정답: (1) $\frac{1}{3}$, (2) $\frac{1}{6} \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right)$

해설:
(1) 두 곡선 $y = 3^x - \frac{8}{3}$과 $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x}$의 교점 B의 $x$좌표를 구하기 위해 연립하면 $3^x - \frac{8}{3} = 3^{-x}$이다. $3^x = t$ ($t>0$)로 치환하면 $t - \frac{8}{3} = \frac{1}{t} \implies 3t^2 - 8t - 3 = 0 \implies (3t+1)(t-3) = 0$에서 $t>0$이므로 $t=3 \implies 3^x = 3 \implies x=1$이다. 따라서 교점 B의 좌표는 $\left(1, \frac{1}{3}\right)$이므로 점 B의 $y$좌표 값은 $\frac{1}{3}$이다.
(2) 곡선 $y = 3^x - \frac{8}{3}$이 $x$축과 만나는 점 A의 $x$좌표는 $3^x - \frac{8}{3} = 0 \implies 3^x = \frac{8}{3} \implies x = \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right)$이므로 점 A의 좌표는 $\left(\log_{3}\left(\frac{8}{3}\right), 0\right)$이다. 삼각형 AOB의 밑변의 길이는 점 A의 $x$좌표인 $\log_{3}\left(\frac{8}{3}\right)$이고, 높이는 점 B의 $y$좌표인 $\frac{1}{3}$이므로, 삼각형 AOB의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right)$이다.

정답: (1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$, (2) $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

해설:
(1) 곡선 $y = \sin ax$를 $x$축 방향으로 $\frac{\pi}{6}$만큼, $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동 한 함수 $f(x)$는 $f(x) = \sin a\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + b$이다. 양수 $a$에 대하여 $f(x)$의 주기가 $3\pi$이므로 $\frac{2\pi}{a} = 3\pi \implies a = \frac{2}{3}$이다. $f\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \sqrt{3}$이므로 식에 대입하면 $\sin\left\{\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\pi - \frac{\pi}{6}\right)\right\} + b = \sqrt{3} \implies \sin\left\{\frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} + b = \sqrt{3} \implies \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + b = \sqrt{3}$이다. $\frac{\sqrt{3}}{2} + b = \sqrt{3} \implies b = \frac{\sqrt{3}}{2}$이다. 따라서 $a \times b = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
(2) 함수 $f(x) = \sin\left\{\frac{2}{3}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right\} + \frac{\sqrt{3}}{2}$에 $x = -\frac{\pi}{12}$를 대입하면 $f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left\{\frac{2}{3}\left(-\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6}\right)\right\} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left\{\frac{2}{3}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$이다.

정답: (1) $3$, (2) $7$

해설:
(1) 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1$, 공차를 $d$라 하면 $a_3 = a_1 + 2d = 11 \quad \cdots (\text{ㄱ})$이다. 또한 $a_5 = a_1 + 4d$이고 $S_8 = \frac{8(2a_1 + 7d)}{2} = 8a_1 + 28d$이므로 $a_5 + S_8 = 9a_1 + 32d = 155 \quad \cdots (\text{ㄴ})$가 성립한다. (ㄱ)에서 $a_1 = 11 - 2d$를 (ㄴ)에 대입하면 $9(11-2d) + 32d = 155 \implies 99 + 14d = 155 \implies 14d = 56 \implies d = 4$이다. 이를 다시 대입하면 $a_1 = 11 - 8 = 3$이다.
(2) 첫째항 $a_1 = 3$, 공차 $d = 4$이므로 등차수열의 합 $S_n$은 $S_n = \frac{n\{2 \times 3 + (n-1) \times 4\}}{2} = \frac{n(4n+2)}{2} = n(2n+1) = 2n^2+n$이다. $S_n > 100 \implies 2n^2+n > 100$을 만족하는 자연수 $n$의 범위를 구하면, $n=6$일 때 $2(36)+6 = 78 \le 100$이고 $n=7$일 때 $2(49)+7 = 105 > 100$이므로 자연수 $n$의 최솟값은 $7$이다.

정답: (1) $0$, (2) $66$

해설:
(1) 조건 (가)에서 분모가 $x \to a$일 때 $0$으로 수렴하므로, 극한값이 존재하기 위해서는 분자 역시 $0$으로 수렴해야 한다. 즉, 모든 실수 $a$에 대하여 $f(a) + f(-a) = 0$이 성립한다. 이는 함수 $f(x)$가 기함수(원점 대칭)임을 의미한다. $f(x) = px^3 + qx^2 + kx + l$가 기함수이므로 우함수 차수인 이차항과 상수항의 계수는 $0$이어야 한다. 따라서 $q = 0, l = 0$이므로 $\frac{q}{p} = 0$이다.
(2) $q=0, l=0$이므로 삼차함수 $f(x)$는 $f(x) = px^3 + kx$이다. 조건 (나)에서 $x \to 1$일 때 분모가 $0$으로 가므로 분자 역시 $0$으로 가야 한다. 즉 $f(1)+2 = 0 \implies f(1) = -2$이다. 미분계수의 정의에 의해 $f'(1) = 4$이다. $f(1) = p+k = -2 \quad \cdots (\text{ㄱ})$이고, $f'(x) = 3px^2+k \implies f'(1) = 3p+k = 4 \quad \cdots (\text{ㄴ})$이다. (ㄴ)에서 (ㄱ)을 빼면 $2p=6 \implies p=3$이고, 이를 (ㄱ)에 대입하면 $k=-5$이다. 따라서 $f(x) = 3x^3 - 5x$이므로 구하고자 하는 값 $f(3)$은 $f(3) = 3 \times 27 - 5 \times 3 = 81 - 15 = 66$이다.

정답: (1) $-1$, (2) $\frac{9}{4}$

해설:
(1) 함수 $f(x)$가 모든 실수에서 연속이므로 경계점 $x=2$에서 연속이어야 한다. 즉 $\lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2+} f(x) \implies 2^2+2a = \frac{1}{2}\times 2 - a \implies 4+2a = 1-a \implies 3a = -3 \implies a = -1$이다.
(2) $a=-1$이므로 함수 식은 $f(x) = \begin{cases} x^2-x & (x < 2) \\ \frac{1}{2}x+1 & (x \ge 2) \end{cases}$이다. 닫힌구간 $[0, 3]$에서 최대/최소를 찾기 위해 범위를 나눈다. $0 \le x < 2$에서 $f(x) = x^2-x = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$이므로 꼭짓점 $x=\frac{1}{2}$에서 최솟값 $-\frac{1}{4}$을 갖고 경계에서 $f(0)=0$, $\lim_{x \to 2-} f(x)=2$이다. $2 \le x \le 3$에서 $f(x) = \frac{1}{2}x+1$은 단조 증가하는 일차함수이므로 최댓값은 $x=3$일 때인 $f(3) = \frac{3}{2}+1 = \frac{5}{2}$이다. 따라서 최솟값 $m = -\frac{1}{4}$이고 최댓값 $M = \frac{5}{2}$이므로, 구하고자 하는 $M+m$의 값은 $\frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$이다.

정답: (1) $-2x^3+x^2+1$, (2) $3$

해설:
(1) 미분계수의 정의에 의해 좌변 식은 $\lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\} - \{f(x-h)-f(x)\}}{h} = f'(x) - (-f'(x)) = 2f'(x)$가 된다. 따라서 $2f'(x) = -4x^3+2x^2+2 \implies f'(x) = -2x^3+x^2+1$이다.
(2) 함수 $g(x)$의 극한 식을 미분계수 형태로 나타내면 $g(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+4h)-f(x)\} - \{f(x-2h)-f(x)\}}{2h} = \frac{4}{2}f'(x) - \left(-\frac{2}{2}f'(x)\right) = 2f'(x)+f'(x) = 3f'(x)$이다. 따라서 $g(x) = 3(-2x^3+x^2+1) = -6x^3+3x^2+3$이다. 식에 각각 대입하여 계산하면 $g(0) = 3$, $g(1) = -6+3+3 = 0$이므로, 구하고자 하는 $g(0)+g(1)$의 값은 $3+0=3$이다.

정답: (1) $ax^2-4x+4$, (2) $6$

해설:
(1) 주어진 관계식의 좌변 적분을 나누어 표현하면 $\int_{x-1}^{x+1} f(t)dt + \int_{x-1}^{x+1} 2tdt = ax^2 + 4$이다. 여기서 뒷부분의 정적분을 계산하면 $\int_{x-1}^{x+1} 2tdt = \left[t^2\right]_{x-1}^{x+1} = (x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$이다. 따라서 식은 $\int_{x-1}^{x+1} f(t)dt + 4x = ax^2+4$가 되므로, $a$를 이용해 나타내면 $\int_{x-1}^{x+1} f(t)dt = ax^2-4x+4$이다.
(2) 조건 $\int_{0}^{3} f(t)dt = \int_{0}^{1} f(t)dt + 20$의 우변 항을 이항하면 $\int_{0}^{3} f(t)dt - \int_{0}^{1} f(t)dt = 20 \implies \int_{1}^{3} f(t)dt = 20$을 얻는다. (1)에서 구한 정적분 식에 $x=2$를 대입하면 $\int_{1}^{3} f(t)dt = a(2)^2 - 4(2) + 4 = 4a-4$이다. 따라서 $4a-4 = 20 \implies 4a = 24 \implies a = 6$이다.