양수 \(\alpha\)에 대하여 함수 \(g(x)\) \(=\) \(5\cos\left(-\frac{x}{\alpha}+\frac{2}{3}\piight)\)의 주기를 \(h(\alpha)\)라 하고
\[f(\alpha) = g(h(\alpha)) - 2\sin\left\{\frac{h(\alpha)}{12}+\frac{17}{6}\piight\}\]
이라 하자. 함수 \(f(\alpha) 가 최댓값을 갖도록 하는 \alpha 의 최솟값을 m 이라 하고, 최솟값을 갖도록 하는 \alpha 의 최솟값을 n 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, m 과 n\)은 양수이다.)

(1) \(m\)의 값을 구하시오.
(2) \(n\)의 값을 구하시오.
(3) \(|h(m)-h(n)|\)의 값을 구하시오.

함수 \(f(x) = \log_a x\ (a>0, a \ne 1)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \\\(1 < p < q 인 모든 실수 p, q 에 대하여 f(p)(q-1) > f(q)(p-1)\)이다.
(나) \(|f(8)| = 3\)

함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\) 축에 대하여 대칭이동한 후, \(y\) 축의 방향으로 \(4\)만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 \(y=g(x)\)라 하자. 두 함수 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)가 \(x\) 축과 만나는 점을 각각 \(\text{A, B}\)라 하고, 두 그래프의 교점을 \(\text{C}\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(f(x)\) \(= \log_a x\)에서 밑 \(a\)의 값을 구하시오.
(2) 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이를 구하시오.
(3) 함수 \(y=f(x)\)의 역함수의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하고, 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 후, \(x\) 축의 방향으로 \(k\) 만큼 평행이동한 그래프가 점 \(- 6, - 1\)\)을 지날 때, 실수 \(k\)의 값을 구하시오.

모든 항이 자연수인 수열 \({a_n}\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다.

(가) \(a_{2n-1} = n^3 + 1\)
(나) \(a_{2n} - a_{2n - 1} = d d\text{\)는 상수\(}\)\)
(다) \(a_n < a_{n+1}\)

다음 물음에 답하시오.

(1) \(\sum_{n=1}^{13} a_n\)의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하는 과정을 서술하고, 차이를 구하시오.
(2) \(\sum_{n = 1}^{13} a_n\)의 값이 최소일 때, \(a_{16}\)의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(f(x)\) \(= x^2 + ax + b a, b\text{\)는 상수\(}\)\)와 상수 \(k\)에 대하여 함수 \(g(x)\) \( = x^2 - 2x + k\)f(x)\)라 할 때, 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(g'(2)\) \(\ne 0\) 이고, \(\lim_{x \to 2}\) \(\frac{g(x)-f(x)}{x-2}\) \(= 0\)이다.
(나) \(f(t)\) \(=\) \(f'(t)\)와 \(g'(t)\) \(=\) \(3f'(t)\)를 동시에 만족시키는 실수 \(t\)가 존재한다.

다음 물음에 답하시오.

(1) 위의 조건을 만족시키는 실수 \(t\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(t\)의 값을 구하시오.
(2) \(\frac{b}{a}\)의 값을 구하시오.
(3) (1)을 만족시키는 \(t\)에 대하여 \(g(t+5)\) \(= \frac{m}{n}\)일 때, \(m+n\)의 값을 구하시오. \(\)단, \(m\)과 \(n\)은 서로소인 자연수이다.)

함수 \(f(x)\) \(=\) \(\begin{cases} 3x-18 & (x \ge 3) \\ -2x-3 & (x < 3) \end{cases}\)에 대하여 함수 \(g(x)\) \( = \int_0^x t - 3\)f(t)dt\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 \(g(x) 가 극값을 갖도록 하는 x\)의 값을 모두 정확히 구하시오.
(2) \(g(x)\)의 최솟값을 구하시오.
(3) 함수 \(y=g(x)\)의 그래프와 직선 \(y=n\) 과의 교점의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum_{k = 1}^{15} a_k\)의 값을 구하시오. \(\)단, \(n\)은 자연수이다.)

최고차항의 계수가 1인 이차함 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1}\) \(\frac{f(x)}{x-1}\)의 값이 존재하고, 미분가능한 함수 \(g(x)\)의 도함수가 \(g'(x)\) \(=\) \(f(|x+5|)\) \(-\) \(f(|x|)\)이다. 함수 \(g(x)\)가 \(x=\frac{1}{2}\)에서 극솟값을 가질 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 이차함수 \(f(x)\)를 구하시오.
(2) \(x_0 \ne \frac{1}{2}\) 이고 \(g'(x_0)\) \(= 0\)을 만족시키는 두 실수 \(x_0 = \alpha\)와 \(x_0 = \beta\)를 구하는 과정을 서술하고, \(\alpha, \beta\)를 구하시오. \(\)단, \(\alpha < \beta\)이다.)

(3) 함수 \(g(x) 가 극댓값을 갖도록 하는 x\)의 값을 정확히 구하시오.

함수 \(f(x)\)가 \(x \ge 0\)에서 \(f(x)\) \(= x^2 - 4x\) 이고, 모든 실수에 대하여 \(f(-x)+f(x)=0\)이다. 실수 \(t\)에 대하여 닫힌구간 \([t, t + 2]\)에서 \(f(x)\)의 최솟값을 \(g(t)\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(g(1)\)의 값을 구하시오.
(2) \(f(x) \ne g(x) 인 모든 x\)값의 범위를 구하시오.
(3) 두 곡선 \(y=f(x)\)와 \(y=g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

<보기>의 진술 중 오류를 포함하는 항목 기호 2개를 골라 쓰고, 내용을 수정하시오.

<보기>
- ㉠ 공간과 시간의 양적 측정 단위를 양적으로 관찰하는 것은 지도학적 스케일이다.
- ㉡ 위계적 스케일은 사물의 질량이나 거리를 양적으로 측정하는 방법이다.
- ㉢ 구조주의적 관점은 스케일을 사회/공간적 관계의 주관적 재현물로 이해한다.
- ㉣ 포스트 구조주의는 사회적 실천과 담론이 스케일을 형성하는 데 초점을 맞춘다.
- ㉤ 스케일로 구체화된 지리적 상상은 우리의 공간적 지각에 막대한 영향을 준다.

<보기>의 ①~④의 발음에 적용되는 경음화 규칙 기호를 윗글 ㉠~㉤에서 찾아 쓰시오.

- 사람들이 모이면 우리집에서는 ①국수를 먹었다.
- 올겨울 우리가 목표했던 판매액을 초과 ②달성했다.
- 10년 만에 ③어릴 적 살던 동네를 찾았다.
- 시계태엽을 되돌려 ④감고 잠시 기다렸다.

그림과 같이 선분 \(\text{AB}\)를 지름으로 하는 반원 위에 \(\overline{\text{CA}}=\sqrt[6]{3}\)\(,\)\(\overline{\text{CB}}=\sqrt[6]{24}\)인 점 \(\text{C}\)를 잡는다. 점 \(\text{C}\)에서 선분 \(\text{AB}\)에 내린 수선의 발을 \(\text{H}\)라 할 때, \(\overline{\text{BH}} = a, \overline{\text{CH}} = b\)라 하자. 이차방정식 \(x^2 - ax -\) \(\sqrt[6]{648}\) \(b = 0\)을 만족하는 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(2) \(b\)의 값을 구하시오. (3.2점)
(3) \(\alpha^3 + \beta^3\)의 값을 구하시오. (4점)

등차수열 \({a_n}\)에서 \(a_4 = 7, a_{11} = 21\)일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 일반항 \(a_n\)을 구하시오. (2.5점)
(2) 수열의 합 \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+2}}\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(3) 부등식 \(\sum_{k = 1}^m \frac{4}{a_k\) \(a_{k + 2}} < ;\)\(\frac{13}{12}\)을 만족시키는 자연수 \(m\)을 모두 구하시오. (4.7점)

모든 항이 양수인 수열 \({a_n}\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\) \(6S_n = a_n^2 + 3a_n - 10\)을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a_{10}\)의 값을 구하는 과정을 서술하고, \(a_{10}\)의 값을 구하시오. (6점)
(2) 첫째항 \(a_1\)의 값을 구하시오. (1.5점)
(3) 수열의 합 \(\sum_{k=1}^{10} a_k\)의 값을 구하시오. (2.5점)

1이 아닌 양의 실수 \(\alpha, \beta\)에 대하여 이차방정식 \(\) \(2x^2 - mx + n = 0\)의 두 근을 \(\log_2 \alpha, \log_2 \beta\)라고 하자.

(1) \(\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{1}{4}\)을 만족시키는 가장 작은 자연수 \(m\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(2) 가장 작은 자연수 \(n\)의 값을 구하시오. (2.8점)
(3) 위에서 구한 \(m\), \(n\)과 양수 \(a\), \(b\), \(c\), \(k\)가 아래의 두 조건을 만족시킬 때, \(k\)의 값을 구하시오. (4.4점)
(가) \(2m\)^a = (2n)^{2b} = k^c\)
(나) \(ab = bc - ac\)

함수 \(f(x)\) \(=\) \(\begin{cases} -3x & (x <2) \\ 3(x-a) & (x \ge 2) \end{cases}\)가 실수 전체 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 \(a\)의 값을 구하고, 함수 \(g(x)\) \( = \int_0^x t - 2\)f(t)dt\)라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 상수 \(a\)의 값을 구하시오. (1.5점)
(2) 함수 \(g(x)\)를 구하시오. (4점)
(3) 곡선 \(y=g(x)\)와 직선 \(y=0\) 과의 교점 개수를 \(b\) , 직선 \(y=3\) 과의 교점 개수를 \(c\)라 할 때, \(b+c\)의 값을 구하시오. (4.5점)

평행사변형 \(\text{ABCD}\)에 대각선 \(\text{AC}\)를 그려 두 개의 삼각형으로 나누었다. 삼각형 \(\text{ABC}\)의 각 변의 길이를 아래의 그림과 같이 각각 \(m m>\)\(;\)\(1\)\) 배 확대하여 새로운 삼각형 \(\text{PQR}\)을 만들었다. \(\)단, \(\angle\text{CAB} = \alpha, \angle\text{ABC} = \beta, \angle\text{BCA} = \gamma\))

(1) 삼각형 \(\text{ABC} 의 넓이를 S 라 할 때, 세 삼각형 \text{PAR, QBP, RCQ} 의 넓이를 각각 m 과 S\)에 대한 식으로 나타내는 과정을 서술하시오. (7점)
(2) 삼각형 \(\text{PQR} 의 넓이가 평행사변형 \text{ABCD} 의 넓이와 같게 하는 m\)의 값을 구하시오. (3점)

다항함수 \(f(x)\)가 \(\int\) \(\{f(x)-3\}dx\) \(+ \int x\) \(f'(x)dx\) \(= x^4 - x^3\)을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 \(y=f(x)\)가 \(x=a\)에서 극대일 때, \(f(a)\)의 값을 구하시오. (3.8점)
(2) 함수 \(y=f(x)\) 위의 점 \(1, \)\(f(1))\) 에서의 접선 \(\ell\)의 방정식을 구하시오. (2.2점)
(3) 함수 \(y=f(x)\)와 직선 \(\ell\)의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (4점)

두 함수 \(f(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 8 , g(x) = x^2 + ax + b\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) \(a=18\)일 때, 두 곡선 \(f(x)\)와 \(g(x)\)의 교점의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 \(b\)의 값을 구하시오. (2.6점)
(2) \(a=3\)일 때, 열린구간 \(- 2, 1\)에서 두 곡선 \(f(x)와 \(g(x)가 적어도 한 점에서 만나기 위한 \(b의 범위를 구하는 과정을 서술하고, \(b의 범위를 구하시오. (5점)
(3) 두 곡선 \(f(x) 와 g(x) 가 오직 한 점에서만 만나기 위한 a의 범위를 구하시오. (2.4점)