$0 \le x \lt \frac{\pi}{2}$일 때, 방정식 $3\cos^2 x - \sin x\cos x - 2\sin^2 x = 0$의 실근을 구하는 과정을 서술하시오.

수열 $\{a_n\}$에 대하여 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_1 = 3$이고 모든 자연수 $n$에 대하여 $S_{n+1} = 3S_n + 2$를 만족시킬 때, $\log_3 \frac{8}{a_6}$의 값과 $S_7$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = x^2 - 3x + k$에 대하여 함수 $y = \frac{3x+1}{2\{f(x)\}^2 - 2xf(x) + 5f(x)}$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 $k$의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

실수 $t (0 \le t \le 3)$에 대하여 점 $(t, \sqrt{27-t^3})$과 원점 사이의 거리의 제곱을 $f(t)$라 하자. 닫힌구간 $[0, 3]$에서 함수 $f(t)$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 할 때, $M \times m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

$-\frac{1}{4} \lt x \lt \frac{3}{4}$에서 기울기가 양수이고 점 $(\frac{1}{4}, 0)$을 지나는 직선과 함수 $y = \tan 2\pi x$의 그래프가 만나는 두 점의 $x$좌표를 각각 $a, b (a \lt b)$라 하자. $a + 2b = \frac{7}{6}$일 때, $\sin (2a+b)\pi$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f'(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. $0$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 다음이 성립한다. $$\frac{3}{4}f'(x) - f'(0) + \frac{23}{4}x^2 - 4 \le \frac{f(3x) - f(0)}{3x} \le \frac{1}{2}x^4 + 5x^2$$

최고차항의 계수가 $1$인 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{3}$
(나) $\lim_{x \to 0} \left\{ \left(x^2 + \frac{1}{x}\right) f(x) \right\}$가 존재한다.
(다) $\lim_{x \to -1} \left\{ \left(x^2 + \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)} \right\} = 3$ $\int_{-2}^2 |f(x)| dx$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

점 $A$의 좌표를 $(-2,0)$이라 하고, 함수 $f(x) = \log_2 (x+2)$의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 $B$라 하자. $2$ 이상인 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 $x$좌표가 $2^n$인 점을 $P$라 하고 두 삼각형 $PBO$, $PBA$의 넓이의 차를 $S_n$이라 할 때, $S_n \gt 2026$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $O$는 원점이다.)

실수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = (x-2)(x-a)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하자. $x$에 대한 방정식 $F(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $2$일 때, $F(0)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $2 \lt a \le 6$)

공비 $r$가 음수인 등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$ 이라 하자. $\frac{S_4-S_1}{S_{10}-S_4} = \frac{64}{9}$ 일 때, $r$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a_1 \neq 0, r \neq -1$)

다항함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x^4-5}-f(x)}{6x^2+1} = \frac{1}{3}$ 일 때, 함수 $g(x) = \begin{cases} f(1-x)-f(x) & (x < 1) \\ f(x) & (x \ge 1) \end{cases}$ 라 하자. 함수 $g(x)$가 $x = 1$에서 미분가능할 때, $f(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = 5^{3x+3} - 5^{2x+\log_2 k}$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 $a$라 하자. $1 \le a \le 3$을 만족시키는 모든 $k$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$와 두 실수 $a, b$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a + b + f(3)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 함수 $g(x) = \frac{x}{f(x^2+9)}$ 는 $x = a$에서만 불연속이다.
(나) $\lim_{x\to -3} \frac{f(x-2)}{f(x^2)} = b$

그림과 같이 중심이 $O$이고 길이가 $6$인 선분 $AB$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $AB$ 위의 점 $P$ 에 대하여 $\overline{PB} = \overline{PC}$ 가 되도록 호 $PA$ 위에 점 $C$ 를 잡는다. 선분 $OP$ 가 선분 $BC$ 와 만나는 점을 $D$라 하자. 사각형 $ACPD$가 평행사변형일 때, 선분 $AP$ 의 길이와 $\sin(\angle PBC)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \int_{0}^{2} f(t)dt + \left\{\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2}}f(t)dt\right\}^2$ 이다.
(나) 임의의 두 실수 $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$)에 대하여 $f(x_2) - 3x_1^2 > f(x_1) - 3x_2^2$ 이 성립한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 $0 \le x < 1$일 때 $g(x) = f(x) + ax^2$이고, 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x + 1) = g(x) + b$를 만족시킨다. $\int_{2}^{3} g(x)dx = \frac{79}{12}$ 일 때, $a$와 $b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수가
$f'(x) = \begin{cases} -2 & (x > b) \\ -4x^3 - 12x^2 - 9x - 2 & (x \le b) \end{cases}$
이다. 함수 $g(x) = |f(x)|$이고 세 집합 $A, B, C$ 를
$A = \left\{x \mid \lim_{h\to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = 0\right\}$,
$B = \left\{x \mid \lim_{h\to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = 0\right\}$,
$C = \{g(x) \mid x \in A\}$라 할 때, $n(A) = 3, n(B) = 2, n(C) = 2$이다. 집합 $C$ 의 모든 원소를 구하는 과정을 서술하시오.

시각 $t = 0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 $P, Q$가 있다. 시각 $t$ ($t \ge 0$)에서의 점 $P$ 의 속도 $v_1(t)$와 점 $Q$의 가속도 $a_2(t)$는 $v_1(t) = -\frac{1}{2}t^2 + \frac{5}{2}t$, $a_2(t) = 2t - \frac{1}{2}$ 이다. 시각 $t = k$일 때, 두 점 $P, Q$의 속도가 같고 점 $Q$의 가속도가 점 $P$ 의 가속도의 $7$배이다. $t = 0$에서 $t = k$까지 두 점 $P, Q$가 움직인 거리의 차를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $k$는 상수이다.)

상수 $a$와 $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$에 대하여, 이차방정식 $3x^2 - \sqrt{5}x + a = 0$의 해가 $\sin \theta, \cos \theta$ 이다. $\sin \theta - \cos \theta$의 값을 $b$라 할 때, $ab$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

부등식 $\log_2rac{x}{8} imes \log_2rac{x}{64} < 40$ 을 만족시키는 자연수 $x$ 의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 실수인 등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 $a_2 a_3 = rac{3}{2}$, $a_7 a_8 = 54$ 일 때, $a_5^2$ 의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
등비수열 $\{a_n\}$ 에 대하여 세 수 $a_2$, [①], $a_8$ 이 이 순서대로 등비수열을 이루고, 또한 세 수 $a_3$, [②], $a_7$ 이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 $a_5^4 = $ [③] 이다. 따라서 $a_5^2$ 의 값은 [④] 이다.

$\pi \le x < 2\pi$ 에서 $x$ 에 대한 방정식 $|6\sin x+1|=k$ 가 서로 다른 세 실근 $lpha, eta, \gamma$ ($lpha<eta<\gamma$) 를 가질 때, $k\left(rac{eta+\gamma}{lpha} ight)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $k$ 는 상수이다.)

곡선 $Cy=x^4-5x^3-9x^2+2x-3$ 위의 $x$ 좌표가 양수인 점에서 접하는 직선 중 기울기가 최소인 접선의 방정식을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. 곡선 $C$ 에 접하는 접선의 접점의 $x$ 좌표를 $t$ , 접선의 기울기를 $f(t)$ 라 하면, $t=
[①]
$ 일 때 $f(t)$ 는 최솟값 $
[②]
$ 을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점 은 점 $(
[③]
)$ 이고 접선의 방정식은 $y=
[④]
$ 이다.

두 집합 $A=\{x| (rac{1}{4})^{-x^2+5x+3} < 4^{x-6}, x ext{는 정수}\}$, $B=\{x| x = 3 - a_2 imes (rac{1}{3})^{-2a-k}, a \in A\}$ 에 대하여 집합 $B$ 의 모든 원소의 곱이 $1$ 일 때, 상수 $k$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 모든 사차함수 $f(x)$ 에 대하여 $f(2)$의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) $\lim_{x o 1} rac{f(x)}{x-1} = 4$
(나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $|f(x)|\le |x g(x)|$ 이고, $g(0)=-4$ 인 연속함수 $g(x)$ 가 존재한다.

최고차항의 계수가 $1$이고 모든 항의 계수가 정수인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=f(x)+2f'(x)$ 라 하자. $f(0)=g(0)=0$ 이고, $x\ge k$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 $g(x)\ge 0$ 을 만족시키는 실수 $k$의 최솟값이 $0$일 때, $f(2)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x)=\int_{0}^{x} f'(t)dt+(x^2+x+1)f(x)+1$ 이라 할 때, 함수 $g(x)$ 가 $x=0$ 에서 극솟값 $-1$ 을 갖는다. $g(1)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 두 실수 $a, b$ 의 순서쌍 $(a,b)$ 를 모두 구하는 과정을 서술하시오.
(가) $f(x)$ 는 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(-x)=f(x)$ 를 만족시키는 다항함수이다.
(나) $\lim_{x o \infty} rac{f(x)-x^2}{x-a} = b$
(다) $\lim_{x o a} rac{|f(x)|}{(x-a)^k} = 1$ 인 자연수 $k$ 가 존재한다.

- 259 -
함수 $f(x)$ =- $x^3$ +3 $x^2$ +9x+a가 닫힌구간 -1,6에서 최솟값 -40을 갖는다. 곡선
y= $f(x)$ 와 직선 y=k가 만나는 점의 개수가 2가 되도록 하는 모든 상수 k의 값의 합을 구하
는 과정을 서술하시오. (단, a는 상수)

sin $\theta$ t $a_{n} \theta$ =-\frac{8일 때, sin( $\frac{3\pi-\theta)의$ 값을 구하는 과정을 서술하시오.}{2} }{3}

첫째항이 a이고 공차가 2a인 등차수열 { $a_{n}$ }에 대하여 $\sum$ k=1
10\frac{1}{ $a_{k} a_{k}$ +}
3
= $\frac{5일 때,}{7} a_{3}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, a>0)

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$ 의 그래프가
x축과 서로 다른 두 점에서 만나고, x $\le$ a인 모든 실수 x에 대하여 부등식 $f(x) \le$ 0이 성립
하도록 하는 실수 a의 최댓값은 4이다. f(0)=-16일 때, f(3)의 최솟값을 구하는 과정을 서
술하시오.

실수 a와 6이하의 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족시키는 순서쌍 (a,n)의 개수를 구하는
과정을 서술하시오.
(가) 2 $a_{2}$ -9a+4=0
(나) $a_{3}$ n2-17n< $a_{n}$ 2-30

- 265 -
0이 아닌 세 수 a, b, c에 대하여, x에 대한 이차방정식 a $x^2$ -2bx+c=0이 x=3에서 중근
을 갖는다. 한편, 세 수 a, 5, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때, a,b,c의 값을 구하는 과정을
서술하시오.

양의 실수 a에 대하여 사차함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) f(1)=- $\frac{24}{5}$ (나) lim
x→a{ $\frac{2}{f(x)}$ - $\frac{5}{(x-a)2}$ }=5
f(8)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

원에 내접하는 사각형 ABCD 에서 대각선 AC , BD 가 만나는 점을 E 라 하자. $\frac{6}{BD=}$ ,
∠BAD =60이고 대각선 AC 는 ∠BAD 를 이등분하며 ∠ABD =45이다. 삼각형 ABE 의
넓이를 S, 삼각형 CDE 의 넓이를 T라 할 때, S-T의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성
하시오.
삼각형 ABC 와 삼각형 ABD 가 동일한 원에 내접하므로 사인법칙을 사용하면 $\frac{C}{B}$ 의 값
은
[①]
이다. ∠CBD =∠CAD 이므로 ∠ABC =75이다.
x= $\frac{AC 라 하고 삼각형 ABC 에서 코사인법칙을 사용하면}{AB= / }$ 한편 ∠CBD =∠CDB 이므로 $\frac{BC 이다. 따라서 삼각형 BCD 의 넓이는 3\sqrt / 3이다.}{CD= / } x^2$ 의 값은
[②]
이다. 따라서 삼각형 ABC 의 넓이의 값은
[③]
이다.
삼각형 ABC 와 삼각형 BCD 는 삼각형 BCE 를 공통으로 포함하므로 S-T의 값은
[④]
이다.

상수 a에 대하여 함수 $f(x)$ ={ $x^3$ -3a $x^2$ +2ax+1
(x $\le$ 1)
-4x+3
(x>1)
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $\int$ -1
9 $f(x)$ dx- \int$ 2
9 $f(x)$ dx의 값을 구하는 과정을 서술하시
오.

함수 $g(x)$를 $x$와 $1$중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 $(-1, \infty)$에서 정의된 함수 $f(x) = g(x) - \frac{x}{1+x}$에 대하여 $\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$과 $\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

$x < 1$일 때 $f(x) =$ [ ① ], $x > 1$일 때 $f(x) =$ [ ② ] .

$f(1) = \frac{1}{2}$이므로 $\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =$ [ ③ ] ,

$\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =$ [ ④ ] 이다.

곡선 $y=ax^2$ 위의 원점이 아닌 점 $(k, ak^2)$에서의 접선이 점 $\left(\frac{1}{2a}, 0\right)$을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, k$는 상수이고 $a \ne 0$)

실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $f(x)=3^{|x|}+a$라 하자. $x$에 대한 방정식
$4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0$이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

좌표평면에서 시초선을 원점에서 $x$축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 $\theta$를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 $(a, b)$ 이다.
$3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3$일 때, $\frac{a}{b}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $b \ne 0$)

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합 $S_n$이 $S_n = \frac{n^2(n+2)^2}{9}$일 때, $a_1 + a_{100}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 $f(x)$가 $$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9$$와 $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14$$를 만족할 때, $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 $\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}$인 함수 $f(x) = \log_{|a+1|} x$의 최댓값이 2가 되도록 하는 모든 실수 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a \ne -1$)

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도를 각각 $v_1(t), v_2(t)$라 할 때,
$v_1(t) = 2t^3 - 12t^2 + 24t, v_2(t) = \frac{3}{2}t^2 + 9a (a \ge 0)$이다. 두 점 A, B가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.