[논제]
직선 \(\ell: y=mx+m \; (0 < m < 1)\)과 원 \(C: x^2+y^2=1\)의 교점 중 \(x\)좌표가 더 큰 점을 \(\mathrm{P}\), 직선 \(\ell\)과 \(y\)축의 교점을 \(\mathrm{Q}\), 좌표가 \((0, 1)\)인 점을 \(\mathrm{R}\)라고 하자.

점 \(\mathrm{P}\)와 직선 \(y=1\) 사이의 거리를 \(f(m)\), 삼각형 \(\mathrm{PQR}\)의 넓이를 \(g(m)\)이라고 할 때, \(\displaystyle\lim_{m \to 1^-} \frac{f(m)}{g(m)}\)의 값을 구하시오.

[논제]
수열 \(\{x_k\}\)는 첫째항이 0, 공차가 \(\frac{1}{n}\)인 등차수열이다 (단, \(n\)은 자연수).

점 \(\mathrm{P}_k(x_k, 0)\)과 함수 \(f(x)=|2x-1|e^{2x}\)의 그래프 위의 점 \(\mathrm{G}_{k+1}(x_{k+1}, f(x_{k+1}))\)에 대하여 점 \(\mathrm{H}_k\)는 선분 \(\mathrm{P}_k\mathrm{G}_{k+1}\)을 \(2:1\)로 내분하는 점이라고 하자.

삼각형 \(\mathrm{P}_k\mathrm{H}_k\mathrm{P}_{k+1}\)의 넓이를 \(A_k\)라고 할 때, \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n A_k\)의 값을 구하시오.

[논제]
수열 \(\{a_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다. 이때 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{128} a_n\)의 값을 구하시오.

[논제]
집합 \(A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)에 대하여 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 \(f: A \to A\)의 개수를 구하시오.

[논제]
함수 \(f(x)=e^{-x}|\cos x|\)의 그래프 위의 세 점 \(\mathrm{A}(0, f(0))\), \(\mathrm{B}\left(\frac{\pi}{2}, f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\), \(\mathrm{C}(\pi, f(\pi))\)가 주어져 있다. 이때 곡선 \(y=f(x)\)와 선분 \(\mathrm{AB}\)로 둘러싸인 도형과 곡선 \(y=f(x)\)와 선분 \(\mathrm{BC}\)로 둘러싸인 도형의 넓이의 합을 구하시오.

[논제]
함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 아래와 같이 주어져 있다. 이때 다음 문항에 답하시오.
(1) 함수 \(f(x)g(x)\)와 \(g(f(x))\)가 모든 실수 \(x\)에서 연속일 때, \(a\)와 \(c\)를 각각 \(b\)에 대한 식으로 나타내시오.
(2) 함수 \(f(x)g(x)\), \(g(f(x))\), \(f(g(x)+3)\)이 모든 실수 \(x\)에서 연속일 때, 실수 \(b\)의 값의 범위를 구하시오.

[논제]
다음 조건을 모두 만족시키는 컵의 겉넓이의 최솟값을 구하시오. (단, 컵의 두께는 무시한다.)

[논제]
정의역이 \(\{x \mid x \ge 0\}\)인 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 아래와 같이 주어져 있다.
함수 \(h(x)\)가 함수 \(g(x)\)의 역함수이고 \(u(x) = h(x) - f(x)\) (단, \(x \ge 1\))일 때, 다음 문항에 답하시오.

(1) 양의 정수 \(n\)에 대하여 \(2n \le x \le 2n+2\)일 때 함수 \(u(x)\)의 증가와 감소를 조사하시오. [10점]
(2) 함수 \(u(x)\)의 그래프와 \(x\)축이 1001개의 서로 다른 점에서 만나도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오. [15점]

[논제]
함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 아래와 같이 주어져 있다.
\[f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & (x \le 0) \\ 1 - ax^2 & (x > 0) \end{cases} \quad (\text{단, } a\text{는 상수}), \qquad g(x) = \begin{cases} -x + \frac{1}{2} & (x \le 0) \\ -x - \frac{1}{4} & (x > 0) \end{cases}\] 합성함수 \(f(g(x))\)는 연속이라고 하자.
이때 한 변이 \(x\)축 위에 있고, 함수 \(f(x)\)의 그래프와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[논제]
다음 조건을 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 세려고 한다.
이를 위하여 학생 A는 다음과 같은 방법을 제시하였다.
  (가) \(f(a) = b\)이면 \(f(b) = a\)여야 한다.
  (나) 그러므로 \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)의 모든 원소를 두 개씩 세 쌍으로 나누는 경우의 수를 구하면 된다.
  (다) 따라서 조건을 만족시키는 함수 \(f\)의 개수는 \(_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2 = 15 \times 6 \times 1 = 90\)개이다.

이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 학생 A의 방법에서 잘못된 점을 모두 찾아서 설명하시오. [10점]
(2) 위의 조건을 만족시키는 함수 \(f\)의 개수를 구하시오. [15점]

[논제]
좌표평면 위의 점 \(P\)가 다음 조건을 모두 만족시키며 움직인다고 하자.

  (i) 시각 \(t=0\)에서의 점 \(P\)의 위치는 \((0, h)\)이며 \(0 \le h \le 1\)이다.
  (ii) 점 \(P\)는 시각 \(t\)에서 속력 \(v(t)=t\)로 \(x\)축과 평행한 직선 위를 움직이다가 곡선 \(y=\sqrt{-x^2+2x}\; (1 \le x \le 2)\)를 만나면 곡선을 따라 일정한 속력 \(\sqrt{3}\)으로 움직인다.
  (iii) 시각 \(t\)에서의 점 \(P\)의 \(x\)좌표 \(x(t)\)는 \(t_1 < t_2\)일 때 \(x(t_1) < x(t_2)\)이다.

점 \(P\)가 점 \((0, h)\)에서 점 \((2, 0)\)까지 이동하는 데 걸리는 시간이 최대가 되도록 하는 \(h\)를 구하시오.

[논제]
혜성과 혜성을 관측하기 위한 우주선의 위치를 좌표평면 위에서 나타낼 수 있다고 하자.
시각 \(t\)에서의 혜성의 위치 \((x, y)\)가 \(x = 2\sqrt{2}t - 4\sqrt{2}, \quad y = t^2 - 2t + 3\)으로 주어져 있다.
우주선은 직선 \(\ell : y = \sqrt{2}x - 1\) 위를 움직이며, 시각 \(t\)에서의 우주선의 속도는 \((\sqrt{2}, 2)\)로 주어진다고 하자. 직선 \(\ell\)과 혜성이 움직이는 곡선은 서로 만나지 않는다.
이때 다음 문항에 답하시오. (단, 혜성과 우주선의 크기는 무시한다.)

(1) 시각 \(t=0\)에서의 우주선의 위치가 \((-2\sqrt{2}, -5)\)라고 하자. 이때 혜성과 우주선 사이의 거리가 최소가 되는 시각 \(t\)와, 그때의 혜성과 우주선 사이의 거리를 구하시오. [10점]
(2) 이번에는 시각 \(t=0\)에서의 우주선의 위치를 직선 \(\ell\) 위에서 조정하여 혜성을 더 가까운 거리에서 관측하려고 한다.
혜성과 우주선이 가장 가까워질 수 있도록 하는 시각 \(t=0\)에서의 우주선의 위치와, 이때 혜성과 우주선이 가장 가까워지는 시각 \(t\)를 구하시오. [15점]

[논제]
함수 \(g(x)\)는 \(x \le 0\)에서 정의된 연속함수이며, 일반항이 \(a_n = n(n-1)\)인 수열 \(\{a_n\}\)과 \(S_n = \sum_{i=1}^n a_i\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 모두 만족시키는 연속함수라고 하자.

  (i) \(x \le 0\)일 때 \(f(x) = g(x)\)
  (ii) 1보다 크거나 같은 정수 \(n\)에 대하여 \(n-1 \le x < n\)일 때
  (iii) 2보다 크거나 같은 정수 \(n\)에 대하여 \(\int_0^{a_n} f(x - S_n)\,dx = 1\)

이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 2보다 크거나 같은 정수 \(n\)에 대하여 정적분 \(\int_{-S_{n-1}}^{-S_n} g(x)\,dx\)의 값을 구하시오. [7.5점]
(2) 정적분 \(\int_0^{2023} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. [17.5점]

[논제]
실수 \(k\)에 대하여 방정식 \(\frac{|2x|}{x^2 + 1} = k\)의 서로 다른 실수해의 개수를 \(f(k)\)라고 하자.
이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 함수 \(f(k)\)의 그래프를 그리시오. [9점]

(2) 다음 조건을 모두 만족시키는 함수 \(g(x)\)에 대하여 항상 \(g(0) > c\)가 되도록 하는 실수 \(c\) 중 가장 큰 값을 구하시오. [21점]
  (i) 함수 \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 1인 사차함수이다.
  (ii) 모든 정수 \(n\)에 대하여 \(g(n) \ge 0\)이다.
  (iii) 합성함수 \(g \circ f\)는 실수 전체에서 연속이다.
  (iv) 함수 \(h(x) = [x]\)에 대하여 합성함수 \(f \circ g \circ h\)는 실수 전체에서 연속이다.
(단, 실수 \(x\)에 대하여 \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 정수이다.)

[논제]
오른쪽 그림과 같이 높이가 12인 용기가 있다. 이 용기를 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면은 원이며, 밑면으로부터 높이가 \(x\)인 지점에서 단면의 반지름 \(R(x)\)는 다음과 같이 주어져 있다.
\[R(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{8-x}{2} + 1} & (0 \le x \le 8) \\ \sqrt{x-7} & (8 \le x \le 12) \end{cases}\] 용기의 높이가 \(0 \le x \le 8\)인 부분과 \(8 \le x \le 12\)인 부분에는 각각 물과 기름이 가득 차 있다.
이제 용기의 바닥, 즉 높이 \(x=0\)인 부분에 구멍을 뚫어 천천히 물을 용기 밖으로 내보낸다고 하자. 물을 내보냄에 따라 기름층도 아래로 이동하면서 기름층의 두께가 변하게 된다.
(단, 기름층의 두께는 기름층의 윗면의 높이와 아랫면의 높이의 차이를 의미한다. 기름과 물은 항상 위와 아래로 분리되어 층을 이루며 기름층의 윗면과 아랫면은 항상 밑면과 평행하다고 가정하자.)

이때 기름층의 두께의 최댓값을 구하시오.

[논제]
좌표평면에서 점 \(P\)가 다음 조건을 만족시키며 움직인다고 하자.

점 \(P\)는 원점 \(O\)를 출발하여 함수 \(y = 3 - x^4\)의 그래프의 한 점 \(Q\)까지 선분 \(OQ\)를 따라 일정한 속력 \(a\)로 움직인 후, 직선 \(\ell : y = -3x + 10\)의 한 점 \(R\)까지 선분 \(QR\)를 따라 속력 1로 움직인다. (단, \(a\)는 양수)

점 \(P\)가 직선 \(\ell\) 위의 한 점 \(R\)까지 가장 빨리 도착할 때 점 \(Q\)의 좌표는 \((1, 2)\)라고 하자.
이때 다음 문항에 답하시오.

(1) \(\theta = \angle OQR\)일 때 \(\tan\theta\)의 값을 구하시오. (단, \(0 \le \theta \le \pi\)) [10점]
(2) \(a\)를 구하시오. [15점]

[논제]
삼차함수 \(f(x)\)와 이차함수 \(g(x)\)는 다음 조건을 모두 만족시킨다.
  (i) \(f(x)\)의 최고차항의 계수는 1이다.
  (ii) 곡선 \(y=f(x)\)와 곡선 \(y=g(x)\)의 교점은 두 개이며, 두 교점의 \(x\)좌표 중 더 큰 값은 2이다.
  (iii) 함수
\[h(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2}\left(\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}} - 1\right) & (x \ne 2) \\[6pt] 16 & (x = 2) \end{cases}\]       는 연속함수이다.

이때 곡선 \(y=f(x)\)와 곡선 \(y=g(x)\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [25점]

[논제]
반지름의 길이가 \(\frac{7\sqrt{2}}{4}\)인 원에 삼각형 \(ABC\)가 내접한다. 삼각형 \(ABC\)의 넓이는 \(\sqrt{6}\)이고 \(\cos A = \frac{5}{7}\)이다.
이때 삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이를 모두 구하시오. [20점]

[논제]
모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(x_n = 3\pi\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right)\)이다. 실수 전체에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)는 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킨다.
  (i) 닫힌구간 \([x_n, x_{n+1}]\)에서 실수 \(a_n\), 양수 \(b_n\)에 대하여 \(f(x) = a_n \sin(b_n x)\)이다.
  (ii) \(f(x_n) = f(x_{n+1}) = 0\)이고, 열린구간 \((x_n, x_{n+1})\)에서 방정식 \(f(x)=0\)은 서로 다른 2개의 해를 갖는다.
  (iii) \(f'(x_1) = \frac{1}{2}\)
이때 다음 문항에 답하시오.

(1) \(b_{10}\)을 구하시오. [9점]
(2) 정적분 \(\int_{x_1}^{x_{10}} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. [21점]

[논제]
함수 \(f(x)\)가 구간 \([1, \infty)\)에서 \(f(x)=x\ln x\)로 정의되어 있다. 구간 \([0, \infty)\)에서 연속이고 구간 \((0, \infty)\)에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)는 모든 \(x \ge 0\)에 대하여
을 만족시킨다. 이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((\sqrt{e}, e)\)에서의 접선의 방정식을 구하시오. [7.5점]
(2) 정적분 \(\int_0^{\sqrt{e}} 2x\{g(x)\}^2\,dx\)의 값을 구하시오. [17.5점]

[논제]
함수 \(f(x)\)가 구간 \([-1, 1]\)에서 다음과 같이 정의되어 있다.
\[f(x) = \begin{cases} 1-x^2 & (-1 \le x \le 0) \\ \sqrt{1-x^2} & (0 < x \le 1) \end{cases}\] 곡선 \(y=f(x)\) 위에 오각형 \(ABCDE\)의 모든 꼭짓점이 놓여 있다. 점 \(A\)의 좌표는 \((1, 0)\), 점 \(E\)의 좌표는 \((-1, 0)\)이고 두 점 \(B, C\)의 \(x\)좌표는 모두 양수이며 \(\angle ABC = 150^\circ\)이다. 이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 삼각형 \(ACE\)의 넓이를 구하시오. [7.5점]
(2) 오각형 \(ABCDE\)의 넓이가 최대가 되도록 하는 꼭짓점 \(B, C, D\)의 좌표를 구하시오. [17.5점]

[논제]
원 \(x^2+y^2=1\) 위의 점 \(P(\cos\theta, \sin\theta)\)에서의 접선을 \(\ell\)이라고 하고, 점 \(A(-1, 0)\)에서 직선 \(\ell\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라고 하자. (단, \(0 < \theta < \pi\))
이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 점 \(H\)의 좌표를 \(\theta\)를 이용하여 나타내시오. [10점]
(2) 삼각형 \(APH\)의 넓이의 최댓값을 구하시오. [10점]

[논제]
\(a+r > 2\)인 두 양수 \(a, r\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 구간 \([0, a+r]\)에서 다음과 같이 정의되어 있다.
\[f(x) = \begin{cases} \int_0^x |\cos\frac{\pi}{2}t|\,dt & (0 \le x \le 2) \\ \sqrt{r^2 - (x-a)^2} & (2 < x \le a+r) \end{cases}\] 함수 \(f(x)\)가 구간 \([0, a+r]\)에서 연속이고 구간 \((0, a+r)\)에서 미분가능할 때, 다음 문항에 답하시오.

(1) \(a\)와 \(r\)의 값을 구하시오. [15점]
(2) 정적분 \(\int_0^{a+r} f(x)\,dx\)의 값을 구하시오. [15점]

[논제]
\(0 \le x \le 2\)에서 정의된 증가함수 \(f(x)\)는 2보다 큰 실수 \(a\)에 대하여 다음 조건을 모두 만족한다.
  (i) \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 2]\)에서 연속이고 열린구간 \((0, 2)\)에서 미분가능하다.
  (ii) \(f(0)=0\)
  (iii) 닫힌구간 \([0, 1]\)에 속하는 모든 \(x\)에 대하여 \(f(1+x) + a f(1-x) = 3\; (단,\; a > 2)\)
  (iv) \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 2\)

함수 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라고 할 때, 정적분 \(\int_{0}^{f(1)} g(x)\,dx\)가 최대가 되는 실수 \(a\)의 값을 구하시오. [20점]

[논제]
흰 구슬 2개와 검은 구슬 3개가 들어 있는 주머니가 있다. A부터 시작하여 A와 B가 흰 구슬이 모두 나올 때까지 번갈아가며 구슬을 1개씩 임의로 꺼낸다. 두 번째 흰 구슬을 꺼낸 사람이 승리한다고 할 때, 다음 문항에 답하시오. (단, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.)

(1) A가 승리할 확률을 구하시오. [9점]
(2) B가 승리했을 때, B가 꺼낸 구슬이 총 2개일 확률을 구하시오. [9점]
(3) 흰 구슬을 꺼낸 사람은 연이어 1개 더 구슬을 꺼내는 규칙을 추가했을 때, A가 승리할 확률을 구하시오. [12점]

[논제]
좌표평면에 원 \(C: x^2 + y^2 = 1\)과 원 \(D: (x - t)^2 + y^2 = t^2 - 1\; (t > 1)\)이 있다. <그림 1>과 같이 두 원의 교점을 \(P\)와 \(Q\), 원 \(D\)의 중심을 \(R\)라고 할 때, 부채꼴 \(PRQ\)의 넓이를 \(A(t)\)라고 하자. 부채꼴 \(PRQ\)의 넓이의 변화율의 극한값
\[\lim_{t \to \infty} \frac{dA}{dt}\] 를 구하시오. [20점]

[논제]
주기가 1인 주기함수 \(f(x)\)는 \(0 \le x \le 1\)에서 \(f(x) = a - |2x - 1|\)이다. 함수 \(g(x)\)를 다음과 같이 정의하자. (단, \([x]\)는 \(x\)를 넘지 않는 최대의 정수이다.)
\[g(x) = \frac{f(x)}{[x+1][x+2]} \quad (x \ge 0)\] 다음 문항에 답하시오.

(1) 임의의 자연수 \(k\)에 대하여, 함수 \(g(x)\)가 \(x=k\)에서 연속이 되도록 상수 \(a\)의 값을 정하시오. [9점]
(2) 문항 (1)에서 구한 상수 \(a\)에 대하여, \(n\)이 자연수일 때 \(\int_{0}^{n} g(x)|\sin \pi x|\,dx\)를 \(n\)의 식으로 나타내시오. [21점]

[논제]
곡선 \(C: y = x^3 + ax\) 위의 점 \(P\)에서의 접선 \(\ell\)과 곡선 \(C\)가 만나는 다른 점을 \(Q\)라고 하자. 선분 \(PQ\)의 중점 \(R\)의 \(x\)좌표를 \(b\)라고 할 때, 다음 문항에 답하시오.

(1) 점 \(P\)와 점 \(Q\)의 \(x\)좌표를 각각 \(b\)의 식으로 나타내시오. [8점]
(2) 곡선 \(C\)와 선분 \(PR\) 및 직선 \(x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(K\), 곡선 \(C\)와 선분 \(QR\) 및 직선 \(x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(L\)이라 할 때, 극한값
\[\lim_{b \to \infty} \frac{K}{L}\] 을 구하시오. [12점]

[논제]
흰 구슬 2개, 검은 구슬 3개가 들어 있는 주머니에서 흰 구슬이 모두 나올 때까지 구슬을 임의로 1개씩 꺼낸다고 하자. (단, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.) 꺼낸 구슬의 총 개수를 확률변수 \(X\)라고 할 때, 다음 문항에 답하시오.

(1) 확률 \(P(X=5)\)를 구하시오. [6점]
(2) 기댓값 \(E(X)\)를 구하시오. [9점]
(3) 흰 구슬 2개, 검은 구슬 \(n\)개가 들어 있는 주머니에서 흰 구슬이 모두 나올 때까지 구슬을 임의로 1개씩 꺼낸다고 하자. (단, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.) 꺼낸 구슬의 총 개수를 확률변수 \(Y\)라고 할 때, 기댓값 \(E(Y)\)를 \(n\)의 식으로 나타내시오. [15점]

[논제]
곡선 \(C: x^2 + y = 6\)과 직선 \(\ell: 2x + y = 6\)으로 둘러싸인 도형을 \(S\)라고 하자. 도형 \(T\)는 실수 \(a\)에 대하여 다음 조건을 모두 만족하는 직사각형 중 넓이가 가장 큰 직사각형이다.
  (i) \(S\)의 내부에 포함된다.
  (ii) 가로는 \(x\)축과 평행하고 세로는 \(y\)축과 평행하다.
  (iii) 곡선 \(C\) 위의 점 \((a, -a^2 + 6)\)에 오른쪽 위 꼭짓점을 두고 있다.
다음 문항에 답하시오.

(1) 직사각형 \(T\)의 넓이 \(M\)을 \(a\)의 식으로 나타내시오. [14점]
(2) 넓이 \(M\)이 최대가 되는 실수 \(a\)의 값을 구하시오. [6점]

[논제]
흰 공 3개와 검은 공 3개가 들어 있는 주머니와 비어 있는 상자가 있다. 주머니에서 2개의 공을 임의로 꺼내어 상자에 넣고 흰 공의 개수를 확인한다. 그리고 흰 공이 나온 개수만큼 다시 공을 주머니에서 임의로 꺼내어 상자에 넣는다. 주머니에서 상자로 옮겨진 흰 공의 전체 개수를 확률변수 \(X\)라 할 때, 다음 문항에 답하시오.

(1) \(P(X=2)\)를 구하시오. [10점]
(2) 평균 \(E(X)\)와 분산 \(V(X)\)를 구하시오. [15점]

[논제]
네 점 \(O(0, 0, 0), P(1, 0, 0), Q(0, 2, 0), R(0, 0, 3)\)을 꼭짓점으로 하는 사면체와 그 내부를 입체도형 \(T\)라 할 때, 다음 문항에 답하시오.

(1) 입체도형 \(T\)에 포함되는 가장 큰 구 \(S_1\)의 반지름의 길이 \(r_1\)을 구하시오. [10점]
(2) 입체도형 \(T\)의 한 면 위의 점 \(A\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1\right)\)을 지나면서 입체도형 \(T\)에 포함되는 가장 큰 구 \(S_2\)의 반지름의 길이 \(r_2\)를 구하시오. [15점]

[논제]
함수 \(f(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt\)에 대하여 다음 문항에 답하시오.

(1) 부분적분법을 이용하여 정적분 \(A(\alpha) = \int_0^\alpha f(x) dx\)를 \(\alpha\)와 \(f(\alpha)\)의 식으로 나타내시오. [10점]
(2) 함수 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 할 때, 정적분 \(B(\alpha) = \int_0^{f(\alpha)} g(x) dx\)를 \(\alpha\)의 식으로 나타내시오. [5점]
(3) 극한값 \(\lim_{\alpha \to 0} \frac{A(\alpha)}{B(\alpha)}\)를 구하시오. [10점]

[논제]
함수 \(f(x)\)는 미분가능한 증가함수이고, \(f(0) = 0, f(1) = 2, \int_0^1 \{f(x)\}^2 dx = 3\)이다. 미분가능한 함수 \(g(x)\)는 음이 아닌 실수 \(\alpha\) (\(\alpha \ge 0\))에 대하여 조건 (i), (ii)를 만족한다.
(i) \(x > 0\)일 때, \(g'(x) = 2\alpha f(x)f'(x)\)
(ii) \(x \le 0\)일 때, \(g(x) = -\{f(-x)\}^2 + (5 - \alpha^3)\)
이때 다음 문항에 답하시오.

(1) 닫힌 구간 \([-1, 1]\)에서 부등식 \(g(x) \ge 0\)이 성립하도록 하는 음이 아닌 실수 \(\alpha\)의 값의 범위를 구하시오. [15점]
(2) 문항 (1)에서 구한 \(\alpha\)의 값의 범위에서 곡선 \(y = g(x)\)와 \(x\)축 및 \(x = -1, x = 1\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 최대로 하는 \(\alpha\)의 값을 구하시오. [10점]