한 번의 게임에서 비길 확률을 $p$, 갑이 이길 확률을 $P(A)$, 을이 이길 확률을 $P(B)$라 하자.
승부가 날 때까지 반복하므로 갑이 최종 승자가 될 확률 $P_{갑} = \frac{P(A)}{1-p}$, 을이 최종 승자가 될 확률 $P_{을} = \frac{P(B)}{1-p}$이다.
따라서 $P_{갑} = P_{을}$이 되기 위한 조건은 $P(A) = P(B)$이다.

(1) 비길 확률 $p$: 갑과 을이 같은 수를 뽑을 확률은 $k \le 11$인 $k$를 제외한 10가지 수가 일치할 때이므로
$$p = \frac{10}{10n} = \frac{1}{n}$$ (2) 갑이 이길 사건 $A$: 갑의 수가 을의 수보다 큰 경우이다.
을이 뽑을 수 있는 10장의 수에 대해 갑이 더 큰 수를 뽑는 경우의 수의 총합은
$$\sum_{x \in \{1,\dots,11\}\setminus\{k\}} (n - x) = 10n - \left(\sum_{x=1}^{11} x - k\right) = 10n - (66 - k)$$ 따라서 $P(A) = \frac{10n - 66 + k}{10n}$이다.

(3) 을이 이길 사건 $B$: 을의 수가 갑의 수보다 큰 경우이다.
을의 각 수 $x$에 대해 갑이 $x$보다 작은 수를 뽑는 경우의 수는 $x-1$이므로
$$\sum_{x \in \{1,\dots,11\}\setminus\{k\}} (x - 1) = (66 - k) - 10 = 56 - k$$ 따라서 $P(B) = \frac{56 - k}{10n}$이다.

$P(A) = P(B)$에서 $10n - 66 + k = 56 - k \implies 10n + 2k = 122 \implies 5n + k = 61$
$n \ge 11$이고 $1 \le k \le 11$이므로:
• $n = 11 \implies k = 61 - 55 = 6$ ($1 \le 6 \le 11$ 만족)
• $n = 12 \implies k = 61 - 60 = 1$ ($1 \le 1 \le 11$ 만족)
• $n \ge 13 \implies k \le -4$ (모순)
따라서 구하는 순서쌍은 $(11, 6), (12, 1)$이다.

$\overline{PA}^2 \cdot \overline{PB}^2 = \{(x+1)^2 + y^2\}\{(x-1)^2 + y^2\} = 1$
전개하면 $(x^2+y^2+1+2x)(x^2+y^2+1-2x) = (x^2+y^2+1)^2 - 4x^2 = 1$
즉, $(x^2+y^2)^2 + 2(x^2+y^2) - 4x^2 = 0 \iff (x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$

(2-1) 양변을 $x$에 대해 음함수 미분하면
$$2(x^2+y^2)\left(2x + 2y\frac{dy}{dx}\right) = 2\left(2x - 2y\frac{dy}{dx}\right)$$ $$(x^2+y^2+1)y\frac{dy}{dx} = x(1 - x^2 - y^2) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x(1 - x^2 - y^2)}{y(1 + x^2 + y^2)}$$ $\frac{dy}{dx} = 0$이 되려면 $x > 0$이므로 $x^2 + y^2 = 1$이어야 한다.
이를 원래 관계식 $(x^2+y^2)^2 = 2(x^2-y^2)$에 대입하면 $1 = 2(x^2-y^2) \implies x^2 - y^2 = \frac{1}{2}$
$x^2+y^2=1$과 연립하면 $2x^2 = \frac{3}{2} \implies x^2 = \frac{3}{4}, \; y^2 = \frac{1}{4}$
$x>0, y>0$이므로 $a = \frac{\sqrt{3}}{2}, \; b = \frac{1}{2}$이다.

(2-2) $(x^2+y^2)^2 + 2y^2 = 2x^2$에서 $u = x^2$로 치환하면 $du = 2x dx \implies x dx = \frac{1}{2}du$
$u$의 범위는 $\frac{3}{4}$부터 $1$까지이며, $y^2 = \sqrt{2u+\frac{1}{4}} - u - \frac{1}{2}$이므로
$$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 x y^2 dx = \int_{\frac{3}{4}}^1 \frac{1}{2}\left(\sqrt{2u+\frac{1}{4}} - u - \frac{1}{2}\right)du = \frac{3\sqrt{3}-4}{24}$$

(3-1) $t = \log_k x$라 하면 $k = 2^a > 1$이므로 $x$가 증가하면 $t$도 증가한다.
$\frac{1}{4} \le x \le 16$에서 $-\frac{2}{a} \le t \le \frac{4}{a}$이다.
$g(t) = |(t+4)(t-8)| = |t^2 - 4t - 32| = |(t-2)^2 - 36|$
$t = 2$에서 최솟값 $0$, $t = 2$에서 멀어질수록 값이 커진다.
주어진 구간에서 최댓값은 $t = -\frac{2}{a}$ 또는 $t = \frac{4}{a}$에서 발생하며,
$g(4/a) \ge 29$ 또는 $g(-2/a) \ge 29$를 분석하면 $\frac{4}{a} \ge 9 \implies a \le \frac{4}{9}$ 또는 $a$의 최솟값 조건에 의해 $a = \frac{4}{9}$이다.

(3-2) $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$)라 하면 $g(t) = |4t^2 - 4t - a| = |4(t - \frac{1}{2})^2 - (a+1)|$
$t \in [-1, 1]$에서 $4t^2 - 4t - a$의 범위는 $[-(a+1), 8-a]$이다.
따라서 최댓값 $M = \max(a+1, |8-a|)$이다.
방정식 $f(x) = M$이 서로 다른 3개의 실근을 가지려면:
$t = \sin x$에서 $t = 1$은 $x = \frac{\pi}{2}$ (1개 근), $t = -1$은 $x = \frac{3\pi}{2}$ (1개 근), $-1 < t < 1$은 2개의 근을 가진다.
따라서 3개의 실근을 가지려면 $t = \frac{1}{2}$ (2개 근: $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$)에서 최댓값 $a+1$을 갖고, $t = -1$ (1개 근: $\frac{3\pi}{2}$)에서 최댓값 $8-a$를 가져야 한다.
즉, $a+1 = 8-a \implies 2a = 7 \implies \mathbf{a = \frac{7}{2}}$
이때 세 실근은 $x_1 = \frac{\pi}{6}, \; x_2 = \frac{5\pi}{6}, \; x_3 = \frac{3\pi}{2}$이다.

(4-1) $y = e^{x^2}$을 미분하면 $y' = 2x e^{x^2}$이다.
접점 $(x, e^{x^2})$과 점 $(t, 0)$을 잇는 접선의 방정식에서 $\frac{e^{x^2} - 0}{x - t} = 2x e^{x^2} \implies 2x^2 - 2tx - 1 = 0$
이차방정식의 두 실근을 $\alpha, \beta$라 하면 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta = t, \; \alpha\beta = -\frac{1}{2}$이다.
두 접선의 기울기의 곱은 $m_1(t)m_2(t) = (2\alpha e^{\alpha^2})(2\beta e^{\beta^2}) = 4\alpha\beta e^{\alpha^2+\beta^2} = -2 e^{t^2+1}$이다.
따라서 구하는 정적분은
$$\int_0^2 t^3 m_1(t)m_2(t)dt = -2e \int_0^2 t^3 e^{t^2} dt$$ $s = t^2$ ($ds = 2t dt$)로 치환하고 부분적분하면
$$-e \int_0^4 s e^s ds = -e [s e^s - e^s]_0^4 = -e(3e^4 + 1) = \mathbf{-(3e^5 + e)}$$
(4-2) $f(x) = |x-1|^{\frac{n}{13}} + |x+1|^{\frac{n}{13}}$은 우함수($f(x) = f(-x)$)이므로 $x \ge 0$만 고려한다.
$x \ge 1$에서 $f(x)$는 증가하므로 $0 \le x \le 1$에서 $f(x) = (1-x)^{\frac{n}{13}} + (x+1)^{\frac{n}{13}}$이다.
• $1 \le n \le 12$일 때: 도함수 $f'(x) \le 0$이므로 $x = 1$에서 최솟값 $a_n = 2^{\frac{n}{13}}$을 갖는다.
• $n \ge 13$일 때: 도함수 $f'(x) \ge 0$이므로 $x = 0$에서 최솟값 $a_n = 2$를 갖는다.
따라서 급수의 합은
$$\sum_{n=1}^{27} a_n = \sum_{n=1}^{12} 2^{\frac{n}{13}} + \sum_{n=13}^{27} 2 = \frac{2^{\frac{1}{13}}(2^{\frac{12}{13}} - 1)}{2^{\frac{1}{13}} - 1} + 30 = \mathbf{\frac{2 - 2^{\frac{1}{13}}}{2^{\frac{1}{13}} - 1} + 30}$$

(5-1) 포물선의 초점은 $F(1, 0)$이고, 제1사분면 접점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선은 $y_1 y = 2(x + x_1)$이다.
$y$절편은 $Q(0, \frac{y_1}{2})$이다. 포물선 정의에 의해 $\overline{FP} = x_1 + 1$이다.
$\overline{PQ}^2 = x_1^2 + \frac{y_1^2}{4}$, $\overline{FQ}^2 = 1 + \frac{y_1^2}{4}$이고, $y_1^2 = 4x_1$이므로
$\overline{PQ}^2 + \overline{FQ}^2 = x_1^2 + \frac{y_1^2}{2} + 1 = x_1^2 + 2x_1 + 1 = (x_1+1)^2 = \overline{FP}^2$
따라서 $\triangle PQF$는 $\angle PQF = 90^\circ$인 직각삼각형이다.
$\tan^2 30^\circ = \frac{1}{3} = \frac{\overline{PQ}^2}{\overline{FQ}^2} = \frac{x_1^2+x_1}{1+x_1} = x_1 \implies x_1 = \frac{1}{3}, \; y_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$
사각형 $OFPQ$의 넓이는 $S = \triangle OFP + \triangle OPQ = \frac{1}{2}(1)(\frac{2}{\sqrt{3}}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{3}) = \mathbf{\frac{7\sqrt{3}}{18}}$이다.

(5-2) 정사면체의 한 모서리의 길이를 $3a$라 하자.
$\triangle CDQ$에서 코사인법칙에 의해 $\overline{CQ}^2 = (3a)^2 + a^2 - 2(3a)(a)\cos 60^\circ = 7a^2 \implies \overline{CQ} = \sqrt{7}a = \overline{BQ}$
이등변삼각형 $BCQ$에서 $\cos(\angle BCQ) = \frac{(3a)^2 + 7a^2 - 7a^2}{2(3a)(\sqrt{7}a)} = \frac{3}{2\sqrt{7}}$
$\triangle PCQ$에서 코사인법칙에 의해 $\overline{PQ}^2 = (2a)^2 + 7a^2 - 2(2a)(\sqrt{7}a)\frac{3}{2\sqrt{7}} = 5a^2 \implies \overline{PQ} = \sqrt{5}a$
모서리 $AC$를 $2:1$로 내분하는 점을 $R$이라 하면 $\overline{QR} = 2a$이고 $\overline{QR} \parallel \overline{CD}$이므로 구하는 예각 $\theta = \angle PQR$이다.
$\triangle PCR$에서 $\overline{PR}^2 = (2a)^2 + a^2 - 2(2a)(a)\cos 60^\circ = 3a^2$
$\triangle PQR$에서 코사인법칙에 의해
$$\cos\theta = \frac{\overline{PQ}^2 + \overline{QR}^2 - \overline{PR}^2}{2\overline{PQ}\cdot\overline{QR}} = \frac{5a^2 + 4a^2 - 3a^2}{2(\sqrt{5}a)(2a)} = \frac{6a^2}{4\sqrt{5}a^2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{5}}{10}}$$