[문제 2-1] (8점)

확률변수 $X_2$의 확률분포를 표로 나타내시오.

[문제 2-2] (8점)

3번째 시행 후 얻은 점수가 $0$일 확률 $P(X_3 = 0)$을 구하시오.

[문제 2-3] (8점)

이 게임을 3번 시행하여 0점이 나온 사건을 $C$라 하자. 게임을 3번 시행하는 작업을 $m$번 독립적으로 반복할 때, 사건 $C$가 일어나는 횟수를 확률변수 $Y$라고 하자. $V(2Y+3) = 280$일 때, $m$의 값을 구하시오.

[문제 2-4] (6점)

문항 (2-3)의 확률변수 $Y$에 대하여, $2Y-3$이 $a$ 이상일 확률이 $0.5$일 때, $a$의 값을 구하시오. (단, $a$는 상수이다.)

[문제 1-1] (8점)

타원 $C$의 장축의 길이가 $6$이고 단축의 길이가 $2$일 때, 타원의 방정식에서 $\frac{dy}{dx}$를 음함수의 미분법을 이용하여 구하시오.

[문제 1-2] (8점)

타원 위의 점 $A(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식을 $x_1, y_1$에 대한 식으로 나타내고, 접선의 $x$절편과 $y$절편을 구하시오.

[문제 1-3] (8점)

산술·기하평균의 관계를 이용하여 타원에 외접하는 사각형의 자투리 공간의 넓이의 최솟값을 구하시오.

[문제 1-4] (6점)

자투리 공간의 넓이가 최솟값을 가질 때, 둘레길의 꼭짓점을 초점으로 가지고 나머지 꼭짓점을 지나는 울타리 타원의 방정식을 구하시오.

[문제 2-1] (2점)

홍익이의 주사위를 한 번 던져 나오는 수를 $X$, 아빠의 주사위를 한 번 던져 나오는 수를 $Y$라 할 때, $E(X)$와 $E(Y)$를 구하시오.

[문제 2-2] (3점)

홍익이와 아빠가 주사위 놀이를 한다면 둘 중 누가 더 유리한지 설명하시오.

[문제 2-3] (3점)

홍익이와 아빠가 매일 한 번씩 총 $n$일간 주사위 놀이를 하였다. 홍익이가 승리한 날이 총 $k$일 이상이 될 확률을 표준정규분포표를 사용하여 구하시오.

[문제 2-4] (12점)

엄마의 주사위 각 면의 자연수를 선택하여 $p_1 + p_2$가 최대가 되도록 할 때, $p_1 + p_2$의 최댓값을 구하고 논리적으로 증명하시오. (단, $p_1$은 엄마가 홍익이에게 이길 확률, $p_2$는 엄마가 아빠에게 이길 확률이다.)

[문제 3-1] (2점)

시각 $t$에서 물풍선의 반지름 $r(t)$를 $R$과 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 3-2] (4점)

물풍선의 중심 O에서 원뿔그릇 꼭짓점 방향으로 거리 $s$인 점 P를 지나고 원뿔 밑면에 평행인 평면으로 물풍선을 자른 단면의 넓이 $A(s)$를 구하시오.

[문제 3-3] (6점)

시각 $t_1$에서 빠져나간 물에 잠긴 물풍선 부분의 부피를 $r(t)$에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 3-4] (8점)

$R = 5$일 때, 빠져나간 물이 원뿔그릇과 물풍선 사이의 공간을 모두 채우는 시각 $t_1$을 구하시오.

(가) $x_1 > 0, y_1 > 0$이며, 둘레길의 폭은 무시한다.
(나) 꽃밭 타원의 방정식은 $\frac{x^2}{9} + y^2 = 1$이다. 꽃밭 넓이는 $3\pi$ m$^2$이다.
(다) 임의의 실수 $p, q > 0$에 대하여 $p + q \ge 2\sqrt{pq}$이며 등호는 $p = q$일 때 성립한다.

[문제 1-1] (4점)

타원 방정식에서 $\frac{dy}{dx}$를 음함수의 미분법으로 구하시오.

[문제 1-2] (4점)

점 $A$에서의 접선 방정식의 기울기 $m$을 $x_1, y_1$의 식으로, $y$절편을 $y_1$의 식으로, $x$절편을 $x_1$의 식으로 나타내시오.

[문제 1-3] (8점)

자투리 공간의 넓이의 최솟값을 구하고, 이때의 $x_1, y_1$을 구하시오.

[문제 1-4] (4점)

자투리 공간의 넓이가 최소일 때, 사각형의 꼭짓점 F, F'을 초점으로 하고 G, G'을 지나는 타원의 방정식을 구하시오.

[문제 2-1] (2점)

홍익이의 주사위의 기댓값 $E(X)$와 아빠의 주사위의 기댓값 $E(Y)$를 구하시오.

[문제 2-2] (3점)

홍익이와 아빠가 주사위 놀이를 하면 둘 중 누가 더 유리한지 설명하시오.

[문제 2-3] (3점)

$n$일간 주사위 놀이를 하였을 때, 홍익이가 승리한 날이 $k$일 이상일 확률을 표준정규분포표를 사용하여 구하시오.

[문제 2-4] (12점)

엄마가 홍익이와 아빠 각각에게 이길 확률의 합 $p_1 + p_2$의 최댓값을 구하고 논리적으로 증명하시오.

[문제 3-1] (2점)

시각 $t$에서의 물풍선 반지름 $r(t)$를 $R$과 $t$에 대한 식으로 나타내시오. (단, $0 \le t \le R^3$)

[문제 3-2] (4점)

물풍선 중심 O에서 원뿔 꼭짓점 방향의 점 P에 대해 $\overline{OP} = s$일 때, 점 P를 지나는 수평 단면의 넓이 $A(s)$를 구하시오.

[문제 3-3] (6점)

시각 $t_1$에서 빠져나간 물에 잠긴 물풍선 부분의 부피를 $r(t)$에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 3-4] (8점)

$R = 5$일 때, 빠져나간 물이 원뿔그릇과 물풍선 사이 공간을 모두 채우는 시각 $t_1$을 구하시오.

[문제 1-1] (5점)

포물선 $y^2 = 4x$ 위의 점 $P(t^2, 2t)$ ($t > 0$)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문제 1-2] (5점)

접선이 $x$축과 만나는 점을 $T$, $y$축과 만나는 점을 $S$라 할 때, $\triangle OTS$의 넓이를 $t$에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 1-3] (5점)

포물선과 접선, $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분을 이용하여 구하시오.

[문제 1-4] (5점)

$p = 1$일 때, 점 $P(t^2, 2t)$에서 준선 $l$까지의 거리와 $\overline{PF}$가 같음을 이용하여, 포물선 위의 두 점에서의 접선이 서로 수직으로 만나는 점의 자취의 방정식을 구하시오.

[문제 2-1] (5점)

$g(x) = f(x) e^{-kx}$로 정의할 때, $g'(x) = 0$임을 보이고 $f(x) = e^{kx}$임을 유도하시오.

[문제 2-2] (5점)

$k = 1$일 때, 곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = e$ 및 $y$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

[문제 2-3] (5점)

문항 (2-2)의 영역을 $y$축 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 구하시오.

[문제 2-4] (5점)

$k = -1$이고 $h(x) = xf(x)$일 때, $\int_{0}^{\infty} h(x) \, dx$의 값을 구하시오.

[문제 3-1] (5점)

$P(X_1 = 0)$, $P(X_1 = 1)$을 구하시오.

[문제 3-2] (5점)

$P(X_2 = 0)$, $P(X_2 = 1)$, $P(X_2 = 2)$를 구하시오.

[문제 3-3] (5점)

$E(X_n)$을 $n$과 $p = \frac{r}{r+b}$에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 3-4] (5점)

$p = \frac{1}{2}$일 때, $\sum_{n=1}^{\infty} E(X_n) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$의 값을 구하시오.

[문제 1-1] (5점)

쌍곡선 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$의 점근선의 방정식과 초점의 좌표를 구하시오.

[문제 1-2] (5점)

쌍곡선 위의 점 $P(x_0, y_0)$ ($x_0 > 0$)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

[문제 1-3] (5점)

접선과 두 점근선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 일정함을 보이시오.

[문제 1-4] (5점)

쌍곡선의 오른쪽 꼭짓점에서 접선까지의 거리를 $x_0$에 대한 식으로 나타내시오.

[문제 2-1] (5점)

$\int_{0}^{1} \ln(1+x) \, dx$를 구하시오.

[문제 2-2] (5점)

곡선 $y = \ln(1+x)$와 $x$축, 직선 $x = e - 1$로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.

[문제 2-3] (5점)

문항 (2-2)의 영역을 $x$축 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 구하시오.

[문제 2-4] (5점)

급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$의 값을 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx$를 이용하여 구하시오.

[문제 3-1] (5점)

6명이 원형 탁자에 앉는 경우의 수를 구하시오.

[문제 3-2] (5점)

6명 중 특정 두 사람이 이웃하여 앉는 경우의 수와 그 확률을 구하시오.

[문제 3-3] (5점)

원형 배치를 $m$번 독립적으로 반복할 때, 두 사람이 이웃하여 앉는 횟수를 확률변수 $Y$라 하자. $E(Y)$와 $V(Y)$를 구하시오.

[문제 3-4] (5점)

$m = 100$일 때, $P(Y \ge 45)$를 표준정규분포표를 사용하여 구하시오.

[문제 1-1] (5점)

$f(x) = e^{-x^2}$의 변곡점을 구하시오.

[문제 1-2] (5점)

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$로 정의할 때, $I^2 = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy$를 극좌표로 변환하여 $I$의 값을 구하시오.

[문제 1-3] (5점)

$\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx$를 구하시오.

[문제 1-4] (5점)

확률밀도함수 $p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$에 대하여 $\int_{-\infty}^{\infty} x^2 p(x) dx = 1$임을 보이시오.

[문제 2-1] (5점)

타원 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$의 초점 좌표, 장축·단축의 길이, 이심률을 구하시오.

[문제 2-2] (5점)

타원 위의 점 $P$에서 두 초점 $F, F'$까지의 거리의 합이 $2a$임을 이용하여, $\overline{PF} + \overline{PF'} = 6$임을 확인하시오.

[문제 2-3] (5점)

$\triangle PFF'$의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[문제 2-4] (5점)

타원의 넓이 $S = \pi ab$가 주어질 때, 이심률 $e$에 대하여 $S = \pi a^2 \sqrt{1-e^2}$임을 보이시오.

[문제 3-1] (5점)

동전 A를 3번 던져서 앞면이 2번 이상 나올 확률을 구하시오.

[문제 3-2] (5점)

동전 A, B 중 하나를 임의로 선택하여 3번 던졌을 때 앞면이 2번 이상 나올 확률을 구하시오.

[문제 3-3] (5점)

3번 던져 앞면이 2번 이상 나왔을 때, 선택된 동전이 A일 확률을 구하시오.

[문제 3-4] (5점)

이 게임을 $n$번 독립적으로 반복할 때, 동전 A가 선택되어 앞면이 2번 이상 나오는 횟수를 $W$라 하자. $E(W)$, $V(W)$를 구하시오.

[문제 1-1] (5점)

$\theta = \frac{\pi}{4}$에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[문제 1-2] (5점)

매개변수 $\theta$가 $0$에서 $2\pi$까지 변할 때, 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이를 구하시오.

[문제 1-3] (5점)

$a = b = r$일 때, 곡선의 길이를 정적분을 이용하여 구하시오.

[문제 1-4] (5점)

곡선 위의 점 $P(\theta)$에서의 접선과 법선이 좌표축과 이루는 사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[문제 2-1] (5점)

$a_1 = 1$, $p = 2$, $q = 1$일 때, $a_n$을 구하시오.

[문제 2-2] (5점)

$b_n = a_n + \frac{q}{p-1}$로 놓으면 $\{b_n\}$이 등비수열임을 보이시오.

[문제 2-3] (5점)

$|p| < 1$일 때, $\lim_{n\to\infty} a_n$을 구하시오.

[문제 2-4] (5점)

$|p| < 1$이고 $a_1 = 1$, $q = 1$일 때, $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cdot p^n$을 구하시오.

[문제 3-1] (5점)

$n = 5$일 때, $k = 2$개의 공을 꺼내어 큰 수를 $M$이라 하자. $P(M = 3)$을 구하시오.

[문제 3-2] (5점)

$P(M = m)$을 $m$에 대한 식으로 나타내시오. ($m = 2, 3, 4, 5$)

[문제 3-3] (5점)

$E(M)$을 구하시오.

[문제 3-4] (5점)

$V(M)$을 구하시오.