【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

두 개의 함수 $f(x)$, $g(x)$를 다음과 같이 정의한다.
(가) $f(x) = \begin{cases} 2x-2 & (0 \le x < 2) \\ ax e^{bx} & (2 \le x \le 4) \end{cases}$
(나) $g(x) = |(x-1)(x-3)| - 5$ ($0 \le x \le 4$)
(다) $a, b$는 상수이다.

[문제 1-1] 함수 $f(x)$가 구간 $(0, 4)$에서 미분가능할 때 $a, b$를 구하시오. (10점)

[문제 1-2] [문제 1-1]에서 구한 $a, b$에 대하여 두 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$의 그래프와 직선 $x=4$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (20점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (45점)

(가) 점 $A_1(a_1, 0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $f(x)=e^{cx}$ ($c > 0$)과 만나는 점을 $B_1$이라고 하고, 이 곡선 위의 점 $B_1$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $A_2(a_2, 0)$라고 하자.
(나) 모든 자연수 $n$에 대하여, 점 $A_n(a_n, 0)$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $f(x)=e^{cx}$ ($c > 0$)와 만나는 점을 $B_n(a_n, f(a_n))$이라고 하고, 이 곡선 위의 점 $B_n$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $A_{n+1}(a_{n+1}, 0)$이라고 하자.
(다) 자연수 $N > 1$에 대하여 $a_1 = N$이다.
(라) $S_n$은 삼각형 $A_n B_n A_{n+1}$의 넓이이다.

[문제 2-1] $S_1$을 구하시오. (10점)

[문제 2-2] $S_n$을 구하시오. (10점)

[문제 2-3] $\sum_{n=1}^{\infty} S_n$을 구하시오. (5점)

[문제 2-4] $c=1$인 경우, $f(a_n) < 0.1$인 자연수 $n$의 최솟값을 $N$에 관한 식으로 표현하시오. (20점)
(단, 자연상수 $e$는 $2.7$로 계산한다.)

【문제 3】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (25점)

(가) 삼차방정식 $x^3 - 12x^2 + 45x - k = 0$의 세 근을 $a, b, c$라고 하자. (단, $k$는 실수이다.)

[문제 3-1] 제시문 (가)의 세 근 $a, b, c$를 모두 실수가 되게 하는 $k$값의 범위를 구하시오. (10점)

[문제 3-2] 제시문 (가)의 세 근 $a, b, c$가 모두 양의 정수일 때, $k$값을 모두 구하시오. (5점)

[문제 3-3] 삼각형 $ABC$의 세 각 $\angle A, \angle B, \angle C$의 크기는 각각 $A, B, C$로 나타낸다. [문제 3-2]에서 구한 $a, b, c$가 각 $\angle A, \angle B, \angle C$의 대변의 길이인 경우 이 삼각형 $ABC$에 대해서, $ab \cos C + bc \cos A + ca \cos B$를 구하시오. (10점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 닫힌구간 $[0, 1]$에서 연속이고 증가하는 함수 $f(x)=x^2$에 대하여 이 구간을 $n$등분하면 소구간의 길이는 $\Delta x = \frac{1}{n}$이고 양 끝점과 분할점의 $x$좌표는 $x_k = \frac{k}{n}$ ($k=0,1,\dots,n$)이다. 각 소구간 $[x_{k-1}, x_k]$를 밑변으로 하고 높이가 각각 $f(x_k)$인 $n$개의 직사각형들의 넓이의 합을 $A_1(n)$이라 하자. 또한 높이가 각각 $f(x_{k-1})$인 $n$개의 직사각형들의 넓이의 합을 $A_2(n)$이라 하자.
(나) 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $y=f(x)$가 $f(x) \ge 0$일 때, 이 곡선과 $x$축 및 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이는 정적분 $\int_a^b f(x) dx$로 정의한다.

[문제 1-1] 제시문 (가)에서 $n=5$인 경우 각각의 직사각형들의 넓이의 합 $A_1(5)$와 $A_2(5)$를 구하시오. (10점)

[문제 1-2] 제시문 (가)에서 $n=100$인 경우 각각의 직사각형들의 넓이의 합 $A_1(100)$과 $A_2(100)$을 구하시오. (10점)

[문제 1-3] 제시문 (나)의 정의를 이용하여 곡선 $y=x \cos(x^2)$과 $x$축 및 두 직선 $x=0$, $x=\sqrt{\frac{\pi}{2}}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (10점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 최고차항의 계수가 1인 삼차방정식 $x^3 + ax^2 + bx - 4 = 0$의 한 개의 허근이 $1+i$이다. (단, $a, b$는 실수이다.)
(나) 최고차항의 계수가 1인 삼차방정식 $x^3 + cx^2 + 100x + 100 = 0$의 계수 $c$는 양의 정수이다.

[문제 2-1] 제시문 (가)의 곡선 $y=x^3 + ax^2 + bx - 4$와 $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (20점)

[문제 2-2] 제시문 (나)의 삼차함수 $y=x^3 + cx^2 + 100x + 100$이 극댓값과 극솟값을 모두 가질 때 양의 정수 $c$의 최솟값을 구하시오. (10점)

【문제 3】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

(가) 좌표평면 위를 움직이는 점 $P_1$의 시각 $t$에서의 위치 $(x_1(t), y_1(t))$는 다음과 같다. ($t \ge 0$)
$$x_1(t) = \int_0^t \theta \sin \theta d\theta, \quad y_1(t) = \int_0^t \theta \cos \theta d\theta$$
(나) 좌표평면 위를 움직이는 또 다른 점 $P_2$의 시각 $t$에서의 위치 $(x_2(t), y_2(t))$는 다음과 같다. ($t \ge 0$)
$$x_2(t) = -t \cos t, \quad y_2(t) = t \sin t$$

[문제 3-1] 점 $P_1$과 원점 $(0, 0)$ 사이의 거리를 구하시오. (10점)

[문제 3-2] 점 $P_1$과 원점 $(0, 0)$ 사이의 거리의 순간변화율이 0이 되는 시각 $t$를 구하시오. (10점)

[문제 3-3] 시각 $t=0$에서 시각 $t=2\pi$까지 점 $P_1$이 움직인 거리를 구하시오. (10점)

[문제 3-4] 시각 $t=0$에서 시각 $t=2\pi$ 사이에, 두 점 $P_1, P_2$ 사이의 거리가 최대가 되는 시각과 이 시각에서 두 점 사이의 거리를 각각 구하시오. (10점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $y=f(x)$에 대하여 이 곡선과 $x$축 및 두 직선 $x=a, x=b$로 둘러싸인 입체도형의 임의의 점 $x$에서의 단면의 넓이가 $S(x)$일 때, 이 입체도형의 부피 $V$는 다음과 같다.
$$V = \int_a^b S(x) dx$$
(나) 무리함수 $y = 2\sqrt{x}$ 와 $y = 2\sqrt{3x}$ 의 그래프가 다음 그림과 같이 주어져 있다. 축에 수직이거나 평행한 선분들로 이루어진 정사각형 $ABCD$가 두 그래프 사이에 내접해 있다. 점 $A, D$는 곡선 $y = 2\sqrt{3x}$ 위에 있고, 점 $B, C$는 곡선 $y = 2\sqrt{x}$ 위에 있다. 점 $A$의 $x$좌표를 $p$, 정사각형의 한 변의 길이를 $q$라 하자. (단, $p, q > 0$ 이다.)
[문제 1-1] 제시문 (나)에서 주어지는 정사각형 $ABCD$의 한 변의 길이 $q$와 점 $A$의 $x$좌표 $p$의 값을 각각 구하시오. (15점)

[문제 1-2] 닫힌구간 $[p, p+q]$에서 임의의 점 $x$에서의 단면이 한 변의 길이가 $q - 2\sqrt{x}$ 인 정삼각형을 이루는 입체도형이 있다. 이 입체도형의 부피 $V$가 $m + n\sqrt{3}$ 일 때, $m+n$의 값을 구하시오. (단, $m, n$은 유리수이다.) (15점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 극한값 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$ 과 $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0$ 이 성립한다.
(나) 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$는 다음과 같이 정의된다.
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

[문제 2-1] 제시문 (나)의 도함수 정의를 이용하여, 삼각함수 $y = \cos 2x$의 도함수가 $-2\sin 2x$ 임을 단계별로 유도하시오. (15점)

[문제 2-2] 함수 $f(x) = e^{-x} \cos 2x$일 때, 제시문 (나)의 도함수 정의와 미분계수의 성질을 이용하여 다음 극한값을 구하시오. (15점)
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(2x) + f(3x) + \dots + f(2023x) - 2023}{x}$$

【문제 3】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

(가) 명제란 참 또는 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 의미한다. 용어의 뜻을 명확히 정한 문장을 정의라 하며, 정의 또는 이미 증명된 성질을 기초로 문장이 참임을 설명하는 것을 증명이라 한다. 결론을 부정하여 가정이 모순됨을 보여 참임을 보이는 증명 방법을 귀류법이라 한다.
(나) 함수 $f: X \to Y$가 일대일함수이고 치역과 공역이 같을 때, 이 함수 $f$를 일대일대응이라 한다.
(다) 사건 $A, B$가 일어나는 경우의 수가 각각 $m, n$일 때, 두 사건이 동시에 일어나지 않는다면 $A$ 또는 $B$가 일어나는 경우의 수는 $m+n$ (합의 법칙)이고, 잇달아 일어나는 경우의 수는 $m \times n$ (곱의 법칙)이다.

[문제 3-1] 다음 명제 (*)가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하고자 한다. 증명 단락 (I), (II), (III), (IV)를 논리적 순서대로 나열하고 빈칸에 알맞은 식을 써넣으시오. (10점)

[명제 (*)] 실수 $a, b$에 대하여 $a^2 + b^2 = 0$ 이면 $a = 0$ 이고 $b = 0$ 이다.
---
(I) 이때 세 가지 경우 모두 $a^2 + b^2 = 0$ 이라는 가정에 모순이다.
(II) 따라서 실수 $a, b$에 대하여 $a^2 + b^2 = 0$ 이면 $a=0$ 이고 $b=0$ 이다.
(III) 결론을 부정하여 [             ] 라고 하자.
(IV) 이에 따라 다음의 세 가지 경우로 나뉜다.
  ① $a \ne 0, b = 0$ 이면 $a^2 > 0, b^2 = 0$ 이므로 $a^2 + b^2 > 0$ 이다.
  ② $a = 0, b \ne 0$ 이면 [             ] 이다.
  ③ $a \ne 0, b \ne 0$ 이면 $a^2 > 0, b^2 > 0$ 이므로 $a^2 + b^2 > 0$ 이다.

[문제 3-2] 정의역 $X = \{x | -c \le x \le c, c > 0\}$, 공역 $Y = \{y | -8 \le y \le 0\}$ 인 일차함수 $f(x) = px + q$가 일대일대응이 되도록 하는 실수 $p, q$에 대하여 $\frac{q}{p}$의 값을 모두 구하시오. (15점)

[문제 3-3] 삼각형의 세 변의 길이 $x_1, x_2, x_3$가 자연수일 때, 조건 $x_1 \ge x_2 \ge x_3$ 와 $x_1 + x_2 + x_3 = 36$을 만족시키는 삼각형의 개수를 구하시오. (15점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ 에 대하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n \le b_n \le c_n$ 이 성립하고, $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$ 이면 $\lim_{n \to \infty} b_n = \alpha$ 이다. (수열의 극한의 대소 관계)
(나) 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 부분합을 $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ 라 할 때, 수열 $\{S_n\}$ 이 수렴하여 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 이면 이 급수는 수렴한다고 하며 $S$를 이 급수의 합이라 한다.

[문제 1-1] 제시문 (가)를 이용하여 다음 극한값을 구하시오. (15점)
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + k}$$

[문제 1-2] 제시문 (나)를 이용하여 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(2n-1)(2n+3)}$ 의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오. (15점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

(가) 함수 $h(x)$가 $x=x_0$에서 정의되어 있고 극한값 $\lim_{x \to x_0} h(x)$가 존재하며, $\lim_{x \to x_0} h(x) = h(x_0)$ 일 때 함수 $h(x)$는 $x=x_0$에서 연속이라고 한다.
(나) 함수 $h(x)$가 어떤 열린구간의 모든 점에서 연속일 때, 함수 $h(x)$는 그 열린구간에서 연속이라고 한다.
(다) 실수 $a, b, c, d$와 양수 $k > 0$ 에 대해서, 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 다음과 같이 정의하자.
$$f(x) = \begin{cases} ax+b & (x < -3) \\ -x^2+9 & (-3 \le x < 0) \\ cx+d & (0 \le x) \end{cases}, \quad g(x) = k(x-1) + 12$$

[문제 2-1] 제시문 (다)에서 주어진 함수 $f(x)$와 그 도함수 $f'(x)$가 모든 실수에서 연속인 함수가 되도록 하는 상수 $a, b, c, d$의 값을 구하고, 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 접하도록 하는 상수 $k$의 값을 구하시오. (15점)

[문제 2-2] 위의 [문제 2-1]에서 구한 $a, b, c, d, k$에 대해서, 두 함수 $f(x), g(x)$의 그래프와 직선 $y=0$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오. (20점)

【문제 3】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

(가) 방정식 $h(x, y) = 0$이 나타내는 도형을 $x$축의 방향으로 $a$만큼, $y$축의 방향으로 $b$만큼 평행이동한 도형의 방정식은 $h(x-a, y-b) = 0$ 이 된다.
(나) 실수 $x$의 절댓값 $|x|$는 수직선 위의 원점에서 $x$에 대응하는 점까지의 거리를 나타낸다.
(다) 함수 $h(x)$가 $x=a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 $h(x) \ge h(a)$ 일 때 $h(x)$는 $x=a$에서 극소라 하고, $h(a)$를 극솟값이라 한다. 반대로 $h(x) \le h(a)$ 일 때 극대라 하고, $h(a)$를 극댓값이라 한다.
(라) 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 다음과 같이 정의하자.
$$f(x) = x^3 - 2x^2 - 5, \quad g(x) = \frac{5}{2} |f(x-1) + 3|$$

[문제 3-1] 제시문 (라)에서 주어진 함수 $f(x)$에 대해서 $y=f(2\sin \frac{\pi}{5}x + 3)$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $27m+M$의 값을 구하시오. (17점)

[문제 3-2] 제시문 (라)에서 주어진 함수 $g(x)$가 극값을 갖는 $x$의 값의 개수를 $\alpha$, $g(x)$의 극솟값들을 모두 더한 값을 $\beta$라 할 때, $\alpha\beta$의 값을 구하시오. (18점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

세 개의 주머니 A, B, C 에 다음과 같이 공들이 들어있다.
- 주머니 A에는 1번 공 1개, 2번 공 1개, 3번 공 1개, 4번 공 1개 (총 4개)
- 주머니 B에는 1번 공 2개, 2번 공 2개 (총 4개)
- 주머니 C에는 1번 공 4개 (총 4개)

주머니 세 개에서 한 개의 주머니를 임의로 선택하고, 선택한 주머니에서만 임의로 $n$번 공을 꺼내는 실험을 시행한다. 단, 매번 꺼낸 공의 번호를 확인하고 다시 되돌려 넣은 뒤 다음 공을 꺼내는 것을 가정한다.

[문제 1-1] 선택된 주머니에서 공을 꺼내는 실험을 1번 시행할 때 1번 공이 뽑힐 확률을 구하시오. 그리고 이렇게 꺼낸 공이 1번 공일 때 선택된 주머니가 C일 확률을 계산하시오. (10점)

[문제 1-2] 선택된 주머니에서 $n$번 모두 1번 공이 뽑혔다. 주머니 C가 선택되었을 확률을 구하시오. (10점)

[문제 1-3] 몇 회의 반복 실험에서 뽑힌 공이 모두 1번 공일 때, 주머니 C를 선택했다는 주장이 사실일 확률이 0.9 이상이라고 할 수 있는지 근거와 함께 결과를 제시하시오. (15점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (25점)

(가) 두 실수 $a, b$에 대해서 $0 \le a < b$ 라고 하자. 이차함수 $y=x^2$의 그래프 위의 두 점 $A(a, a^2)$와 $B(b, b^2)$에서 그은 두 접선의 교점을 $C(c, d)$라 하자.
(나) 두 실수 $a, b$에 대해서 $a = \frac{-t + \sqrt{t^2 + 16t}}{8}, b = \frac{-3t + 3\sqrt{t^2+4t}}{8}$ ($t > 0$)라고 하자. 이차함수 $y=x^2$의 그래프 위의 두 점 $A(a, a^2)$와 $B(b, b^2)$에 대하여 선분 $AB$를 $m:n$ ($m>0, n>0$)으로 내분하는 점 $P$의 좌표를 $(f(t), g(t))$라고 하자.
(다) 좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1)$와 $B(x_2, y_2)$에 대하여 선분 $AB$를 $m:n$ ($m>0, n>0$)으로 내분하는 점의 좌표는 $\left( \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right)$ 이다.

[문제 2-1] 제시문 (가)에서 이차함수 $y=x^2$과 두 접선에 의해 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (10점)

[문제 2-2] 제시문 (나)에서 주어진 점 $P$의 $x$좌표 $f(t)$에 대해서 $\lim_{t \to \infty} f(t)$를 구하고 그 이유를 설명하시오. (15점)

【문제 3】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (40점)

(가) 어느 플라스틱 쓰레기 수집 업체에서는 매달 플라스틱 쓰레기 1500톤을 수거하여 재활용 가능한 플라스틱으로 재생산한다고 한다. 매달 플라스틱 쓰레기의 65%가 선별 과정을 통과하고 그중 80%가 재활용된다고 한다. 또 재생산된 플라스틱 쓰레기의 65%가 선별 과정을 통과하고 그중 80%가 재활용된다고 한다. 이 과정을 매달 한없이 반복한다.
(나) 어느 지역에서 시각 $t$ ($t \ge 1.5$)에서의 재활용되는 플라스틱 쓰레기의 양 $f(t)$톤은 $f(t) = (10t^2 - 9t - 9)e^{-t}$ 라고 한다.

[문제 3-1] 제시문 (가)에서 이번 달에 수거한 플라스틱 쓰레기 1500톤에 대해서 재생산과 재활용 과정을 매달 한없이 반복할 때, 재활용하게 되는 플라스틱의 양은 모두 몇 톤인지 구하시오. (10점)

[문제 3-2] 제시문 (나)에서 시각 $t$가 1.5에서 $x$가 될 때까지 ($1.5 \le t \le x$) 재활용하게 되는 플라스틱의 양을 $A(x)$라고 하자. 이때 $\lim_{x \to \infty} A(x)$를 구하시오. (단, $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = 0$ 이다.) (15점)

[문제 3-3] 제시문 (나)에서 주어진 함수 $f(t)$에서 변곡점의 좌표를 $(a, b)$라고 할 때, $a$를 구하고 이유를 설명하시오. (15점)