상수 $a$에 대하여 이차함수 $f(x)$가
$$9 \times $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = $$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = a$$$
를 만족시킬 때, $a$와 $f(7)$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.
모든 항이 정수인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$$a_{n+1} = \begin{cases} -2a_n + 7 & (a_n \lt 4) \\ a_n - n + 5 & (a_n \ge 4) \end{cases}$$
를 만족시킨다. $a_6 = 11$일 때, $a_1$, $a_4$, $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = a\sin bx + c (0 \le x \le \frac{2\pi}{b})$는 $x=\alpha$에서 최댓값 $10$, $x=\beta$에서 최솟값 $m$을 갖는다. $y=f(x)$의 그래프 위의 두 점 $A(\alpha, 10), B(\beta, m)$을 지나는 직선을 $y=g(x)$라 하자. $\beta-\alpha = 2\pi$이고 $f(\frac{\pi}{3}) = 8$일 때, 직선 $y=g(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=\alpha, x=\beta$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b, c$는 양수이고, $a \lt c$이다.)
$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 실수 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f_n(a)$라 하자. $2f_{n+1}(a^n) + (-1)^n \times f_n(f_{n+1}(a))$의 값이 최소일 때, $f_n(a) - 3f_{n+1}(a^n) + f_{n+1}(|a|^n - a^n)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가
$$f(x) = \begin{cases} (x+5)(x-1) & (x \lt 0) \\ x-4 & (x \ge 0) \end{cases}$$
일 때, 모든 실수 $a$에 대하여 극한값 $\lim_{x \to a} f(x)f(k-x)$가 존재하도록 하는 실수 $k$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.
다항함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하자. 모든 실수 $x$에 대하여
$$F(x) = x^2 f(x) - 2x^4 + ax + 1$$
이 성립할 때, $F\left(\frac{2}{a f'(0)}\right)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a$는 상수이다.)
수학Ⅰ로그함수의 그래프와 삼각형의 넓이난이도: 중⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분
상수 $a(a \gt 1)$와 양수 $t(t \gt 1)$에 대하여 곡선 $y=\log_a x + 3$과 곡선 $y=\log_{\frac{1}{a}} x + 1$이 만나는 점을 $A$라 하고, 직선 $x=t$와 두 곡선이 만나는 점을 각각 $B, C$라 하자. $\overline{AB} = \frac{10}{3}$이고 삼각형 $ABC$의 넓이가 $\frac{16}{3}$일 때, $a$와 $t$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, 점 $B$와 점 $C$의 $y$좌표는 정수이다.)
수학Ⅱ다항함수의 극대와 극소, 미적분학 기본정리난이도: 중⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분
다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
$$4f(x) = -2x^3 + 6x + \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{1}^{1+h} \{f(t)\}^2 dt$$
를 만족시킬 때, $f(x)$의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.
$0 \le \theta < 2\pi$에서 $\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right) - \cos\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right) = -\frac{3}{4}$ 일 때, $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
모든 항이 양수인 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n a_{n+1} = 2^{\sin \frac{n\pi}{6}}$, $b_n b_{n+1} = 2^{\cos \frac{n\pi}{3}}$, $c_n c_{n+1} = 2^{\tan \frac{2n-1}{4}\pi}$ 을 만족시킬 때, $\sum_{n=1}^{100} \log_2(a_n b_n c_n)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
그림과 같이 $1 < k < 16$인 자연수 $k$에 대하여 함수 $y = |(x-1)(x-k)|$의 그래프가 직선 $y = m(x - 1)$과 서로 다른 세 점에서 만난다. 세 점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 $a_1, a_2, a_3$이라 하자. 세 수 $a_1, a_2, a_3$이 이 순서대로 공비가 $r$인 등비수열을 이룰 때, 공비 $r$가 유리수가 되도록 하는 모든 자연수 $k$의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $m$은 양수이다.)
방정식 $\log_5(5^x + 10) = \frac{x}{2} + \log_5 \frac{10}{25} + 2$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $\frac{1}{5^\alpha} + \frac{1}{5^\beta}$의 값을 $m$이라 하자. 정의역이 $\{x \mid -\sqrt[5]{5} \le x \le -\frac{1}{125}\}$인 함수 $y = -\log_5(-x) + a$의 최댓값은 $M$이고 최솟값이 $m$일 때, $a, M, m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a$는 상수이다.)
양수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$는 $f(x) = (k - x)^3 + 6(k - x)^2 + 3(k - x) - 18$이라고 하자. 닫힌구간 $[0, k]$에서 정의된 함수 $g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt$가 열린구간 $(0, k)$에서 극값을 갖도록 하는 $k$의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.
(가) $f(x)$의 최솟값은 음수이다.
(나) 함수 $y = f(x)$의 그래프와 직선 $y = f(2)$가 서로 다른 두 점 $A, B$에서 만나고 두 점 $A, B$의 $x$좌표의 합은 $6$이다.
(다) $\lim_{x\to 5} \frac{1}{x-5} \left\{ \int_{a}^{x} |f(t)|dt - 2\int_{a}^{3} |f(t)|dt \right\} = 6$
좌표평면 위의 점 $A(4, 4)$와 실수 $m$ ($m > 1$)에 대하여 점 $A$에서 직선 $y = mx$에 내린 수선의 발을 $B$ 라 하자. 점 $B$ 를 지나며 $x$축에 수직인 직선이 선분 $OA$와 만나는 점을 $C$ 라 하자. 삼각형 $ABC$ 의 넓이를 $S(m)$, 삼각형 $OBC$ 의 넓이를 $T(m)$이라 할 때, $\lim_{m\to 1^+} \frac{S(m)}{(m-1)T(m)}$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $O$는 원점이고, 점 $B$의 $x$좌표는 $0$보다 크다.)
다음 로그함수 $y=\loga(x-1)(a>0,a\ne1)$ 의 성질에 관한 내용을 완성하시오. $
1) a>1$ 일 때, $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값은 증가한다. $0[①] $ 한다. $2) a$ 의 값에 관계없이 그래프는 점 $( [②] )$ 을 지난다. 3) 함수 $y=\loga(x-1)$ 의 그래프와 함수 $y= [③] $ 의 그래프는 $x$ 축에 대하 여 대칭이다. 4) 함수 $y= [④] $ 의 그래프는 함수 $y=\log a(x-1)$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향 으로 3만큼, $y$ 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
다항함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $ ($ 가 $) \lim x \to ∞ f(\frac{1)}{x}=-3 ($ 나) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=3x^2-4x+2x\int_{0}^{2} f(t)dt+a f′(a)$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a$ 는 상수이다.)
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
$$9 imes \lim_{x o 3} rac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x o 2} rac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = a$$
상수 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
첫째항이 $a_1$ 이고 제 $n$ 항까지의 합이 $Sn=\frac{3a_1n2}{2}-\frac{1a_1n}{2}$ 인 등차수열 ${a_{n}}$ 에 대하여 $\sum k=1 4\frac{7}{a_2ka_2k+2} =1$ 일 때, $a_5$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a_1>0)$
양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다. $ ($ 가 $) f(x)={ $2x^2-8x$ $(0($ 나) 모든 양의 실수 $x$ 에 대하여 $f(x+6)=f(x)$ 이다. $
$ 양의 실수 m에 대하여 함수 $g(x)=f(x)-mx$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 극대 또 는 극소인 모든 실수 $\alpha$ 를 작은 수부터 차례대로 나열한 것을 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_{n}$ ,...이라 하자. $\alpha_4<10\le \alpha_5$ 이고 $$$$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=23$$$$ 일 때, m의 값을 구하는 과정을 서술하시 오.
다음 조건을 만족시키는 모든 일차 이상의 다항함수 $f(x)$ 에 대하여 $\int_{0}^{6} f(x)dx$ 의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. $ ($ 가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $\int_{- / 2}^{3} x tf′(t)dt=(\frac{2x}{3}+1){f(x)+k}$ 이다. (단, k는 실수이 다. $) ($ 나 $) x$ 에 대한 방정식 $f(x)=m$ 이 실근을 갖도록 하는 실수 m의 최솟값은 $-9$ 이다. $ ($ 다 $) f(0)\ge 0
$ 다항함수 $f(x)$ 의 최고차항을 $axn(n$ 은 자연수, $a$ 는 0이 아닌 상수)이라 하자. 조건 $ ($ 가)에서 $\int_{- / 2}^{3} x tf′(t)dt=(\frac{2x}{3}+1){f(x)+k}$ 의 양변을 $x$ 에 대해 미분하고 최고차 항을 비교하면 $n$ 의 값은 $ [①] $ 이다. 한편, 조건 (나)로부터 k의 값은 $ [②] $ 이 다. 조건 (다)에서 $f(0)\ge 0$ 이므로 $\int_{0}^{6} f(x)dx$ 의 값은 $a$ 의 값이 $ [③] $ 일 때 최 소이다. 따라서, $\int_{0}^{6} f(x)dx$ 의 최솟값은 $ [④] $ 이다.
원점 O 에서 점 $A(0,13)$ 을 지나고 기울기가 음인 직선 l에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, $\frac{2\sin \theta-3\cos \theta\text{$ 의 값을 구하는 과정을 서술하시오 $}. (\text{$ 단 $}, / 2}{OH} = 5 $ 이다. 직선 l이 $x$ 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $} \pi<\theta<\pi)$
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 모든 실수 $x$ 에 대하여 ${f(x)}4-4x^2{f(x)}2-4{f(x)}2+16x^2=0$ 을 만족시킨다. 함수 $f(x)$ 의 최댓값이 0이고 최솟값이 $-2$ 일 때, 함수 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 의 $x=0$ 에서의 좌극한과 우극한을 구하는 과정을 서술하시오.
0< $\theta$ < $\pi$ 인 $\theta$ 에 대하여 t $a_{n} \theta$ +\frac{1}{t $a_{n} \theta$ } =-2일 때, $\frac{1}{cos\theta}$ - $\frac{1}{sin\theta}$ 의 값을 구하는 과정을 서술 하시오.
p>0, q<0인 두 정수 p, q와 모든 자연수 n에 대하여 수열 { $a_{n}$ }이 $a_{1}$ =30, $a_{n}$ +1= $a_{n}$ +3pn+q를 만족시킨다. 두 부등식 $a_{3}$ >0, $a_{4}$ <0을 만족시키는 정수 p, q의 순서쌍 (p,q)를 모두 구하는 과정을 서술하시오.
a>1인 실수 a에 대해 곡선 y= $logax$ 와 원 C (x- $\frac{5)}{3}$ 2 + $y^2$ = $\frac{17의}{9}$ 두 교점을 P , Q 라 하자. 선분 PQ 가 원 C 의 지름일 때, a의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. 선분 PQ 가 원 C 의 지름이므로 선분 PQ 는 원의 중심 ( $\frac{5,0)을 지난다.}{3}$ 따라서 양수 b에 대해 점 P 의 x좌표를 $\frac{5-b라 할 때,}{3}$ 점 Q 의 x좌표는 [①] . 점 P 와 점 Q 의 y좌표의 부호가 서로 반대임을 이용하면, b= [②] . 따라서 점 Q 의 y좌표는 [③] . 점 Q 는 곡선 y= $logax$ 와 원 C 의 교점이므로, a= [④] .
두 연속 함수 $f(x)$ , $g(x)$ 가 lim x→2 $\frac{f(x)-4=2,$ lim}{x-2} x→2 $\frac{g(x)+2=-1}{x-2}$ 을 만족시킬 때, lim x→2 $\frac{f(x)g(x)+8의 $ 값을 구하는 과정을 $ 서술하시오.}{x^2-4}$
최고차항의 계수가 3인 이차함수 $f(x)$ 는 x=3에서 극값을 갖고, 모든 실수 x에 대하여 $g(x)$ =(1-x) $f(x)$ + \int$ 1 x f(t)dt 를 만족시킨다. 곡선 y=x $g(x)$ x와 직선 y=kx가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 k 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $g(x)$를 $x$와 $1$중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 $(-1, \infty)$에서 정의된 함수 $f(x) = g(x) - \frac{x}{1+x}$에 대하여 $\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$과 $\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
$x < 1$일 때 $f(x) =$ [ ① ], $x > 1$일 때 $f(x) =$ [ ② ] .
좌표평면에서 시초선을 원점에서 $x$축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 $\theta$를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 $(a, b)$ 이다. $3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3$일 때, $\frac{a}{b}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $b \ne 0$)
원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도를 각각 $v_1(t), v_2(t)$라 할 때, $v_1(t) = 2t^3 - 12t^2 + 24t, v_2(t) = \frac{3}{2}t^2 + 9a (a \ge 0)$이다. 두 점 A, B가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = -x^2 + 6x - 9$에 대하여, 곡선 위의 점 $(a, f(a))$ $(0 < a < 3)$에서의 접선을 $l$이라 하자. $y=f(x)$의 그래프와 접선 $l$, $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.