1이 아닌 두 자연수 $a, b$에 대하여 $a:b=2:1$이고, 직선 $y=3$과 세 함수 $y = \log_2 x$, $y = \log_a x$, $y = \log_b x$의 그래프가 만나는 점을 각각 $\text{A, B, C}$라 하자. $\overline{\text{AC}}:\overline{\text{BC}} = 1:8$을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\sqrt{a^3+b^3}$의 값을 구하시오.
(2) 선분 $\overline{\text{AB}}$의 길이를 구하시오.
(3) 점 $\text{C}$의 좌표를 구하시오.

양수 $\alpha$에 대하여 함수 $g(x) = 5\cos\left(-\frac{x}{\alpha}+\frac{2}{3}\pi\right)$의 주기를 $h(\alpha)$라 하고
$$f(\alpha) = g(h(\alpha)) - 2\sin\left\{\frac{h(\alpha)}{12}+\frac{17}{6}\pi\right\}$$
이라 하자. 함수 $f(\alpha)$가 최댓값을 갖도록 하는 $\alpha$의 최솟값을 $m$이라 하고, 최솟값을 갖도록 하는 $\alpha$의 최솟값을 $n$이라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, $m$과 $n$은 양수이다.)

(1) $m$의 값을 구하시오.
(2) $n$의 값을 구하시오.
(3) $|h(m)-h(n)|$의 값을 구하시오.

함수 $f(x) = \log_a x\ (a>0, a \ne 1)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $1 < p < q$인 모든 실수 $p, q$에 대하여 $f(p)(q-1) > f(q)(p-1)$이다.
(나) $|f(8)| = 3$

함수 $y=f(x)$의 그래프를 $x$축에 대하여 대칭이동한 후, $y$축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 $y=g(x)$라 하자. 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\text{A, B}$라 하고, 두 그래프의 교점을 $\text{C}$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $f(x) = \log_a x$에서 밑 $a$의 값을 구하시오.
(2) 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 구하시오.
(3) 함수 $y=f(x)$의 역함수의 그래프를 원점에 대하여 대칭이동하고, 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 후, $x$축의 방향으로 $k$만큼 평행이동한 그래프가 점 $(-6, -1)$을 지날 때, 실수 $k$의 값을 구하시오.

모든 항이 자연수인 수열 ${a_n}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 아래의 조건을 만족시킨다.

(가) $a_{2n-1} = n^3 + 1$
(나) $a_{2n} - a_{2n-1} = d\ (d\text{는 상수})$
(다) $a_n < a_{n+1}$

다음 물음에 답하시오.

(1) $\sum_{n=1}^{13} a_n$의 최댓값과 최솟값의 차이를 구하는 과정을 서술하고, 차이를 구하시오.
(2) $\sum_{n=1}^{13} a_n$의 값이 최소일 때, $a_{16}$의 값을 구하시오.

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $f(x) = x^2+ax+b\ (a, b\text{는 상수})$와 상수 $k$에 대하여 함수 $g(x) = (x^2-2x+k)f(x)$라 할 때, 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $g'(2) \ne 0$이고, $\lim_{x \to 2} \frac{g(x)-f(x)}{x-2} = 0$이다.
(나) $f(t) = f'(t)$와 $g'(t) = 3f'(t)$를 동시에 만족시키는 실수 $t$가 존재한다.

다음 물음에 답하시오.

(1) 위의 조건을 만족시키는 실수 $t$의 값을 구하는 과정을 서술하고, $t$의 값을 구하시오.
(2) $\frac{b}{a}$의 값을 구하시오.
(3) (1)을 만족시키는 $t$에 대하여 $g(t+5) = \frac{m}{n}$일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m$과 $n$은 서로소인 자연수이다.)

함수 $f(x) = \begin{cases} 3x-18 & (x \ge 3) \\ -2x-3 & (x < 3) \end{cases}$ 에 대하여 함수 $g(x) = \int_0^x (t-3)f(t)dt$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $g(x)$가 극값을 갖도록 하는 $x$의 값을 모두 정확히 구하시오.
(2) $g(x)$의 최솟값을 구하시오.
(3) 함수 $y=g(x)$의 그래프와 직선 $y=n$과의 교점의 개수를 $a_n$이라 할 때, $\sum_{k=1}^{15} a_k$의 값을 구하시오. (단, $n$은 자연수이다.)

최고차항의 계수가 1인 이차함 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}$의 값이 존재하고, 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수가 $g'(x) = f(|x+5|) - f(|x|)$이다. 함수 $g(x)$가 $x=\frac{1}{2}$에서 극솟값을 가질 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 이차함수 $f(x)$를 구하시오.
(2) $x_0 \ne \frac{1}{2}$이고 $g'(x_0) = 0$을 만족시키는 두 실수 $x_0 = \alpha$와 $x_0 = \beta$를 구하는 과정을 서술하고, $\alpha, \beta$를 구하시오. (단, $\alpha < \beta$이다.)

(3) 함수 $g(x)$가 극댓값을 갖도록 하는 $x$의 값을 정확히 구하시오.

함수 $f(x)$가 $x \ge 0$에서 $f(x) = x^2-4x$이고, 모든 실수에 대하여 $f(-x)+f(x)=0$이다. 실수 $t$에 대하여 닫힌구간 $[t, t+2]$에서 $f(x)$의 최솟값을 $g(t)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $g(1)$의 값을 구하시오.
(2) $f(x) \ne g(x)$인 모든 $x$값의 범위를 구하시오.
(3) 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

그림과 같이 선분 $\text{AB}$를 지름으로 하는 반원 위에 $\overline{\text{CA}}=\sqrt[6]{3}, \overline{\text{CB}}=\sqrt[6]{24}$인 점 $\text{C}$를 잡는다. 점 $\text{C}$에서 선분 $\text{AB}$에 내린 수선의 발을 $\text{H}$라 할 때, $\overline{\text{BH}}=a, \overline{\text{CH}}=b$라 하자. 이차방정식 $x^2 - ax - \sqrt[6]{648} b = 0$을 만족하는 두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $a$의 값을 구하시오. (2.8점)
(2) $b$의 값을 구하시오. (3.2점)
(3) $\alpha^3 + \beta^3$의 값을 구하시오. (4점)

등차수열 ${a_n}$에서 $a_4 = 7, a_{11} = 21$일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 일반항 $a_n$을 구하시오. (2.5점)
(2) 수열의 합 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+2}}$의 값을 구하시오. (2.8점)
(3) 부등식 $\sum_{k=1}^m \frac{4}{a_k a_{k+2}} < \frac{13}{12}$을 만족시키는 자연수 $m$을 모두 구하시오. (4.7점)

모든 항이 양수인 수열 ${a_n}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $6S_n = a_n^2 + 3a_n - 10$을 만족시킨다. 다음 물음에 답하시오.

(1) $a_{10}$의 값을 구하는 과정을 서술하고, $a_{10}$의 값을 구하시오. (6점)
(2) 첫째항 $a_1$의 값을 구하시오. (1.5점)
(3) 수열의 합 $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값을 구하시오. (2.5점)

1이 아닌 양의 실수 $\alpha, \beta$에 대하여 이차방정식 $2x^2 - mx + n = 0$의 두 근을 $\log_2 \alpha$, $\log_2 \beta$라고 하자.

(1) $\log_\alpha \beta + \log_\beta \alpha = \frac{1}{4}$을 만족시키는 가장 작은 자연수 $m$의 값을 구하시오. (2.8점)
(2) 가장 작은 자연수 $n$의 값을 구하시오. (2.8점)
(3) 위에서 구한 $m, n$과 양수 $a, b, c, k$가 아래의 두 조건을 만족시킬 때, $k$의 값을 구하시오. (4.4점)
(가) $(2m)^a = (2n)^{2b} = k^c$
(나) $ab = bc - ac$

함수 $f(x) = \begin{cases} -3x & (x < 2) \\ 3(x-a) & (x \ge 2) \end{cases}$ 가 실수 전체 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하고, 함수 $g(x) = \int_0^x (t-2)f(t)dt$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 상수 $a$의 값을 구하시오. (1.5점)
(2) 함수 $g(x)$를 구하시오. (4점)
(3) 곡선 $y=g(x)$와 직선 $y=0$과의 교점 개수를 $b$, 직선 $y=3$과의 교점 개수를 $c$라 할 때, $b+c$의 값을 구하시오. (4.5점)

평행사변형 $\text{ABCD}$에 대각선 $\text{AC}$를 그려 두 개의 삼각형으로 나누었다. 삼각형 $\text{ABC}$의 각 변의 길이를 아래의 그림과 같이 각각 $m\ (m>1)$배 확대하여 새로운 삼각형 $\text{PQR}$을 만들었다. (단, $\angle\text{CAB}=\alpha, \angle\text{ABC}=\beta, \angle\text{BCA}=\gamma$)

(1) 삼각형 $\text{ABC}$의 넓이를 $S$라 할 때, 세 삼각형 $\text{PAR, QBP, RCQ}$의 넓이를 각각 $m$과 $S$에 대한 식으로 나타내는 과정을 서술하시오. (7점)
(2) 삼각형 $\text{PQR}$의 넓이가 평행사변형 $\text{ABCD}$의 넓이와 같게 하는 $m$의 값을 구하시오. (3점)

다항함수 $f(x)$가 $\int \{f(x)-3\}dx + \int x f'(x)dx = x^4 - x^3$을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $y=f(x)$가 $x=a$에서 극대일 때, $f(a)$의 값을 구하시오. (3.8점)
(2) 함수 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선 $\ell$의 방정식을 구하시오. (2.2점)
(3) 함수 $y=f(x)$와 직선 $\ell$의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (4점)

두 함수 $f(x) = x^3 + 4x^2 - 6x + 8$, $g(x) = x^2 + ax + b$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $a=18$일 때, 두 곡선 $f(x)$와 $g(x)$의 교점의 개수가 2가 되도록 하는 $b$의 값을 구하시오. (2.6점)
(2) $a=3$일 때, 열린구간 $(-2, 1)$에서 두 곡선 $f(x)$와 $g(x)$가 적어도 한 점에서 만나기 위한 $b$의 범위를 구하는 과정을 서술하고, $b$의 범위를 구하시오. (5점)
(3) 두 곡선 $f(x)$와 $g(x)$가 오직 한 점에서만 만나기 위한 $a$의 범위를 구하시오. (2.4점)