방정식 \(5\cos^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+4\cos\) \(x+a=1\) 이 실근을 가지도록 하는 실수 \(a\)의 최댓값과 최솟값을 각각 구하는 과정을 서술하시오.

첫째항이 \(\frac{47}{45}\)인 수열 \(a_n\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \frac{2n+1}{n(n+1)}\] 을 만족시킬 때, \(a_{2025} = \frac{q}{p}\)이다. \(\sqrt{p} + q\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(p, q\)는 서로소인 자연수이다.)

\(a > ; 0\)인 실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\) \(= ax^3\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(5,\)\(f(5))\) 에서의 접선의 방정식이 점 \(4, 2\)를 지날 때, 두 곡선 \(y=f(x)\)\(,\)\(y=g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

\(a = \log_4 27, b = \log_9 25\)일 때, \(\log_5 10 = 1 + \frac{1}{pab}\) 이고 \(\log_6 10 = \frac{1 + pab}{1 + qa}\)이다. \(p\)와 \(q\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(p\)와 \(q\)는 상수이다.)

두 함수 \(y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\)\(,\)\(y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)\)의 그래프가 점 \(R_1(2, 0)\)에서 만난다. 직선 \(y=1\) 이 두 함수의 그래프와 만나는 점을 각각 \(P_1, Q_1\) 이라 할 때, 삼각형 \(P_1Q_1R_1\)의 넓이를 \(a_1\) 이라 하자. 선분 \(P_1Q_1\) 위의 점 중 \(x\) 좌표가 \(2\)인 점을 \(R_2\)라 하고, 직선 \(y=2\)가 두 함수의 그래프와 만나는 점을 각각 \(P_2, Q_2\)라 할 때, 삼각형 \(P_2Q_2R_2\)의 넓이를 \(a_2\)라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 \(n\) 번째 얻은 삼각형 \(P_nQ_nR_n\)의 넓이를 \(a_n\) 이라 하자. 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n + b_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n}\)을 만족시키는 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(1458 S_3\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.\)

다항함수 \(f(x) 가 모든 실수 x\)에 대하여 \[\int_1^x f(t)dt = x^4 + ax^3 + x^2 \int_2^3 tf'(t)dt + 52x\] 를 만족시킬 때, \(a 와 f(2)\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to 0}\) \(\frac{x}{f(x)-x}\) \(= \frac{1}{2}\)을 만족시킬 때, \[\lim_{x \to 0} \frac{35xf(x) + 5\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 + 3xf(x) - 2x^2}\] 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 \(k\)에 대하여 두 함수 \(f(x)\) \(= - \log_2 k + 1\)x)\(,\)\(g(x)\) \(= \log_{\frac{1}{2}}\) \(\left(\frac{k + 1}{k}x \right)\) 즉, \(g(x)\) \(=\) \(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{k+1}{kx}\right)\) \()\)가 있다. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(h(x)\)를 \[h(x) = \begin{cases} f(x) & (g(x) < f(x)) \\ g(x) & (g(x) \ge f(x)) \end{cases}\] 라 하자. 곡선 \(y=h(x)\)와 직선 \(y = \log_2 k\)가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 \(l(k)\)라 할 때, \[\frac{10}{3} \times \sum_{k=1}^{9} l(k)\] 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= x^2 + ax + b\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(a+b)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b\)는 상수이다.) (가) \(f(2) = f'(2)\)
(나) \(\sum_{k=1}^{15} \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1-2h)}{5h} = 90\)

\(0 \le \theta < 2\pi\)에 대하여 \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)\) \(= \frac{1}{\sqrt{6}}\) 이고 \(\cos \theta < 0\)일 때, \(\tan^2(\pi\) \(+ \theta\) \(+ \sqrt{5}\tan \theta +\) \(3\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(=\) \(\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^x - 4) & (0 < x \le 2) \\ \log_3 x & (x >2) \end{cases}\)에 대하여 \(\sum_{n=1}^{3}\) \(f(f(f(n)))\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{0}^{x}\) \(tf(t)dt\) \(=\) \(f(x)\) \(+ ax^3 + x^2 + x - 2\)를 만족시킬 때, \(f(a)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a\)는 상수이다.)

자연수 \(k 에 대하여 \sqrt[n]{(2^k)^7} 의 값이 8 의 배수가 되도록 하는 2 이상의 자연수 n 의 개수를 f(k)\)라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고르는 과정을 서술하시오.

<보기>
ㄱ. \(f(7) = 2\)
ㄴ. \(f(k)\) \(= 2\)를 만족시키는 \(5\) 이하의 \(k\)의 개수는 \(2\)이다.
ㄷ. \(f(k)\) \(= 5\)를 만족시키는 \(10\) 이하의 모든 \(k\)의 값의 합은 \(24\)이다.

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{9x^2-1} = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x\to \frac{1}{3}}\) \(\frac{9x^2-1}{f(x)}\) \(= \frac{1}{4}\)

\(\lim_{x\to \frac{1}{3}}\) \(\frac{\left|x-\frac{1}{3}\right|(x^2+ax+5)}{f(x)}\) \(= b\)를 만족시키는 두 상수 \(a, b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

삼차함수 \(f(x) 가 두 실수 \alpha, \beta ( \alpha < \beta\))에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f'(\alpha) = f'(\beta) = 0\)
(나) \(f(\alpha)f(\beta) < 0\)
(다) \(|f(\beta)| = 2|f(\alpha)|\)

집합 \(A = \{x \mid\) \(|f(x)|\) \(-\) \(|f(t)|\) \(= 0\}\)의 원소의 개수가 홀수가 되도록 하는 모든 실수 \(t\)의 개수가 \(m\) 이고, 이러한 \(m\) 개의 실수 \(t\)의 값을 작은 수부터 차례로 \(t_1, t_2, t_3, \dots, t_m\) 이라 하자. \(\frac{1}{|f(\alpha)|}\) \(\sum_{i=1}^{m}\) \(f(t_i)\)의 가능한 모든 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(0 \le x < 1\)일 때, \(f(x)\) \(=\) \(a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2\) \(- \frac{9}{16}\)이다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x\) \(+ 1\) \(=\) \(f(x)\) \(+ 1\)을 만족시킨다.

자연수 \(n\)에 대하여 \(p_n = \int_{n - 1}^{n}\) \(f(x)dx\)라 할 때, 함수 \(g(x)\) \(= \sum_{n = 1}^{100} x - p_n\)\(^2\)은 \(x = \alpha\)에서 최솟값을 갖는다. \(\alpha\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, \alpha\)는 상수이다.)

삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x\to 2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-2} = 1\)
(나) \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x+2)}{f(x-2)} = 3\)

① \(f(2) \neq 0 일 때, 위 조건을 만족시키는 함수가 존재하는지 서술하시오. ② \int_{0}^{3} f(x)dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 \(m\) 이라 하자. 함수 \(f(x)\) \(= \sin \frac{\pi x}{n}\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x\) \(+ 30\) \(=\) \(f(x)\)를 만족시킨다. 그림과 같이 중심이 \(O\) 이고 반지름의 길이가 \(4\)인 원에 내접하는 예각삼각형 \(ABC\)에 대하여 점 \(O\)에서 세 선분 \(AB, BC, CA\)에 내린 수선의 발을 각각 \(D, E, F\)라 하자. \(\overline{OD}\)\(:\)\(\overline{OE}\)\(:\)\(\overline{OF}\) \(= 12 : m :\)\(6(3\sqrt{5}\) \(- 1\)일 때, 선분 \(OE\)의 길이와 \(\sin^2 B\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(\sin \theta + \cos \theta = \dfrac{1}{2}\)일 때, \(|\sin \theta - \cos \theta|\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x-2\)\((x+1)f(x)=(x-2)(x^3+ax+b)\)를 만족시킨다. \(f(2)=1\)일 때, \(f(-1)\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. 단, \(a, b\)는 상수이다.\()
\(x \ne - 1, x \ne 2\)일 때, \(f(x)\) \(= \dfrac{x^3 + ax + b}{x + 1}\) 이고 \(f(x)\)는 \(x=2\)에서 연속이므로
\(\lim_{x \to 2}\) \(f(x)\) \(=\) \(f(2)\)이다. 즉, \(\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 + ax + b}{x + 1} = 1\) 이므로 \(\boxed{\quad\text{①}\quad} = 0\) . 또한, 함수
\(f(x)\)는 \(x=-1\) 에서도 연속이므로 \(\lim_{x \to - 1}\) \(f(x)\) \(=\) \(f(-1)\)이다. 따라서 \(\boxed{\quad\text{②}\quad} = 0 . a\)와 \(b\)를 구하면 \(a, b\) \(= \boxed{\quad\text{③}\quad}\) 이므로 \(f(-1)\) \(= \boxed{\quad\text{④}\quad}\).

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(2(x+1)f(x)\)의 한 부정적분을 \(G(x)\)라 할 때, 함수 \(G(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여
\(G(x)\) \((= x + 1)^2\) \(f(x)\) \(- x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x\)
를 만족시킨다. \(G(0)\) \(= - 2\)일 때, \(f(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

양수 \(k\)와 사차함수 \(f(x)\) \(= x^4 + \dfrac{8}{3}kx^3 - 6k^2x^2 + 3\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 \(a\)의 범위와 실수 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 곡선 \(y =\) \(f(x)\)와 직선 \(y = a\)는 서로 다른 두 점에서 만난다.
(나) 곡선 \(y =\) \(f(x)\)와 직선 \(y = b\)는 서로 다른 세 점에서 만난다.

첫째항이 \(2\)인 수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 함수 \[f(x) = \begin{cases} a_n - n + 5 & (a_n \ge 4) \ a_{n+1} - n + 5 & (a_n < 4) \end{cases}\] 라 하자. 함수 \(f(x) 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, a_{10}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\ge 0\)에서 정의된 함수 \(f(x)\) \(= |p\sin x - q|\) \(;\)\(p \gt 0\)에 대하여 \(f(0)\) \(\gt\) \(f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\)이다.

직선 \(y = t\)가 곡선 \(y =\) \(f(x)\)와 만나는 모든 점의 \(x\) 좌표를 작은 수부터 크기 순으로 나열한 수열이 등차수열이 되도록 하는 \(t\)의 값은 \(\alpha, \beta\) \(;\)\(\alpha \lt \beta\) 뿐이다. \(t = \alpha, t = \beta\)일 때의 이 등차수열을 각각 \(a_n, \{b_n\}\) 이라 하자. \(\alpha + \beta = 12\) 이고 \(\dfrac{f(b_3)}{a_4}\) \(= \dfrac{3}{\pi}\)일 때, \(2p - q\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x\) \(, |, x \ge 0\}\)인 두 함수 \(f(x)\) \(= ax^2 + bx,\)\(g(x)\) \(=\) \(\log_2(x+1)\)에 대하여 함수 \(h(x)\)를 \[h(x) = \begin{cases} f(x) & (g(x) < f(x)) \ g(x) & (g(x) \ge f(x)) \end{cases}\] 라 하자. 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, \(h'(1)\) \(= \dfrac{1}{2\ln 2}\)일 때, \(10(a+b)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b\)는 상수이다.)

두 실수 \(x, y\)에 대하여 \(\dfrac{1}{9x} + \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{2}\) 이고 \(512^x = 144^y\)일 때, \(x = p\log_2 24, y = q\log_{12} 24\)이다. \(p, q\) 그리고 \(9x\log_{24} 2 + y\log_{24} 12\)의 값을 각각 구하는 과정을 서 술하시오. (단, p, q는 유리수이다.)

좌표평면에 점 \(A(2, 0)\)과 원 \(x^2+y^2=4\) 위의 점 \(P\)가 있다. 동경 \(OP\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, 점 \(P\)와 \(\theta\)가 다음 조건을 만족시킨다.\)

(가) 선분 \(AP\)를 포함하는 부채꼴 \(AOP\)의 넓이는 \(\dfrac{3}{2}\pi\)이다.

(나) \(\dfrac{\cos\theta}{\tan\theta} \lt 0
\sin 2\theta 와 \tan 3\theta 의 값을 각각 구하는 과정을 서술하시오. (단, O\)는 원점이다.)

다항함수 \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
F(x)=) \(f(x)\) \(+ 2 x^3 - 5 x^2 - 5x\)를 만족시킨다. 방정식 \(f(x)\) \(= 4 x^2 + 3\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할
때, \(\alpha _{2} + \beta\) _{2}의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= - x^3 + 3 x^2 + 9x + k\)는 \(x=a\)에서 극대이고, \(x=b\)에서 극소이다.
y= \(f(x)\)의 그래프가 x=b에서 x축과 접한다고 할 때, 실수 a,b, k의 값을 구하는 과정을 서
술하시오.

- 238 -
2이상의 자연수 a에 대하여 원 (x-1)2+ \(y^2\) =1이 곡선 y = a^{\frac{x}{2}}
과는 만나고,
곡선 y = a^x \times \left(\dfrac{3}{7}\right)^{-x}
과는 만나지 않도록 하는 a의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

사차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를

\(\frac{f(x)}{x^2-1}\) \(|x| \ne 1\)
\) \(g(x)\) \(=


라 하자. 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이고, \(lim
x→1\) \(\frac{g(x)+1}{f(x)} = 1\)일 때, \(g(p)\)의 값을 \(
x+p
(|x|=1)
구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
사차함수 \(f(x)\)를 \(f(x)\) \(=(\) \(x^2 - 1\)(a\) \(x^2 + bx + c\)라 놓을 수 있다.
lim
x→1\) \(\frac{g(x)+1}{f(x)}이 존재하므로 p=\) \([①]
이다. \(g(x)\)가 \(x=1\)과 \(x=-1\)에서 연속이
므로 \(b=
[②]
. 또한, \(lim
x→1\) \(\frac{g(x)+1}{f(x)} = 1이므로 c=\) [③]
. 따라서 g(p)=
[④]\)

a>1인 상수 a에 대하여 곡선 y=4+ \(loga\) (x+2)와 직선 y=5가 점 A 에서 만나고, 곡선
y=ax+2+4와 직선 x=-1이 점 B 에서 만난다. 두 직선의 교점이 점 P 일 때, 삼각형
PAB 의 넓이가 2가 되는 a의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
- 241 -

모든 실수 x에 대하여 부등식 cos2x+4sinx+k \(\le\) 0이 항상 성립하도록 하는 실수 k의 최댓값
을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
(x-2)f(x)\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{x^2+a}-5}{x^2+4}
를 만족시킨다. \(\dfrac{a}{f(2)}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, a는 양수)

일차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x)\) \(= x\int_0^x\) \(tf(t)-11)dt\) \(- \int_0^x\) \(t^2f(t)dt\)
라 할 때, 함수 \(g(x)\)는 \(x=2\)에서 극솟값 \(-20\)을 갖는다. 함수 \(g(x)\)가 \(x=k\)에서 또 다른 극
솟값을 가질 때, \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(k \ne\) 2)

- 246 -
모든 자연수 n에 대하여 기울기가 -\frac{2이고 원 \(x^2 + y^2 = \dfrac{1}{9^n}\)
ln\)이라 하고, 직선 \(ln\)과 \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(a_{n}\) 이라 하자. \(\sum k = 1 < br/ > 10 a_{k}\)의 값을
구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
원 \(x^2 + y^2 = \frac{1}{9n^2}의 반지름의 길이가 \frac{1}{3n}이고 이 원에 접하는 직선 l_n

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\) 중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \(- 1, \infty\)에서 정의된 함수 \(f(x)\) \(=\) \(g(x)\) \(- \frac{x}{1 + x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x < 1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ① ], x > ;\)\(1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ② ] .\)

\(f(1)\) \(= \frac{1}{2}\) 이므로 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(= [ ③ ],\)

\(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(=\) [ ④ ] 이다.

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \(k, ak^2\) 에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)}\) \(- 5 \times\) \(2^{f(x)+1}\) \(+ 24 = 0\) 이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\) 축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \(a, b\)이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(b \ne 0\))

수열 \(a_n\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합 \(S_n\) 이 \(S_n =\) \(\frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty}\) \(\frac{f(x)-x^3}{x^2}\) \(= - 9\)와 \(\lim_{x \to 0}\) \(\frac{f(x)}{x}\) \(= 14\)를 만족할 때, \(\lim_{x \to 2}\) \(\frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x)\) \(= \log_{|a + 1|} x\)의 최댓값이 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a \ne - 1\))

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t\) \(\ge 0\) 에서의 속도를 각각 \(v_1(t)\)\(,\)\(v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t)\) \(= 2t^3 - 12t^2 + 24t,\)\(v_2(t)\) \(= \frac{3}{2}t^2 + 9a a \ge 0\)이다. 두 점 \(A, B\)가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= - x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \(a,\)\(f(a))\) \(0 < a < 3\) 에서의 접선을 \(l\) 이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(l, x\) 축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.