[제시문]

(ㄱ) 실수에서 정의된 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 다음과 같다.

$f(x) = x^3 - 6x^2$,   $g(x) = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 상수 $L$은 다음과 같다.

방정식 $f(x) - g(x) = 0$의 유리수가 아닌 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때,

$L = \alpha^3 + \beta^3$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 상수 $m$은 다음 조건을 만족시킨다.

방정식 $f(x) - mx + m + 4 = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 두 개이다.

[제시문]

(ㄱ) 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$는 다음과 같다.

$g(x) = \begin{cases} 3x & (x < 0, \; x > 3) \\ f(x) & (0 \le x \le 3) \end{cases}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $g(x)$에 대하여 함수 $h(x)$는 다음과 같다.

$h(x) = \lim_{t \to 0+} g(x+t) \cdot \lim_{t \to 3+} g(x+t)$

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 함수 $h(x)$는 모든 실수 $x$에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

$\int_{-5}^{5} h(x) dx = 600$

[제시문]

(ㄱ) 삼각형 $ABC$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 세 변의 길이 중 가장 짧은 변의 길이는 $3$이다.

(나) $\sin 2B = \sin 2C$ 또는 $\cos 2B = \cos 2C$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$에 대하여 집합 $M$은 다음과 같다.

집합 $M$은 $\cos B = \frac{1}{3}$일 때 $\overline{BC}$가 가질 수 있는 모든 값의 모임이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$에 대하여 상수 $p, q, r$은 다음과 같다.

(가) 선분 $AB$의 중점을 $P$라 할 때, 삼각형 $APC$의 외접원의 넓이를 $S_1$, 삼각형 $BPC$의 외접원의 넓이를 $S_2$라 하자.

(나) $\frac{S_1}{S_2}$의 값이 $\frac{1}{8}$일 때 $\overline{BC}$의 최솟값을 $p$, $\frac{S_1}{S_2}$의 값이 $\frac{3}{8}$일 때 $\overline{BC}$의 최솟값을 $q$, $\frac{S_1}{S_2}$의 값이 $\frac{5}{8}$일 때 $\overline{BC}$의 최솟값을 $r$이라 하자.

[제시문]

(ㄱ) 첫째항이 $3$, 공차가 $7$인 등차수열 $\{a_n\}$과 자연수 $N$에 대하여 집합 $A, B$는 다음과 같다.

$A = \{ a_k \mid k\text{는 } 1 \le k \le 100\text{인 자연수} \}$

$B = \{ a_k \mid k\text{는 } 1 \le k \le N\text{인 자연수} \}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 집합 $A$에 대하여 $A$의 원소 중 하나를 제외한 나머지 원소들의 평균으로 가능한 가장 작은 값을 $m$, 가장 큰 값을 $M$이라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 집합 $B$에 대하여 $B$의 원소 $p$는 다음 조건을 만족시킨다.

집합 $B$의 원소 중 $p$를 제외한 나머지 원소들의 평균은 $97 + \frac{1}{9}$ 이다.

[제시문]

(ㄱ) 양의 실수 $k$에 대하여 삼차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = kx + 1$은 두 점에서 만나고, 만나는 두 점의 $x$좌표는 각각 $\alpha, 1$ 이다. (단, $\alpha < -1$)

(나) 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = kx - 1$은 두 점에서 만나고, 만나는 두 점의 $x$좌표는 각각 $-1, \beta$ 이다. (단, $\beta > 1$)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 실수 $k$와 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$는 다음과 같다.

$g(x) = f(x) - kx$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 실수 $c$는 다음 조건을 만족시킨다.

곡선 $y = f(x)$와 곡선 $y = x^2 + cx + c$는 두 점에서 만나고, 만나는 두 점의 $x$좌표는 각각 $t, 2$이다. (단, $t < 2$)

[제시문]

(ㄱ) 실수 $a, M$과 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 실수 $t$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{e^{tn}}$ 은 $t \le a$ 이면 발산하고 $t > a$ 이면 수렴한다.

(나) $t > a$인 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)$의 $x = t$ 에서의 함숫값은 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{e^{tn}}$ 의 합과 같다.

(다) 구간 $(a, \infty)$에서 함수 $f(x)$의 최댓값은 $M$이다.

(ㄴ) 닫힌구간 $[0, 2\pi]$ 에 속하고 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $\alpha$의 집합을 $A$라고 하자.

$\frac{\cos \alpha}{e^{\cos \alpha}} \le \frac{\sin \alpha}{e^{\sin \alpha}}$

(ㄷ) 두 함수 $g(x)$와 $h(x)$가 다음과 같을 때, 두 곡선 $y = g(x)$, $y = h(x)$와 두 직선 $x = 0, x = 2\pi$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라고 하자.

$g(x) = e^{\cos x}\sin x$,   $h(x) = e^{\sin x}\cos x$

[제시문]

(ㄱ) 각 변의 길이가 자연수인 삼각형 $ABC$는 다음을 만족시킨다.

$\sin C \cos(B+C) + \sin B = 0$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$에 대하여 내접원의 반지름을 $r$, 외접원의 반지름을 $R$, 선분 $AB$의 길이를 $c$라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 삼각형 $ABC$가 다음을 만족시킬 때, 선분 $BC$의 길이를 $a$라고 하자.

삼각형 $ABC$의 내접원이 선분 $AB$와 만나는 점을 $P$라고 할 때, 점 $P$는 선분 $AB$를 $m:n$으로 내분한다. (단, $m, n$은 $3$ 이하의 자연수이다.)

[제시문]

(ㄱ) 삼차함수 $f(x)$는 다음을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) + f(-x) = 4$

(나) $f'(0) > 0$ 이고 $f'(1) - f'(0) = -3$

(ㄴ) 실수 $k$와 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 실근의 개수를 $A(k)$라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 제시문 (ㄴ)의 $A(k)$가 다음을 만족시킬 때, $I = \int_{0}^{2} f(x)dx$라고 하자.

(가) $A(0) \ge A(18) \ge A(20)$

(나) $A(0) - A(18) = A(20)$

[제시문]

(ㄱ) 첫째항이 양의 실수 $a$이고 공차가 $b$인 등차수열 ${a_n}$에 대하여, $a_k + a_m = 0$을 만족시키는 순서쌍 $(k, m)$ (단, $k < m$)의 개수가 한 개 또는 두 개가 되도록 하는 공차 $b$ 중 가장 큰 값을 $d$라고 하자.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 $a, d$에 대하여 수열 ${b_n}$이 첫째항이 $a$이고 공차가 $d$인 등차수열일 때, $S$는 다음과 같다.

$S = \sum_{k=1}^{52} \frac{1}{\sqrt{|b_k|} + \sqrt{|b_{k+1}|}}$

[제시문]

(ㄱ) 함수 $f(x)$와 실수 $k$, 복소수 $z$는 다음 조건을 만족시킨다. (단, $i = \sqrt{-1}$)

(가) $f(x) = 2x^3 - 2(k+2)x^2 + (k^2 + 4k - 6)x - 2k^2 + 12$

(나) $3z - 1$은 방정식 $f(x) = 0$의 한 허근이다.

(다) $3z - 1$은 $2z - \frac{5}{3}i$의 켤레복소수이다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 집합을 $S$라 하자.

모든 실수 $x$에 대하여 $|a x^2 - 2(a+3)x + 11| \le \frac{1}{2}|f'(x)|$ 이다.

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 $1$인 사차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 0$

(나) 임의의 실수 $t$에 대하여 $\int{0}^{t} f(5+x)dx = \int{0}^{t} f(5-x)dx$ 이다.

(다) $f(x)$는 $x=10$에서 극값을 가진다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 실수 $M$은 다음 조건을 만족시킨다.

실수 $k$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 서로 다른 양의 실근의 개수를 $n$이라 할 때,
(가) $0 < k < M$ 이면 $n = 3$
(나) $k > M$ 이면 $n = 1$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$에 대하여 실수 $a, b, c$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0 < a < b < c$

(나) $f(a) = f(b) = f(c)$

(다) $c - a = \sqrt{70}$

[제시문]

(ㄱ) 좌표평면 위의 두 점 $A(-5, 0)$, $B(-4, 3)$에 대하여 두 점 $C, D$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 원 $x^2 + y^2 = 9$ 위의 두 점 $C, D$에서의 접선은 모두 점 $A$를 지난다.

(나) $BC < BD$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 네 점 $A, B, C, D$에 대하여 삼각형 $ABC$와 삼각형 $ABD$의 넓이 중 더 큰 값을 $S$라 하사.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 점 $A$와 다음 조건을 만족시키는 모든 점 $P, Q$에 대하여 삼각형 $APQ$의 넓이의 최댓값을 $M$이라 하자.

(가) 두 점 $P, Q$는 원 $x^2 + y^2 = 18$ 위에 있다.

(나) $PQ = 6$

(다) 세 점 $A, P, Q$는 한 직선 위에 있지 않다.

[제시문]

(ㄱ) 자연수 $m, n, l$과 상수 $a, b, c$에 대하여 두 함수 $f(x) = ax^{m+1} + bx^m$, $g(x) = x^n + cx^l$은 다음 조건을 만족시킨다. (단, $a \ne 0, b \ne 0, n > l$)

(가) $f(1) = 8, \quad g(1) = 2$

(나) $\lim_{x \to \infty} \frac{g'(x)}{f(x)} = 1, \quad \lim_{x \to 0} \frac{x g(x)}{f(x)} = \frac{1}{4}$

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 극한값 $L$은 다음과 같다.

$L = \lim_{x \to -1} \frac{g(x)}{f(x)}$

[제시문]

(ㄱ) 한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $ABCD$의 점 $A$에 바둑돌이 놓여있다. 동전을 던져 앞면이 나오면 $3$, 뒷면이 나오면 $2$만큼씩 정사각형의 둘레를 따라 시계방향으로 바둑돌을 옮기는 시행을 한다. $8$회 시행 후 바둑돌이 점 $A$로 돌아오게 되는 경우의 수를 $a$라고 하자.

(ㄴ) 한 변의 길이가 $1$인 정팔각형 $ABCDEFGH$의 점 $A$에 바둑돌이 놓여있다. 빨간 구슬, 노란 구슬, 파란 구슬이 한 개씩 들어있는 주머니에서 구슬을 한 개 꺼내 빨간 구슬이면 $3$, 노란 구슬이면 $2$, 파란 구슬이면 $1$만큼씩 정팔각형의 둘레를 따라 시계방향으로 바둑돌을 옮기는 시행을 한다. $8$회 시행 후 바둑돌이 점 $A$로 돌아오게 되는 경우의 수를 $b$라고 하자. (단, 꺼낸 구슬은 다시 주머니에 넣는다.)

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0) = 1$

(나) 함수 $f(x)$의 극값 중 하나는 $3$이다.

(다) 도함수 $f'(x)$는 $x=0$에서 극값을 가진다.

(ㄴ) 실수 $a, b$에 대하여 제시문 (ㄱ)의 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

실수 $k$에 대하여 방정식 $f(x) = k$의 실근의 개수를 $n$이라 할 때,
(가) $a \le k \le b$ 이면 $n \ge 2$
(나) $k < a$ 또는 $k > b$ 이면 $n = 1$

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 삼차함수 $f(x)$와 제시문 (ㄴ)의 실수 $a, b$에 대하여 실수 $k$가 $a \le k \le b$일 때, 방정식 $f(x) = k$의 실근 중에서 가장 작은 근을 $\alpha$, 가장 큰 근을 $\beta$라고 하자. 또한, 닫힌구간 $[a, b]$에 속하는 모든 $k$에 대한 $\beta - \alpha$의 최솟값을 $m$, 최댓값을 $M$이라고 하자.