정답: (1) $\frac{5}{2}$, (2) $\frac{31}{2}$

해설:
(1) 로그함수 $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (2x^2 - 10x + a)$의 밑은 $\frac{1}{3}$로 $0 < \frac{1}{3} < 1$이므로 진수가 최소일 때 전체 로그함수 값 $f(x)$는 최댓값을 갖는다. 진수를 $g(x) = 2x^2 - 10x + a$라 하면 $g(x) = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + a - \frac{25}{2}$이다. 진수의 계수가 양수이므로 $g(x)$는 $x = \frac{5}{2}$에서 최솟값 $a - \frac{25}{2}$을 갖는다. 따라서 함수 $f(x)$가 최댓값을 갖는 $x$의 값은 $\frac{5}{2}$이다.
(2) $x = \frac{5}{2}$에서 함수 $f(x)$의 최댓값은 $f\left(\frac{5}{2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(a - \frac{25}{2}\right)$이다. 이 최댓값이 $-1$이므로 $\log_{\frac{1}{3}} \left(a - \frac{25}{2}\right) = -1 \implies a - \frac{25}{2} = 3 \implies a = 3 + \frac{25}{2} = \frac{31}{2}$이다.

정답: (1) $\frac{1}{4}$, (2) $\frac{9}{4}$

해설:
(1) 삼각함수 사이의 관계에 의해 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$이므로 이를 식에 대입하면 $f(x) = (1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = -\cos^2 x + \cos x$이다. 여기서 $\cos x = t$로 치환하면 모든 실수 $x$에 대하여 $-1 \le t \le 1$이다. 치환된 식을 $g(t) = -t^2 + t = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}$이라 하면, 꼭짓점인 $t = \frac{1}{2}$이 범위 $-1 \le t \le 1$에 포함되므로 $t = \frac{1}{2}$일 때 최댓값 $M = \frac{1}{4}$을 갖는다.
(2) 양 끝값인 $t = -1$과 $t = 1$에서의 값을 비교하면 $g(-1) = -1 - 1 = -2$, $g(1) = -1 + 1 = 0$이다. 따라서 최솟값은 $m = -2$이다. 최댓값 $M = \frac{1}{4}$, 최솟값 $m = -2$이므로 구하고자 하는 $M-m$의 값은 $\frac{1}{4} - (-2) = \frac{9}{4}$이다.

정답: (1) $2$, (2) $1280$

해설:
(1) 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a_1$, 공비를 $r$이라 하면 일반항은 $a_n = a_1 r^{n-1}$이다. 주어진 조건 $a_2 a_4 = 100$을 대입하면 $(a_1 r) \times (a_1 r^3) = a_1^2 r^4 = (a_1 r^2)^2 = a_3^2 = 100$이다. 모든 항이 실수이므로 $a_3 = 10$ 또는 $a_3 = -10$이다. 또한 $a_6 = a_1 r^5 = (a_1 r^2)r^3 = a_3 r^3 = 80$이다. 만약 $a_3 = -10$이면 $-10r^3 = 80 \implies r^3 = -8 \implies r = -2$가 되는데, 이는 공비 $r$이 양수라는 조건에 모순이다. 따라서 $a_3 = 10$이고 $10r^3 = 80 \implies r^3 = 8 \implies r = 2$이다.
(2) $r = 2$이고 $a_3 = a_1 r^2 = 4a_1 = 10 \implies a_1 = \frac{5}{2}$이다. 구하고자 하는 $a_{10}$의 값은 다음과 같다: $a_{10} = a_1 r^9 = \frac{5}{2} \times 2^9 = 5 \times 2^8 = 5 \times 256 = 1280$이다.

정답: (1) $-8$, (2) $f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x$

해설:
(1) 조건 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -8$에서 $x \to 0$일 때 분모가 $0$으로 수렴하므로 극한값이 존재하기 위해 분자 역시 $0$으로 가야 한다. 즉 $f(0) = 0 \implies c = 0$이다. 미분계수의 정의에 의해 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = -8$이다. $f(x)$를 미분하면 $f'(x) = 6x^2+2ax+b$이므로 $f'(0) = b = -8$이다.
(2) $b = -8, c = 0$이므로 $f(x) = 2x^3 + ax^2 - 8x$이고 $f'(x) = 6x^2 + 2ax - 8$이다. 함수 $f(x)$가 $x = 1$에서 극값을 가지므로 $f'(1) = 0$이 성립해야 한다. 식에 대입하면 $f'(1) = 6(1)^2 + 2a(1) - 8 = 2a - 2 = 0 \implies a = 1$이다. 따라서 구하는 삼차함수 식은 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x$이다.

정답: (1) $6$, (2) $9$

해설:
(1) 함수 $f(x)$가 $x=3$에서 연속이기 위해서는 함숫값 $f(3)$과 극한값 $\lim_{x \to 3} f(x)$가 존재하고 서로 일치해야 한다. 즉, $k = \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$이다. 우변의 극한을 계산하면 $\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$이므로, 구하고자 하는 $k$의 값은 $6$이다.
(2) $k = 6$이므로 구하고자 하는 함숫값 $f(k)$는 $f(6)$이다. $x = 6$은 $x \ne 3$인 범위에 속하므로 함수 식에 대입하여 계산하면 $f(6) = \frac{6^2-9}{6-3} = \frac{36-9}{3} = \frac{27}{3} = 9$이다.

정답: (1) $a = 1, b = -1$, (2) $-1$

해설:
(1) 주어진 식 $\int_{1}^{x} (t-1)f(t)dt = ax^4 + 2bx^2 + 1 \quad \cdots (\text{ㄱ})$에 $x=1$을 대입하면 좌변의 정적분 값은 $0$이므로 $a+2b+1 = 0 \quad \cdots (\text{ㄴ})$이다. (ㄱ)의 양변을 $x$에 대해 미분하면 $(x-1)f(x) = 4ax^3 + 4bx \quad \cdots (\text{ㄷ})$이다. $f(x)$가 다항함수이므로 (ㄷ)의 우변은 $(x-1)$을 인수로 가져야 한다. 우변에 $x=1$을 대입하면 $4a+4b = 0 \implies a+b = 0 \implies a = -b$이다. 이를 (ㄴ)에 대입하면 $-b+2b+1 = 0 \implies b = -1$이다. 따라서 $a = -b = 1$이다.
(2) $a=1, b=-1$을 (ㄷ)에 대입하면 $(x-1)f(x) = 4x^3-4x = 4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1)$이다. $x \ne 1$일 때 양변을 나누면 $f(x) = 4x(x+1) = 4x^2+4x$이고, 다항함수의 연속성에 의해 모든 실수에서 $f(x) = 4x^2+4x$이다. 이차함수 $f(x) = 4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - 1$은 꼭짓점인 $x = -\frac{1}{2}$에서 최솟값 $-1$을 갖는다.

정답: (1) $(\sqrt{2}, 2)$, $(-\sqrt{2}, 2)$, (2) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

해설:
(1) 곡선 $y = x^2$ 위의 임의의 접점의 좌표를 $(t, t^2)$이라 하자. $y'=2x$이므로이 점에서의 접선의 방정식은 $y - t^2 = 2t(x-t) \implies y = 2tx - t^2$이다. 이 접선이 점 $(0, -2)$를 지나므로 대입하면 $-2 = -t^2 \implies t^2 = 2 \implies t = \pm\sqrt{2}$이다. 따라서 접점의 좌표는 $(\sqrt{2}, 2)$와 $(-\sqrt{2}, 2)$이다.
(2) 두 접선의 방정식은 $y = 2\sqrt{2}x-2$와 $y = -2\sqrt{2}x-2$이다. 이 도형은 $y$축에 대하여 대칭이므로, $0 \le x \le \sqrt{2}$인 구간에서 곡선 $y=x^2$과 접선 $y = 2\sqrt{2}x-2$ 사이의 넓이를 구한 뒤 $2$배를 하면 된다. 따라서 넓이 $S$는 다음과 같다: $S = 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} \{x^2 - (2\sqrt{2}x-2)\}dx = 2 \left[ \frac{1}{3}x^3 - \sqrt{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2 \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right) = 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$이다.