x + 2$를 완벽히 도출한 경우
|
8점 |
| 1.2 |
$0 < a < 1$일 때 실수해가 존재하지 않음을 논증하여 $a > 1$임을 보이고, 교점이 직선 $y = x$ 위에 존재함을 밝혀 연립방정식 $a + b = 1, a^2 + b = 2$를 도출한 경우
|
4점 |
|
이차방정식 $a^2 - a - 1 = 0$을 풀어 $a > 0$으로부터 $a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, b = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$를 구하고 최종 $a - b = \sqrt{5}$를 정확히 계산한 경우
|
6점 |
| 1.3 |
$\tan\theta = x$ ($-1 \le x \le 1$)로 치환하여 $g(x) = \frac{x^2+2}{2-x}$를 세우고 몫의 미분법으로 $g'(x) = \frac{-x^2+4x+2}{(2-x)^2} = 0$의 해 $x = 2 - \sqrt{6}$을 구한 경우
|
8점 |
|
구간 양 끝값 $g(-1) = 1, g(1) = 3$과 극솟값 $g(2-\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} - 4$를 비교하여 최솟값 $2\sqrt{6} - 4$를 올바르게 결정한 경우
|
4점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 1.2에서 지수함수의 밑 $a$가 $0 < a < 1$인 경우와 $a > 1$인 경우를 구분하여, 역함수 교점이 $y = x$ 위에 위치하는 이유를 수식으로 명확히 검증해야 만점이 부여됩니다.
• 문항 1.3에서 치환된 변수 $x = \tan\theta$의 변역 $[-1, 1]$을 정확히 표기하고 극솟값 $2\sqrt{6}-4$가 구간 내 최솟값임을 경계값과의 대소 비교로 증명해야 감점을 방지할 수 있습니다.
수학 · 수학Ⅰ
조합과 경우의 수 · 격자점 사각형 개수와 넓이 · 수학적 귀납법 증명
33점 / 100점
[2.1] $n = 9$일 때 넓이가 $1$인 정사각형은 가로 $9$등분, 세로 $9$등분되어 가로 방향의 평행선 $10$개와 세로 방향의 평행선 $10$개로 이루어져 있다.
이 선분들로 만들어지는 직사각형(정사각형 포함)은 가로 평행선 $10$개 중 서로 다른 $2$개를 선택하고, 세로 평행선 $10$개 중 서로 다른 $2$개를 선택하여 결정된다.
따라서 찾을 수 있는 서로 다른 사각형의 총 개수는:
$$_{10}\mathrm{C}_2 \times {}_{10}\mathrm{C}_2 = \frac{10 \times 9}{2} \times \frac{10 \times 9}{2} = 45 \times 45 = \mathbf{2025}$$
[2.2] $n = 9$일 때 한 변의 길이가 $\frac{1}{9}$인 가장 작은 정사각형의 넓이는 $a_9 = \frac{1}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{81}$이다.
두 번째로 작은 사각형은 가로 $\frac{1}{9}$, 세로 $\frac{2}{9}$ (또는 가로 $\frac{2}{9}$, 세로 $\frac{1}{9}$)인 직사각형이므로 넓이는 $\frac{1}{9} \times \frac{2}{9} = \frac{2}{81}$이다.
한편 $n = 8$일 때 가장 작은 사각형의 넓이는 $a_8 = \frac{1}{8} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{64}$이다.
두 넓이를 비교하면 $\frac{2}{81} - \frac{1}{64} = \frac{128 - 81}{81 \times 64} = \frac{47}{5184} > 0$이므로:
$$\frac{2}{81} > a_8 = \frac{1}{64} > a_9 = \frac{1}{81}$$
따라서 $n = 9$에서 찾을 수 있는 사각형 중 넓이가 $a_8$ 이하인 사각형은 오직 넓이가 $a_9 = \frac{1}{81}$인 사각형(한 칸짜리 정사각형)뿐이다.
넓이가 $a_9$인 사각형의 개수는 가로 $9$칸, 세로 $9$칸이므로 총 $9 \times 9 = 81$개이다.
따라서 구하는 넓이가 $a_8$보다 큰 사각형의 개수는 문항 [2.1]의 전체 사각형 개수에서 $81$을 뺀:
$$2025 - 81 = \mathbf{1944}$$
[2.3] $n = k$일 때 가장 작은 사각형의 넓이는 $a_k = \frac{1}{k^2}$이다. $n = m$일 때 가장 넓이가 큰 사각형은 전체 정사각형(넓이 $1$)이고, 두 번째로 넓이가 큰 사각형은 가로 $1$, 세로 $1 - \frac{1}{m}$ (또는 가로 $1 - \frac{1}{m}$, 세로 $1$)인 사각형이므로 넓이는 $1 - \frac{1}{m}$이다.
따라서 증명하고자 하는 명제 $p(m)$은 다음과 같다:
$$\begin{aligned}
p(m): 1 - \frac{1}{m} &> \sum_{k=2}^m a_k = \sum_{k=2}^m \frac{1}{k^2} \\
&= \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{m^2} \quad (m \ge 2)
\end{aligned}$$
수학적 귀납법으로 증명하자.
(i) $m = 2$일 때: 좌변 $= 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, 우변 $= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$이므로 $p(2)$는 성립한다.
(ii) $m = l$ ($l \ge 2$)일 때 $p(l)$이 성립한다고 가정하면:
$$1 - \frac{1}{l} > \sum_{k=2}^l \frac{1}{k^2}$$
양변에 $\frac{1}{(l+1)^2}$을 더하면:
$$1 - \frac{1}{l} + \frac{1}{(l+1)^2} > \sum_{k=2}^{l+1} \frac{1}{k^2}$$
여기서 $1 - \frac{1}{l} + \frac{1}{(l+1)^2} = 1 - \frac{(l+1)^2 - l}{l(l+1)^2} = 1 - \frac{l^2 + l + 1}{l(l+1)^2}$이다.
이때 $\frac{l^2 + l + 1}{l(l+1)^2} > \frac{l^2 + l}{l(l+1)^2} = \frac{l(l+1)}{l(l+1)^2} = \frac{1}{l+1}$이므로:
$$\begin{aligned}
1 - \frac{1}{l+1} &> 1 - \frac{l^2 + l + 1}{l(l+1)^2} \\
&> \sum_{k=2}^{l+1} \frac{1}{k^2}
\end{aligned}$$
따라서 $m = l+1$일 때도 명제 $p(l+1)$이 성립한다.
(i), (ii)에 의하여 $m \ge 2$인 모든 자연수 $m$에 대하여 명제 $p(m)$이 성립한다. $\blacksquare$
총 배점: 33점
문항 2.1 (9점) · 문항 2.2 (9점) · 문항 2.3 (15점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 2.1 |
가로 평행선 $10$개 중 $2$개, 세로 평행선 $10$개 중 $2$개를 선택하는 조합 공식 $_{10}\mathrm{C}_2 \times {}_{10}\mathrm{C}_2 = 45 \times 45 = 2025$를 완벽히 도출한 경우
|
9점 |
| 2.2 |
$a_9 = \frac{1}{81}, a_8 = \frac{1}{64}$ 및 두 번째로 작은 사각형의 넓이 $\frac{2}{81}$를 구하고, $\frac{2}{81} > \frac{1}{64}$임을 비교하여 $a_8$ 이하인 사각형이 한 칸짜리 정사각형($a_9$)뿐임을 밝힌 경우
|
3점 |
|
한 칸짜리 정사각형의 개수가 $9 \times 9 = 81$개임을 구하고 전체 $2025$개에서 $81$개를 차감하여 $2025 - 81 = 1944$를 정확히 계산한 경우
|
6점 |
| 2.3 |
두 번째로 넓이가 큰 사각형의 넓이가 $1 - \frac{1}{m}$임을 도출하고 증명할 부등식 $1 - \frac{1}{m} > \sum_{k=2}^m \frac{1}{k^2}$을 올바르게 설정한 경우
|
4점 |
|
초기값 $m = 2$일 때 $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > \frac{1}{4}$로 성립함을 확인한 경우
|
4점 |
|
$m = l$일 때의 귀납 가정을 바탕으로 $1 - \frac{1}{l} + \frac{1}{(l+1)^2} = 1 - \frac{l^2+l+1}{l(l+1)^2} < 1 - \frac{1}{l+1}$의 대소 관계를 정확히 증명하여 $m = l+1$에서의 성립을 완벽히 보인 경우
|
7점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 2.2에서 두 번째로 작은 직사각형의 넓이 $\frac{2}{81}$가 $a_8 = \frac{1}{64}$보다 큼을 보여주어 배제 대상이 오직 $a_9$뿐임을 논증하는 단계가 배점의 핵심 포인트입니다.
• 문항 2.3의 수학적 귀납법 증명 시 $\frac{l^2+l+1}{l(l+1)^2} > \frac{l(l+1)}{l(l+1)^2} = \frac{1}{l+1}$의 부등식 변형 과정을 비약 없이 명확히 서술해야 만점이 부여됩니다.
미적분
지수·삼각함수 부정적분과 부분적분 · 곡선과 직선 둘러싸인 넓이 · 정적분과 급수 극한
33점 / 100점
[3.1] 부정적분 $I = \int 2e^x\sin x\,dx$에 부분적분법($u = 2\sin x, v' = e^x$)을 적용하면 $I = 2e^x\sin x - \int 2e^x\cos x\,dx$이다.
다시 $\int 2e^x\cos x\,dx$에 부분적분법($u = 2\cos x, v' = e^x$)을 적용하면:
$$\int 2e^x\cos x\,dx = 2e^x\cos x - \int 2e^x(-\sin x)\,dx = 2e^x\cos x + I$$
대입하면 $I = 2e^x\sin x - (2e^x\cos x + I) \implies 2I = 2e^x(\sin x - \cos x) + C_0$
따라서 구하는 부정적분은 $\mathbf{\int 2e^x\sin x\,dx = e^x(\sin x - \cos x) + C} \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$이다.
[3.2] $e^x > 0$이므로 $[2n\pi, (2n+1)\pi]$에서 $2e^x\sin x \ge 0$, $[(2n+1)\pi, (2n+2)\pi]$에서 $2e^x\sin x \le 0$이다.
따라서 곡선과 $x$축 및 두 직선 $x = 2n\pi, x = (2n+2)\pi$로 둘러싸인 도형의 넓이 $A_n$은:
$$A_n = \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} 2e^x\sin x\,dx - \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} 2e^x\sin x\,dx$$
원시함수 $F(x) = e^x(\sin x - \cos x)$를 이용하면:
$$\begin{aligned}
\int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} 2e^x\sin x\,dx &= [e^x(\sin x - \cos x)]_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} = e^{(2n+1)\pi} + e^{2n\pi} \\
\int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} 2e^x\sin x\,dx &= [e^x(\sin x - \cos x)]_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} = -e^{(2n+2)\pi} - e^{(2n+1)\pi}
\end{aligned}$$
따라서 넓이 $A_n$은:
$$\begin{aligned}
A_n &= (e^{(2n+1)\pi} + e^{2n\pi}) - (-e^{(2n+2)\pi} - e^{(2n+1)\pi}) = e^{2n\pi} + 2e^{(2n+1)\pi} + e^{(2n+2)\pi} \\
&= e^{2n\pi}(1 + 2e^\pi + e^{2\pi}) = \mathbf{e^{2n\pi}(1+e^\pi)^2}
\end{aligned}$$
[3.3] $A_k = e^{2k\pi}(1+e^\pi)^2$를 대입하면 $\ln A_k - 2\ln(1+e^\pi) = \ln\left(\frac{A_k}{(1+e^\pi)^2}\right) = \ln(e^{2k\pi}) = 2k\pi$이다.
따라서 구하는 극한값은 정적분과 급수의 합 사이의 관계에 의하여:
$$\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^8} \left\{ \ln A_k - 2\ln(1+e^\pi) \right\}^7 &= (2\pi)^7 \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^7 \frac{1}{n} = (2\pi)^7 \int_0^1 x^7\,dx \\
&= 128\pi^7 \left[ \frac{x^8}{8} \right]_0^1 = \mathbf{16\pi^7}
\end{aligned}$$
총 배점: 33점
문항 3.1 (10점) · 문항 3.2 (8점) · 문항 3.3 (15점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 단계 |
배점 |
| 3.1 |
부분적분법을 2회 연속 적용하여 $\int 2e^x\sin x\,dx = 2e^x\sin x - (2e^x\cos x + \int 2e^x\sin x\,dx)$ 형태의 방정식을 세운 경우
|
6점 |
|
부정적분 $\int 2e^x\sin x\,dx = e^x(\sin x - \cos x) + C$ (적분상수 포함)를 정확히 구한 경우
|
4점 |
| 3.2 |
구간 $[2n\pi, (2n+1)\pi]$에서 피적분함수가 $\ge 0$, 구간 $[(2n+1)\pi, (2n+2)\pi]$에서 $\le 0$임을 파악하여 넓이 정적분 식 $A_n = \int_{2n\pi}^{(2n+1)\pi} 2e^x\sin x\,dx - \int_{(2n+1)\pi}^{(2n+2)\pi} 2e^x\sin x\,dx$를 올바르게 세운 경우
|
4점 |
|
원시함수를 대입하여 $A_n = (e^{(2n+1)\pi}+e^{2n\pi}) - (-e^{(2n+2)\pi}-e^{(2n+1)\pi}) = e^{2n\pi}(1+e^\pi)^2$을 완벽히 계산한 경우
|
4점 |
| 3.3 |
$\ln A_k - 2\ln(1+e^\pi) = \ln(e^{2k\pi}) = 2k\pi$임을 유도하여 주어진 급수를 $(2\pi)^7 \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^7 \frac{1}{n}$의 형태로 정리한 경우
|
5점 |
|
정적분과 급수의 합 관계를 적용하여 $(2\pi)^7 \int_0^1 x^7\,dx = 128\pi^7 \left[\frac{x^8}{8}\right]_0^1 = 16\pi^7$을 정확히 계산한 경우
|
10점 |
💡 채점 시 유의사항 및 교수 총평:
• 문항 3.2에서 주기함수 부호에 따라 두 구간으로 나누어 적분하여 넓이를 계산하는 과정을 명시해야 합니다.
• 문항 3.3에서 $\frac{1}{n^8}$을 $\left(\frac{1}{n}\right)^7 \times \frac{1}{n}$로 분리하여 구분구적법(정적분 변환)의 직사각형 가로 밑변 $\Delta x = \frac{1}{n}$과 함수값 $\left(\frac{k}{n}\right)^7$의 구조를 명확히 보여주어야 만점이 부여됩니다.
수학 · 수학Ⅰ · 미적분
조건 만족 함수 개수 · 등비급수와 닮음도형 넓이 · 입체도형 단면적과 부피 적분
30점 / 100점
[1.1] $1$은 홀수이므로 조건 (가)에 의해 $f(1) \in \{2, 3, 5, 7\}$ 중 하나이다.
① $f(1) = 2$인 경우: 조건 (나), (다)에 의해 $f(2)=4, f(3)=5, f(4)=6, f(5)=7, f(6)=8$로 유일하게 결정된다.
② $f(1) = 3$인 경우: 조건 (나), (다)에 의해 $f(2)=4, f(3)=5, f(4)=6, f(5)=7, f(6)=8$로 유일하게 결정된다.
③ $f(1) = 5$인 경우: $f(3)$은 $5$보다 큰 소수이어야 하므로 $f(3)=7$. 그러나 $f(5)$는 $7$보다 큰 소수이어야 하는데 공역 $Y$에 $7$보다 큰 소수가 존재하지 않으므로 조건을 만족하는 함수가 존재하지 않는다.
④ $f(1) = 7$인 경우: $f(3)$이 $7$보다 큰 소수이어야 하므로 역시 불가능하다.
따라서 조건을 만족하는 함수 $f$의 개수는 $\mathbf{2}$이다.
[1.2] 직각이등변삼각형 $\mathrm{Q_1P_2O}$에서 빗변의 길이가 $\overline{\mathrm{OQ_1}} = 1$이므로:
$$\overline{\mathrm{Q_1P_2}} = \overline{\mathrm{OP_2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \overline{\mathrm{P_1P_2}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}$$
삼각형 $\mathrm{Q_1P_1P_2}$의 넓이 $a_1$은:
$$a_1 = \frac{1}{2} \cdot \overline{\mathrm{P_1P_2}} \cdot \overline{\mathrm{Q_1P_2}} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{4}$$
모든 자연수 $n$에 대하여 $\triangle\mathrm{Q_nP_{n+1}O}$는 직각이등변삼각형이므로 $\overline{\mathrm{OP_{n+1}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\overline{\mathrm{OP_n}}$이고 $\overline{\mathrm{Q_{n+1}P_{n+2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\overline{\mathrm{Q_nP_{n+1}}}$이다.
따라서 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $\frac{\sqrt{2}-1}{4}$이고 공비가 $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$인 등비수열이므로:
$$\sum_{n=1}^\infty a_n = \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = \mathbf{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$$
[1.3] 첫 번째 입체도형의 단면적 $S_1(x) = \pi(\sqrt{a^2-x})^2 = \pi(a^2-x)$이므로 부피 $V_1$은:
$$V_1 = \int_0^{a^2} \pi(a^2-x)\,dx = \pi \left[ a^2x - \frac{x^2}{2} \right]_0^{a^2} = \frac{1}{2}\pi a^4$$
두 번째 입체도형의 단면적 $S_2(x) = \pi((a-x)^2)^2 = \pi(a-x)^4$이므로 부피 $V_2$는:
$$V_2 = \int_0^a \pi(a-x)^4\,dx = \pi \left[ -\frac{(a-x)^5}{5} \right]_0^a = \frac{1}{5}\pi a^5$$
$V_1 = V_2 \implies \frac{1}{2}\pi a^4 = \frac{1}{5}\pi a^5$이므로 $a>0$에서 양변을 $\pi a^4$으로 나누면 $\mathbf{a = \frac{5}{2}}$이다.
총 배점: 30점
문항 1.1 (10점) · 문항 1.2 (10점) · 문항 1.3 (10점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 평가 항목 |
배점 |
| 1.1 |
조건 (가)에 의해 $f(1) \in \{2, 3, 5, 7\}$로 경우를 분류한 경우 |
3점 |
| 각 경우별로 조건 (나), (다)를 적용하여 함수의 성립 여부 및 함수값을 정확히 판별한 경우 |
4점 |
| 만족하는 함수의 개수가 $2$개임을 정확히 도출한 경우 |
3점 |
| 1.2 |
직각이등변삼각형 성질을 이용하여 첫째항 $a_1 = \frac{\sqrt{2}-1}{4}$을 구한 경우 |
4점 |
| 도형의 닮음비 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 및 넓이의 공비 $r = \frac{1}{2}$을 올바르게 구한 경우 |
3점 |
| 등비급수 합 공식 $\frac{a_1}{1-r}$을 적용하여 $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$을 정확히 계산한 경우 |
3점 |
| 1.3 |
첫 번째 입체도형의 단면적을 적분하여 부피 $V_1 = \frac{1}{2}\pi a^4$을 올바르게 구한 경우 |
4점 |
| 두 번째 입체도형의 단면적을 적분하여 부피 $V_2 = \frac{1}{5}\pi a^5$을 올바르게 구한 경우 |
4점 |
| $V_1 = V_2$ 방정식을 세워 양수 $a = \frac{5}{2}$를 정확히 구한 경우 |
2점 |
수학Ⅱ · 미적분
삼차함수 극값과 교점 개수 · 두 곡선 둘러싸인 넓이 정적분 · 몫의 미분법과 최솟값
30점 / 100점
[2.1] $f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$이다.
$a>0$이므로 $x=-\sqrt{a}$에서 극댓값 $f(-\sqrt{a}) = 2a\sqrt{a}$, $x=\sqrt{a}$에서 극솟값 $f(\sqrt{a}) = -2a\sqrt{a}$를 갖는다.
직선 $y=c$ ($c>0$)와 곡선 $y=f(x)$가 서로 다른 $2$개의 점에서 만나기 위해서는 직선 $y=c$가 극댓값의 위치에 접해야 하므로 구하는 값은 $\mathbf{c = 2a\sqrt{a}}$이다.
[2.2] 직선 $y=2a\sqrt{a}$와 곡선 $y=f(x)$의 교점의 $x$좌표는:
$$x^3 - 3ax - 2a\sqrt{a} = (x+\sqrt{a})^2(x-2\sqrt{a}) = 0 \implies x = -\sqrt{a}, \quad x = 2\sqrt{a}$$
구간 $[-\sqrt{a}, 2\sqrt{a}]$에서 직선이 곡선보다 항상 위쪽에 위치하므로 둘러싸인 넓이 $S$는:
$$\begin{aligned}
S &= \int_{-\sqrt{a}}^{2\sqrt{a}} \left(2a\sqrt{a} - (x^3 - 3ax)\right)\,dx = \left[ 2a\sqrt{a}x - \frac{x^4}{4} + \frac{3ax^2}{2} \right]_{-\sqrt{a}}^{2\sqrt{a}} \\
&= \left( 4a^2 - 4a^2 + 6a^2 \right) - \left( -2a^2 - \frac{a^2}{4} + \frac{3a^2}{2} \right) = 6a^2 - \left(-\frac{3}{4}a^2\right) = \mathbf{\frac{27}{4}a^2}
\end{aligned}$$
[2.3] 구하는 식에 $S = \frac{27}{4}a^2$을 대입하면 $g(a) = \frac{4 \cdot \frac{27}{4}a^2}{27(a-2)^2(6-a)} = \frac{a^2}{(a-2)^2(6-a)}$이다.
구간 $3 \le a \le 5$에서 $g(a)$의 도함수를 구하면:
$$\begin{aligned}
g'(a) &= \frac{2a(a-2)^2(6-a) - a^2\left\{2(a-2)(6-a) - (a-2)^2\right\}}{(a-2)^4(6-a)^2} \\
&= \frac{a(a-2)\left\{2(a-2)(6-a) - a(12-3a)\right\}}{(a-2)^4(6-a)^2} = \frac{a(a+6)(a-4)}{(a-2)^3(6-a)^2}
\end{aligned}$$
구간 $3 \le a \le 5$에서 $g'(a)=0$을 만족하는 값은 $a=4$뿐이다.
구간의 양 끝점 및 극점에서의 값을 계산하면:
$$g(3) = \frac{9}{1^2 \cdot 3} = 3, \quad g(4) = \frac{16}{2^2 \cdot 2} = 2, \quad g(5) = \frac{25}{3^2 \cdot 1} = \frac{25}{9}$$
따라서 구하는 최솟값은 가장 작은 값인 $\mathbf{2}$이다.
총 배점: 30점
문항 2.1 (10점) · 문항 2.2 (10점) · 문항 2.3 (10점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 평가 항목 |
배점 |
| 2.1 |
도함수 $f'(x) = 3(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$를 구하고 극값을 도출한 경우 |
4점 |
| 직선 $y=c$와 곡선 $y=f(x)$가 2개 점에서 만나는 조건을 정확히 해석한 경우 |
3점 |
| 양수 조건 $c>0$에 부합하는 $c = 2a\sqrt{a}$를 산출한 경우 |
3점 |
| 2.2 |
직선과 곡선의 교점 $x = -\sqrt{a}, 2\sqrt{a}$를 인수분해로 올바르게 구한 경우 |
3점 |
| 구간 $[-\sqrt{a}, 2\sqrt{a}]$에서 넓이 정적분 식을 정확히 수립한 경우 |
4점 |
| 정적분을 계산하여 넓이 $S = \frac{27}{4}a^2$을 정확히 구한 경우 |
3점 |
| 2.3 |
$S$를 대입하여 $g(a)$ 식을 구성하고 몫의 미분법으로 $g'(a)$를 전개한 경우 |
4점 |
| 구간 $3 \le a \le 5$ 내에서 $g'(a)=0$의 실근 $a=4$를 도출한 경우 |
3점 |
| 경계값 및 극값을 비교하여 최솟값 $2$를 정확히 판별한 경우 |
3점 |
수학Ⅰ · 수학Ⅱ · 미적분
삼각함수 근의 수열 · 몫의 미분법과 접선의 방정식 · 부분분수 급수와 무한급수 합
40점 / 100점
[3.1] $x>0$에서 $x^2>0$이므로 $\cos x = 0$이 되는 양의 실근을 작은 순서대로 나열하면:
$$x_n = \frac{2n-1}{2}\pi = \mathbf{\frac{(2n-1)\pi}{2}} \quad (n=1, 2, 3, \dots)$$
[3.2] $f(x) = \frac{\cos x}{x^2}$를 미분하면 $f'(x) = -\frac{\sin x}{x^2} - \frac{2\cos x}{x^3}$이다.
$\cos(x_n)=0$이므로 $f'(x_n) = -\frac{\sin(x_n)}{x_n^2} = -\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2 \sin\left(\frac{2n-1}{2}\pi\right) = -(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2$
점 $\mathrm{P_n}(x_n, 0)$에서의 접선의 방정식은:
$$y = -(-1)^{n-1}\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2 \left(x - \frac{(2n-1)\pi}{2}\right)$$
$x=0$을 대입하면 $y_n = (-1)^{n-1}\left(\frac{2}{(2n-1)\pi}\right)^2 \frac{(2n-1)\pi}{2} = \mathbf{(-1)^{n-1}\frac{2}{(2n-1)\pi}}$이다.
[3.3] 밑변 $\overline{\mathrm{P_nP_{n+1}}} = x_{n+1} - x_n = \pi$, 높이 $|y_n| = \frac{2}{(2n-1)\pi}$이므로:
$$A_n = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot \frac{2}{(2n-1)\pi} = \frac{1}{2n-1}$$
$A_nA_{n+1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$이므로:
$$\begin{aligned}
\sum_{n=1}^{10} A_nA_{n+1} &= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{10} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \\
&= \frac{1}{2}\left\{ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{21}\right) \right\} = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{21}\right) = \mathbf{\frac{10}{21}}
\end{aligned}$$
[3.4] 급수의 부분합 $S_n = \sum_{k=1}^n A_kA_{k+1}$을 구하면:
$$S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}$$
따라서 무한급수의 합은 부분합의 극한에 의하여:
$$\sum_{n=1}^\infty A_nA_{n+1} = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{2n+1} = \mathbf{\frac{1}{2}}$$
총 배점: 40점
문항 3.1 (10점) · 문항 3.2 (10점) · 문항 3.3 (10점) · 문항 3.4 (10점)
공식 채점기준
| 문항 |
채점 기준 및 세부 평가 항목 |
배점 |
| 3.1 |
곡선과 $x$축의 교점 조건 $\cos x = 0$ ($x>0$)을 파악한 경우 |
5점 |
| 수열 $x_n = \frac{(2n-1)\pi}{2}$을 정확히 구한 경우 |
5점 |
| 3.2 |
몫의 미분법을 이용하여 도함수 $f'(x)$ 및 $f'(x_n)$을 구한 경우 |
4점 |
| 점 $\mathrm{P_n}$에서의 접선의 방정식을 올바르게 세운 경우 |
3점 |
| 접선의 $y$절편 $y_n = (-1)^{n-1}\frac{2}{(2n-1)\pi}$을 정확히 구한 경우 |
3점 |
| 3.3 |
삼각형 넓이 $A_n = \frac{1}{2n-1}$을 올바르게 구한 경우 |
4점 |
| 부분분수 분해를 이용하여 급수의 망원합 전개를 수행한 경우 |
4점 |
| $\sum_{n=1}^{10} A_nA_{n+1} = \frac{10}{21}$을 정확히 계산한 경우 |
2점 |
| 3.4 |
급수의 부분합 $S_n = \frac{n}{2n+1}$을 올바르게 유도한 경우 |
5점 |
| $n \to \infty$ 극한을 취하여 무한급수의 합 $\frac{1}{2}$을 정확히 산출한 경우 |
5점 |