두 상수 $a$, $b$에 대하여 $f(x) = \log_{5} (ax+b)$의 그래프가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\text{A}$, $\text{B}$라 하고, 점 $\text{A}$에서 함수 $y = f(x)$ 그래프의 점근선에 내린 수선의 발을 $\text{H}$라 하자. 점 $\text{A}$는 선분 $\text{OH}$의 중점이고 $\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}}$일 때, $b^a$의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, $\text{O}$는 원점이고, $a > 1, b > 1$이다.)

(1) $b$의 값을 구하시오.
(2) $b^a$의 값을 구하시오.

방정식 $3x^2 - 10x + 3 = 0$의 한 근이 $\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$일 때, $\tan\theta$의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$이다.)

(1) $\cos\theta$의 값을 구하시오.
(2) $\tan\theta$의 값을 구하시오.

등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 수열 $\{a_n + a_{n+2}\}$는 첫째항이 $-8$, 공차가 $6$인 등차수열이다. 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $12$항까지의 합을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 수열 $\{a_n\}$의 일반항을 구하시오.
(2) 수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $S_{12}$의 값을 구하시오.

닫힌구간 $[0, 6]$에서
$$f(x) = \begin{cases} -x+5 & (0 \le x \le 3) \\ a(x-2)^2+b & (3 < x \le 6) \end{cases}$$
으로 정의되고, 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) = f(x+6)$을 만족하는 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이다. 이때, $f(23)$의 값을 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오. (단, $a$, $b$는 상수이다.)

(1) $a$, $b$의 값을 구하시오.
(2) $f(23)$의 값을 구하시오.

상수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = x^3 + kx + k + 5$라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\text{A}(-1, 4)$에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점 중 $\text{A}$가 아닌 점을 $\text{B}$라 하고, 점 $\text{B}$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선이 $y$축과 만나는 점을 $\text{C}$라 하자. 점 $\text{B}$가 선분 $\text{AC}$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, 선분 $\text{AB}$의 길이를 계산하는 과정을 아래 단계에 따라 서술하시오.

(1) 직선 $\text{AB}$의 방정식을 구하시오.
(2) 선분 $\text{AB}$의 길이를 구하시오.